n, (c 4- Y^e, 4- Y*yi -+- Ps

Supposons que, comme conséquence de ces équations, l'équation •

( P= «(a 4- ouB 4- a'y 4- a'?) 4- m (b 4- (iac 4- ^'y 4- ^'z) ^ M 4- n(6 4-Yac-+-Y'y-»-Y'«)+l>=0.

qui exprime que le point (ac, y, z) décrit le plan IX 4- mV 4-nZ 4- p = 0, se trouve vérifiée.

Comme le déterminant 1 ± ^im,n, n'est pas nul, puisque les plans II, n', n' forment un vrai trièdre, on pourra tirer a, b, c des équations (29) et, en portant ces valeurs dans l'équation (30), il restera une relation linéaire entre a, a', a*, p, ^', ^', y, y', y', qui devra être une identité.

Cela existera que les coeflictents de z, a' , ... dans cette relation i ien-

tique soient tous nuls. On a donc entre P^ Pj, P, une relation identique de la forme

où 6j, ôj, Oj sont des constantes dont aucune n'est nulle; sans quoi, si O3, par exemple, était nul, l'équation P = 0 résulterait des équations P^ =: 0, Pj =0, ce qui ne ?e peut puisque, les plans fl, II', II' formant un trièdre, les plans II, fl' ne peuvent être parallèles.

Nous sommes donc amenés à discuter l'identité (31).

Celle ido!;tité se décompose dans les équations suivantes :

\ ^^m^ -h ôjWj 4- O3WJ -= m, \ Oitii + 0,n, + 63 «3 ■— n,

^ OjX, . m^ -f OjCCj . m, -f- OjXjWj = wiac,

l 0 = mzj

( 0 = nc,

6|Pi + 0,p, -Hô,p3 = p.

Ia'.s équations (32)'" entraînent la relation z -z. 0, car l'hypothèse l = m =-- n Tzz 0 est inacceptable.

Los équations (îfâ) (32)' (32)' prouvent que les équations homogènes en u^, «,, U3, u

Wï,u, -H rn,Mj h- rrt,«, = mit,

admettent les trois systèmes de solutions

(ôi, e„ O3, 1) {%x^, 0,ac,, 6,ae„ x) (9,^^ e,y„ e,î/„ y).

Deux au moins de ces systèmes de solutions sont distincts, car il fau drait sans cola que l'on eût à la fois

Xi = X, = X3 = X, yj = y, = y, — y ;

tous les points coïncideraient.

NOTES DE M. DARDOUX. 379

Le syf?tème Uuéaire (33) est donc indéterminé et les déterminants à 9 termes compris dans la matrice

mj m^ Wj m Hy «j «3 n

sont nuls, ce qui est impossible, puisque les plans II, II' , fl' forment un vrai trièdre.

Ainsi : jamaifi la condition que trois poinls A, A', A' décrivent les faces d'un trièdre n'entraînera le fait d'un quatrième point décrivant lui aussi un plan.

xamonducas 14. Supposons donc que les plans II, II', II' soieïit parallèles à

1 trois points uug même droite; on peut supposer que ce soit Ja droite OZ et alors décrivent n

trois plans • ■ ■•

puaiièles à ^^^ équations (29) deviennent

une même , ■, ti/ i\ /-n m \ n

droite. M^a + m,6 4- l, (ax, -+- a y,) + »^ (^rc, 4- ^'y.) + Py — 0,

( «,a 4- ms& 4- «5 (a.r, 4- a' y,) 4- m, {^x^ 4- P' J/,) 4- IJ3 = 0,

L'équation qui exprime que le point {x, y, z) dt'crit le plan (i, m, n, p).

^ ^( +n{yx^y'y + fz)+p=zO,

doit être une conséquence des équations (34). Comme on écarte le cas déjà traité où les trois plans seraient parallèles, l'un au moins des déterminants l^m^ — w,i„ l^mi — w,?!, Z^m, — mj^ est différent de zéro, et deux au moins des équations (34) forment un système résoluble par rapport à a, 6.

