I. — Quelques généralités sur les coordonnées curvilignes

* . — Rappel des formules fondamentales relatives au trièdre mobile.

Considérons un système de coordonnées curvilignes quelconque pour lequel nous conserverons les notations adoptées pages 59 et suivantes, sauf en ce qui concerne les paramètres ^j, g,, q^, que nous désignerons respectivement par p,, pj, p,. Nous pouvons lier l'étude de ce système à celle du mouvement d'un trièdre mobile en opérant de la manière suivante. M désignant un point de l'espace dont les coordonnées, par rapport à des axes fixes rectangulaires, sont X^, Yj,, Zj, et dont les coordonnées curvilignes sont pj, p^, p„ nous construirons un trièdre trirectangle (T) dont le sommet soit en M et dont les axes Mx', My', Mz' soient définis par le tableau de Lamé.:

où les cosinus a, 6, c, ... sont des fonctions connues de ç^, p,, p,.

Désignons par ^i, r,,, Ç,- les composantes de la vitesse d'^ l'origine des axes mobiles relativement à ces axes, quand p, varie seul et joue le rôle du temps; soient également p.-, g^, v, les quantités qui définis-

sent, par rapport aux mêmes axes, la rotation du Irièdre relative au paramètre p.. Rappelons les formules des pages 225 et suivantes; on a d'abord :

if dY

/ v^ ^6 v^ , de

Les projections sur les axes mobiles de l'élément d'arc de la courbe décrite par un point de coordonnées a;, y, z, relativement au trièdre (T), sont :

dx 4- 2(5.. + q^z — îvy) dp^,

(3) ) dy -h^ifii + riic -^ PiZ) dp,,

dz 4- ^^(Çi + p,y — g<3c) dp,..

Rappelons également les formules de la page 230 :

Cp, <7p<

dvj dVi ^

rCOTE DE MM. EUGÈNE ET FRANÇOIS COSSERAT. 393

2. — Détermination d'un système de coordonnées curvilignes au moyen de son ds*.

Soit, comme à la page 60,

^ ( + 2B,crp,dp, -+- 2B,dpjdp,

l'expression du carré de l'élément linéaire de l'espace rapporté au système de coordonnées curvilignes (p,, p,, p,); les formules (3), appliquées à l'origine du Irièdre mobile, nous donnent

(7) A, = ^f + r,? -h Ç.% B, = Ç,^^ ^ njri, +Xf^,

ijjjk désignant une permutation des nombres 4, 2, 3.

Pour rendre plus explicites les considérations que nous allons développer, faisons, à l'égard du trièdre (T), l'hypothèse suivante, que l'on pourrait remplacer par une autre présentant plus de symétrie, mais qui offre des avantages évidents. L'axe des s' de (T) sera normal à la surface (p,), que l'on obtient en laissant pj invariable; son axe des x' sera tangent à la courbe C, de la page 59; nous supposerons de plus qu'on précise les directions des trois axes de (T) en les rapportant aux trois droites A,, A,, A, de la page 59.

L'hypothèse que nous venons de faire entraîne, eu égard aux formules (3), les relations suivantes:

qui, jointes aux formules (7), conduisent au système :

où J* désigne le discriminant de la forme quadratique (6); ce système détermine sans ambiguïté les translations $<, t;,, Ç<, si l'on a égard à l'hypothèse par laquelle nous avons fixé les directions des axes de(T).

Les neuf formules (4) définissent ensuite les rotations jp^, 5,, »\; si l'on porte les valeurs de ces rotations dans les formules (5), on obtient entre les A^, B^ des équations aux dérivées partielles du

second ordre qui, dans le cis des systèmes triples orthogonaux, deviennent les équations bien connues de Lamé.

Les équations que nous venons d'obtenir sont, par ce qui précède, des conditions nécessaires pour que la forme quadratique

i H- 2B,dp,rfp,

puisse représenter un ds* de l'espace.

Démontrons qu'elles sont suffisantes et que, si les fonctions A,-, B^ les vérifient, il existe des systèmes triples correspondants qui se déduisent de Vun d'eux par un déplacement d'ensemble combiné ou non avec une transformation par symétrie.

Remarquons, en effet, tout d'abord, que si l'on répète le calcul indiqua plus haut pour la formation de ces équations de condition, non plus avec les valeurs particulières adoptées pour les |,, r,i, Ç,» mais avec l'un quelconque des systèmes de valeurs que l'on peut déduire de (8), les équations résultant, sans aucune transformation ultérieure, de la substitution des p,, g,-, r, dans (.5), sont identiques à celles obtenues dans le premier cas.

Cette remarque faite, considérons un quelconque des systèmes triples dont nous supposons l'existence et associons-lui le trièdre (T) défini comme plus haut; les équations (8) détermineront les translations Çj, Yjj, ^i sans ambiguïté; les formules (4) donneront les rotations et les formules (5) seront alors vérifiées par hypothèse.