En portant ces valeurs dans la troisième équation on trouvera

/ {l,rp^ — lyn^) [i, (ax, 4- ct'y^) 4- m» (^a:, 4- ^'y») 4- Py], (36j 4- (km, - l^m.,) [l, {xx^ 4- a'y,) 4- m, (pac, 4- 3'y,) 4- p,],

\ 4- {l^m, - l.m,) [l, {xx, 4- a'y,) 4- m, (^a), 4- ^'y,) 4- P3] =: 0.

tandis que l'équation (35) se réduira ù une relation entre c et les cosinus. Or, cette relation devant être une conséquence de (36), la quantité c ne saurait y fii^urer; elle ne doit pas figurer non plus dans l'équation (35) et, par suite, l'on a n = 0.

Le plan décrit par le point (x, y, z) est donc parallèle à OZ, comme les trois plans II, n', H'.

Par la subslitution des expressions de a, b dans l'équation (35), celle-ci devient donc une relation linéaire entre les cosinus directeurs qui doit être une conséquence de l'équation (36). Il ne faudrait pas se hâter d'en con(^lure que ces deux relations linéaires entre les cosinus directeurs doivent être proportionnelles terme à terme. Si, en effet, on exprime dans (36) les cosinus directeurs en fonction des paramètres X, ,a, V, p d'Olinde Rodrigues, le premier membre de cette équation prend la forme d'une fraction dont X* -+- ;x* ■+- v* + p* est le dénominateur et dont le numérateur est une forme quadratique en

Si cette forme quadratique est décomposable en un produit de deux facteurs linéaires, l'équation (36) se trouvera décomposée, et il suffit que l'un de ces facteurs divise l'équation linéaire entre les cosinus qui résulte de (35) (les cosinus étant encore exprimés en X, [k, v, p) pour que l'équation (35) soit une conséquence de (36).

Si l'on fait abstraction de ce cas de décomposition, alors les deux équations linéaires sont bien proportionnelles terme à terme, et en conservant les notations du numéro précédent en aura encore une identité de la forme

seulement on a maintenant n^ = n, = )i, = n =0, en sorle que les équations (32) et suivantes se réduisent à

équations qui expriment que le système linéaire en u^, «,, u,, ti,

^«t -+- h^i -^ h^s = w> 7n^u^ -h w,U, 4- WjW, ■= U

admet les trois systèmes de solution

(6., Ô„6„1) (Ôic»i, 0,x„ e,a:„ x) (e^Vi, 6,i/„ e,y„ j/).

Ces trois systèmes ne sauraient être linéaironient indépendants, car les déterminants i;>%. — /tm^ ne sont pas tous nuls; on a donc

quatre i*elations de la forme

e, (Xa?, 4- v.y, -H v) = 0,

% (Xx, 4- i>.y, + v) = 0,

%{Xx^ + I^..V, 4- v) = 0,

Kx ■+- \i.y + V =0.

Aucun des % n'est nul, car si l'on avait 0, = 0, les équations P, = P, =0 entraîneraient P = 0 et l'on serait dans le cas que nous avons étudié au numéro 13. Aucun des 6< n'étant nul, on voit que les équations ci-de-sus expriment que les points A, A', A' et le point (jc, y, z) sont sur une môme droite du plan z .^0.

Il est toujours permis de supposer que cette droite est l'axe Ox, ce qui réduit à zéro t/j, y,, t/,, y.

Le système des équations (37) et suivantes se réduit alors au suivant :

(38) j Oim, + QjW, -4- 0,m, = m,

' f 0^m^x^ 4- f),î,a;, -f- 6,m,T, == mx.

La première des équations (38^, jointe à la première do:; équations (38)' permet d'éliminer i ; on élimine de même m entre la seconde équation (38) et la deuxième équation (38)'. On trouve ainsi les deux équations suivantes :

OjWtj (x — x^) 4- Ojm, (x — x,) H- O^nij (x — x,) r= 0,

d'où l'on tire pour 0,, 0,, 0^ les valeurs proportionnelles à

(?,m, — ijW,) (,r — X,') (x — X,),

(/,mj — 7jm,) (x — X,) (x — x,),

En transportant ces valeurs de 0^, 6„ 0, dans les équations (38) on obtiendra les expressions de ly m, p en fonction dex,

/ i — h {it>ih — h^»i) {x — ^i) (3C - X,) 4- i, (1,>H, — fj>»,) (x — X,) (x — X,)

-^h (il'»,— ^îWJ,) (x — Xj)(x — X,)

m = m, (/j)», — i,»Aj) (x — a-,) (x — x,)

i 4- IMj (fi>W, ^ï^^ii) {x — ^i) {x — X,)

\ p ~Pi (^»»j — ^'"i) (a; — ae,) (x — X,)

\ -*- Pt ih '"i — ^"'s) (a^ — X») (^ — a^i)

Los points Ces formules montrent que lorsque le point x varie sur l'axe Ox,

«lune droite le plan qu'il décrit change, mais reste tangent à un cylindre parabo-

fléciivpiu les ijqup ^q^<^ j^g génératrices sont parallèles à l'axe OZ. plans tangents ilt , i .1 . . •

d'nn cylindre *^°"^ "*^ '^ théorème suivant :

parabolique. ;§£ U'oxs points A, A', A' d'une même drntc décnvrnt trois plans formant un prisme, tovt point M de la même droite décrit un plan parallèle aux arêtes de ce prisme. Lorsque le point M change sur la droite, U plan qu'il décrit change en enveloppant un cylindre parabolique qui est naturellement tangent aux trois fa£es du prisme.

Il pourrait arriver que les trois plans II, FI', n* non seulement fussent parallèles à une même droite, mais fissent partie d'un môme faisceau. Alors les principes les plus élémentaires de 1.1 théorie du rapport anharmonique rendent évident ce fait que tout point de la droite A A' A' décrit un plan de ce même faisceau.

Cas général où 15. Examinons maintenant le cas où quatre points décrivent

quatre points quatre plans formant un tétraèdre. Si l'on désigne génrriquement

ecriven ^^^ ^^ ^^ ^^ j^g coordonnées de l'un des points et par i,, m^, ><<, p;

formant '*^ coefficients de l'équation du plan qu'il décrit, oïi devra avoir

un téiraédie. quatre identités de la forme

j P, r= ï.(a -f- dXi -\r d'Vi + ciz) 4- m<(6 + ^x^ + ^'y, -t- ^'z,)

(40) ^-?^<(c-f•ra;i + Y'^/i + Y'^*) + Pi = 0 1 (t==i,2,3,4).

En éliminant o, &, c entre ces quatre équations, il restera une équation linéaire entre les neuf cosinus, c'est-à-dire une relation quadratique entre les paramètres X, |j., v, p d'Olinde Ilodrigues.

Soit

(41) e (X, lil, V, 1:) :=: 0

cette relation quadratique.

Les équations (40) fournironî. en même temp.s pour a, h, c des expressions linéaires en a, a', a", (5, p', fi', y, y', y', c'est-à-dire des fonctions homogènes et du second degré en X, [t., v, p

Dès lors, les formules qui représentent le mouvement s'écriront

[ T = *, = X» -^ 1^.* -+->'-+- p% où <^,, <I>j, <I>3, <I>4 sont des fonctions homogènes et du second degré

Cas de lécomposition.

Retour a cas général.

de X, [i., V, p. Seulement ces paramètres X, p,, v, p se trouvent liés par l'équation

0 (X, {X, V, p) zr: 0.

On doit observer que ce mouvement est unicursal. En effet, l'équation 0 =0 représenle en coordonnées homogènes X, [;., v, p une quadriquc pour laquelle les coordonnées d'un point courant sont exprimables sous forme de fonctions homogènes* et du second degré de trois paramètres M, V, w. On reconnaîtra aisément que les courbes qui représentent sur le plan les sections planes de la surface, quand on emploie les paramètres u, v, u-, sont des courbes du quatrième ordre ayant deux points doubles en commun et ne se coupent dès lors qu'en huit points variables.