Donc, conformément au résultat que l'on doit surtout attribuer à Bonnet et à M. Darboux, et qui est rappelé à la fin de la page 228, nous aurons, j30ur chaque disposition du trièdre (T), un mouvement de ce trièdre et un seul, c'est-à-dire un système de coordonnées curvilignes et un seul. Aux deux dispositions du trièdre (Tj correspondent deux systèmes triples qui, à un déplacement d'ensemble près, se déduisent l'un de l'autre, d'après les formules (1), au moyen d'une transformation par symétrie.

H. — De la déformation d'un milieu continu en général.

3. — Introduction des six fonctions habituellement associées à une déformation.

Défirtissons une déformation d'un milieu continu quelconque occupant une portion de l'espace de la manière suivante : nous

concevons que chaque point de ce milieu éprouve un déplacement variant d'une façon continue avec la position du point et nous supposons que le milieu déformé ne puisse pas s'obtenir en imprimant au milieu primitif un déplacement d'ensemble combiné ou non avec une transformation par symétrie; si cette dernière circonstance se présente, nous dirons, pour comprendre tous les cas dans la même définition, que la déformation est nulle.

Rapportons le milieu avant et après déformation à un système d'axes de coordonnées rectangulaires. Soient x, y, z les coordonnées primitives d'un point et r + u, ?/ -+- v, z + w ce qu'elles deviennent après le déplacement de ce point. Supposons que les fonctions u, V, w de X, y y z soient définies et admettent des dérivées premières continues pour toutes les valeurs des variables correspondant à des points du milieu. Un système quelconque de telles fonctions u, V, w détermine une seule déformation; mais inversement, à une déformation ne correspond pas un seul système de fonctions u, V, w, si l'on a égard au déplacement d'ensemble, combiné ou non avec une transformation par symétrie, que l'on peut toujours imposer à un milieu sans le déformer.

Proposons-nous de définir l'état de déformation du milieu au moyen d'autres fonctions, qui seront déterminées d'une façon unique par la déformation et qui la définiront sans ambiguïté.

Les formules

peuvent être considérées comme définissant une correspondance entre deux espaces, l'un lieu du point (a?, j/, z), l'autre lieu du point i^ii ?/i» -i)- ^^ais on peut aussi les envisager comme des formules rapportant l'espace, lieu du point {x^, î/j, z,), à un système de coordonnées curvilignes (x, t/, z).

D'après le numéro 2, nous avons des fonctions satisfaisant à la question, soit en prenant les six coefficients de la forme différentielle quadratique qui représente le carré de l'élément linéaire du second espace rapporté au système de coordonnées (x, y, z), soit en prenant des fonctions convenables de ces six coefficients. Or, si

..., ( dxl^ dy]+ dz] = Aydx* + A,dy^-h A^dz*

^ ^ f +'2l\dydz+2Ji^dzdx + 2B^dxdy

est le carré de l'élément linéaire du second espace, celte expression devient identique au carré de l'élément linéaire du premier espace, lorsque les fonctions \, se réduisent à l'unité et que les fonctions B-

s'annulent. Nous sommes donc amenés à adopter, pour définir la déformation, les six fonctions e^, yi obtenues en posant :

e, = — 2 — > Yi = B.>

et dont les expressions, au moyen de x, y, jt, se calculent, lorsque u, V, w sont données, par des formules telles que les suivantes :

/ du ir/duV /dv\* /dw\n

(12) )''^à.^-^l[o-.)^[rx)-^\j^)j

I dvr dv du du dv dv dw d\r

\ dy dz dy dz dydz dy dz*

que l'on déduit immédiatement des relations

j A àu\ , du j du ,

, dw , dw . 1. (?w\ ,

résultant de la différentiation des équations (10).

4. — Propositions relatives aux fonctions associées à une déformation.

La façon dont nous venons de rattacher les six fonctions e.-, y.- ^ la théorie des coordonnées curvilignes nous conduit immédiatement, d'après le n^ 2, à la proposition suivante :

A toute déformation correspondent six fonctions e,, y^ définies par les formules {i2) et leurs analogues; inversement, au système de six fonctions ainsi construites correspond une déformation et une seule ('), celle qui leur a donné naissance.

Les six fonctions déterminées par les formules (12) et leurs analogues ne peuvent pas être prises arbitrairement; elles vérii fient, en effet, un système d'équations aux déHvées partielles

(*) En considéraot comme équivalentes deux déformations qui ne diiTèrent que par un déplacement d'ensemble, combiné ou non avec une transformation par symétrie.

du second ordre; à toute solution de ce système correspond uns déformation et une seide.

Le cas où la déformation est nulle présente un intérêt particulier; nous avons à son égard la proposition suivante :

Les conditiotis nécessaires et suffisantes pour qu'une déformation soit nulle, c'est-à-dire pour que la seconde position du milieu se déduise de la première au moyen d'un déplacement d'ensemble, combiné ou non avec une tranaformation par symétrie, s'obtiennent en annulant les six fonctions £;, y*'