Les surfaces décrites sont donc du huitième degré. Si l'on fait varier X, [>., v, p de manière à se déplacer sur une droite de la quadrique 0 = 0, X, {x, v, p sont des fonctions linéaires d'un paramètre; les coordonnées absolues X, Y, Z, T du point décrivant sont des fonctions du second degré d'un paramètre et l'on voit ainsi qu'aux génératrices rectilignes de la quadrique 0 = 0 il correspond deux familles de coniques tracées sur la surface du huitième ordre (*).

Tout ceci est dit dans le cas où la relation 0 =. 0 entre les cosinus ne se décompose pas. Si cela avait lieu, si 0 était égal au produit de deux fonctions linéaires en X, [x, v, p

il y aurait évidemment deux mouvements à surfaces de Steiner (n'' 6) qui satisferaient aux conditions imposées. Dans chacun d'eux il y a six autres points (du moins en généfal) qui décrivent des plans.

Il est intéressant de se rendre compte si qtidque chose d'analogue peut se produire, môme dans le cas où l'équation 0 = 0 no se décompose pas, et si, dans ce cas encore, le fait (fue quatre points décrivent des plans entraîne la même chose pour un cinquième.

Soient x, y, z les coordonnées de ce cinquième point et i, m, n, p les coefficients de l'équation du plan qu'il décrit.

L'équation de condition

^^ i -i-n{c+ yx-i-yy + 'f''z)+p = 0

doit être une conséquence des quatre équations (40). Comme nous nous

(1) \'oir ma note aux Comptes rendus en 1881. Plus réconimeut, M. Koenigs a étudié ces surfaces duns les Annalts scitMtifiqtiu de VÈtole normale suférieurt.

plaçons hors du cas de décomposition, on verra, comme au n9 14, qu'il doit exister entre les P^ et P une identité de la forme

(44) P = ÔjP. + 6,P, + 0,P, + e,p,.

Celte identité se décompose dans les relations

xm = l^iXitHij yni =z SOit/im,, zm = IHiZiiriiy

xn = l^iXiiii, yn — le.î/.n.., ZAï = SÔ.Zin...

V = se.p,,

Ces treize équations expriment que le système d'équations en

tt, -h U, -f- U, -4- M, = M,

y.Mj + y. M, -»- y,u, h- y,«, = y m,

admet trois systèmes de solutions

Ces trois systèmes de solutions sont linéairement indépendants, sans quoi les cinq plans considérés sont parallèles à une même droite, cas que nous écartons tout d'abord. Il faudra donc que le système des équations (45) se réduise seulement à deux et que tous les déterminants à trois lignes et à trois colonnes tirés de la matrice

Vk

Vt

soient nuls. Cela équivaut à dire que les quatre points (x^, y^, z^ et le point (x, y, z) sont sur une même droite.

Nous pourrons supposer que l'axe Ox est celte droite. Les y^, r, sont nuls ainsi que y et s, ce qui réduit aux deux premières le système des équations (45).

Alors, par un calcul entièrement analogue à celui du numéro précédent, et en désignant par A, le déterminant Z ± l^m^n^ et par A,, Aj, A, les quatre déterminants analogues, on trouve que le point M d'abcisse égale à x sur l'axe Ox décrit un plan qui a pour équa-

tion

Quand le point M varie sur l'axe Ojc, le plan qu'il décrit change en restant tangent à une développable parabolique de la troisième classe, ainsi que le prouve l'équation (47) qui donne la représentation de ce plan en fonction du paramètre variable x.

Ainsi, si quatre points A, A', A", A'" en ligne droite, décrivent quatre plans II, II', II', II'" formant un tétraèdre, tout autre point M de cette droite décrit un cinquième plan. Si le point M vient à changer sur la droite, le plan qu'il décrit change, mais en restant tangent à une surface développable de la troisième classe, parabolique.

Mais il faut bien se rendre compte que, dans ce mouvement, les points A, A', A', A*^, ..., M ne décrivent plus la totalité des plans II, n', ...., ils décrivent des coniques dans ces plans.

La chose est bien différente, comme on voit, de celle qui se présente dans le mouvement à surface de Steiner où la totalité du plan (aux imaginaires prés) se trouve décrite- La démonstration directe de cette proposition peut être simplifiée par la remarque suivante. On a vu au n ' 98, page 297, que si trois points en ligne droite A, A', A' décrivent les faces d'un trièdre, tout autre point M de la droite décrit un ellipsoïde. Si donc le point M se trouve, par surcroît, devoir rester dans un plan, il décrit forcément l'ellipse d'intersection de l'ellipsoïde et du plan.

On observera que tous nos raisonnements supposent simplement que l'élimination de a, 6, c entre les équations (40) n'a donné qu'une seule équation 0 = 0 entre les cosinus. Or, cette supposition subsistera tant que l'un des déterminants à 9 termes tirés du tableau

sera différent de zéro, c'est-à-dire tant que trois au moins des quatre plans n, n', n', n*^ formeront un vrai trièdre.

16. Il nous reste donc à examiner le cas où les quatre plans II, n', n', n'* forment un prisme.

On pourra alors supposer que ces plans sont tous parallèles à OZ, ce qui donnera

Cinématique. 25

386 LEÇONS DE CINÉMATtOUE.

Les équations (40) s'écrivent

I Pj = fi (a -f- ax, -f- xyi 4- az,) -f w^ (6 + ^à:^ + ^'j/^ 4- 3*ï.>

l'équation (43) qui exprime que le point j?, y, z décrit le plan {ly m, n, p) devant être une conséquence des équations (48), on voit que la variable c ne doit pas y figurer; n est donc nul et le plan décrit par le point (se, t/, z) est lui aussi parallè'e à OZ. L'équation (4'î) s'écrit alors

(49) P = i(a + ax 4- «'»/ 4- a*z) -f wC* 4- ^ 4- P'î/ 4- ^*z) 4-p=0.

En éliminant a, 6 entre les équalious (48), ou obtientlra deux équations linéaires entre les cosinus

en portant alors les valeurs de a, h, tirées de deux des équations (48), dans l'équation (49) on obtiendra une relation linéaire entre les cosinus, que je représente par

Si l'on fait encore abstraction du cas où il y aurait décomposition, cas qui donnerait encore une relation linéaire entre X, jjl, v, p et conduirait à un mouvement à surfaces de Steiner, il faudra que W soit une combinaison linéaire de 0 et de H, en sorte qu'en définitive il existera encore une relation identique de la forme

(51) P = O^P, 4- OjP, 4- e,P, 4- 0»P„

comme précédemment, équation (44).

L'équation (51) se décompose encore dans les suivantes :

l =: Ifiihy tn = 2 6. m,., p = 20iP„

xl = ZUiXilif xm = 26fX,î)t,-, yl — 20,y,i„ y m = Se,!/.*^,,

Ces relations expriment que lé système d'équations déjà formé (45) admet les deux systèmes de solutions indépendantes

I (Oi?», ^,h ^.h^ 0*^> Ô0> ^^^^ f (0,m„ 6tm„ e^mj, Q^m^, Ôrn).

11 faudra donc que tous les déterminants à quatre lignes et à

NOTES DE M. OARBOUX. 387

quatre colonnes tirés du tableau déjà considéré 11111

Vi y% y» y* y

*4 *j Zf^ Z'g^ %

soient nuls.

Cela revient à dire que les points A, A', A*, A*" sont dans un même plan.

On peut alors supposer que ce plan soit justement le plan xO\f\ on aura alors z, = z, = z, = «^ = z =r 0, et les relations précédentes se réduisent à

m = 26,mi, xm z= l^XiiHif ym = Z^y^mi.

se.p,,

On peut remplacer ces équations par les suivantes

20, (x ~ Xi) li = 0, 20< (x — X.) nii = 0, 20, (y - y;) /, = 0, 26, {y - t/,) m, = 0, (55) l = l^ili, ?n = 2e,mi, p = l^.p..

Les quatre premières équations sont surabondantes pour déterminer les valeurs des 0,-; en exprimant leur compatibiliîé, on trouve qu'il faut avoir

l,(x~Xj) l^ix — x,) «,(x— X,) î,(x~x,) m, (x — X,) m,(x — X,) m,(x — x,) tn4(» — xj

h(y — yt) h(y — yt) hiy^yz) K{y — yù ^i{y — yi) WiCv — y.) w,(y — y,) »»,(!/ — ?/,)

Cette équation est du second degré en x, «/, elle représente une conique C sur laquelle doit se trouver le point M. Les équations (54) donnent alors les valeurs des 0, en fonction des coordonnées x, y du point M et en portant ces valeurs dans les équations (55) on aura les expressions {, m, p des coefficients du plan décrit par M.

On peut se rendre compte que ce plan enveloppe lui-même un cylindre parabolique de la troisième classe.

Si, en effet, on élimine x, y entre les équations (53) on trouve les cinq équations suivantes :

l = 20<i., m = ZdiWio p = l^iPi, 0 = l%Xi {Mil — Z^m), 0 = l%yt {niil -* i<m),

LfiÇONS DE CINÉMATIQUE.

Cas où on même pian

est décrit par plusieurs

points.

Cas où ane

droite balaie

un plan et où

tous les pointa

d'une autre

décrivent des

ptans.

Cas

où deax droites

lalaient des

plans.

d'où, en éliminant les 0,

x^(m^l — l,m) y, (Wjl — Î,»m) l^

ar, (m^Z — i,m) y, (m^l ~ l^tn) l^

Pi Pi P»

Pi P

équation du troisième ordre en l, m, p qui est vérifiée par l = 0, ni = 0.

Ainsi, lorsque quatre points A, A', A*, A*" pris dans un même plan décnvent quatre plans II, II', II', W parallèles à une même droite et formant un prisme, tous les points d\tne certaine conique C passant par les points A, A', A", ^"^ possèdeut la même propriété. Tous les plans décrits par les divers points de cette conique enveloppent un cylindre parabolique de la troisième classe.

A rencontre de ce qui a lieu au n» 16, chaque point de la conique G décrit la totalité du plan.

17. Les raisonnements qui précédent supposent essentiellement qu'un même plan ne se trouve pas décrit par plusieurs points de la figure.

Si cela a lieu pour trois poinls non en ligne droite, on est dans le cas où un plan de la figure glisse sur lui-même.

Si cela a lieu pour deux points d'une droite, il en est de même pour tous les points de la droite.

Supposons qu'une droite D de la figure balaie un plan IT et qu'en outre un point A, décrive un plan n, non parallèle au premier. Il n'arrivera jamais qu'un second point M, pris en dehors de la droite D, décrive aussi un plan comme conséquence des conditions précédentes.

Si le plan Hj est parallèle au plan II, tin plan de la figure glisse sur le plan D.

Supposons maintenant qu'une droite î) balaie encore un plan H et que deux autres points A^, A, décrivent des plans II,, H, formant un prisme avec le plan II. Si la droite A, A, coupe la droite D, tout point de la droite A^A, décrit un plan, et l'ensemble de ces plans enve-* loppe un cylindre parabolique du second degré.

Il y a enfin un cas où deux droites D, D' du corps balaient deux plans n, n', non parallèles. (Si n, n' étaient parallèles, un plan de la figure mobile glisserait sur chacun d'eux).

Prenons pour axe Oz la perpendiculaire commune aux droites D,D' et en choisissant convenablement les deux autres axes Ox, Ot/, amenons 0, D' à être représentées par des équations de la forme

Prenons pour ZOX, ZOY les plans bissecteurs des plans II, H'. Ces plans auront pour équation respectivement

(59) X + fcY = 0, X — fcY = 0.

Si on exprime que la droite D décrit le plan n et la droite D' le plan n'ion est conduit très aisément aux équations qui déGnissent ce mouvement,

En dehors des cas où les relations entre les cosinus se décomposent, il n'y a pas de points autres que ceux des droites D, D' qui décrivent des plans.

Nous nous arrêterons à ces indications qui montrent combien il y aurait intérêt à étudier à fond les mouvements algébriques et quelles ressources offrent pour cette étude les paramètres d'Euler et d'Olinde Rodrigues.