Déformation homogène; ses six composantes

Une déformation quelconque étant définie par les six fonctions s,-, y.-> la déformation la plus simple est celle pour laquelle ces six fonctions sont des constantes non toutes nulles; on Tappelle déformation homogène; les valeurs constantes des six fonctions e., y^ ^^ nomment ses composantes.

Les six fonctions A,-, B^ qui figurent dans la formule (il) étant des constantes, il en résulte que x^, y,, z^ sont des fonctions entières et linéaires de x, y, z. La déformation homogène est donc détinic par les formules

!jc, == «,, 4- (1 + a,j) ^ + ^\iV -»- «1»?, !/t = «M + «li-^ + (1 4- o„) y -f- «„?, 2| = «30 •+- a„a: -f- a,,»/ + (1 -H «„) z,

où les coefficients Oy désignent des constantes telles que les valeurs constantes des fonctions e,, y, ne soient pas toutes nulles, et dont les seconds membres sont des fondions linéaires indépendantes. Posons

et définissons tiois angles a„ a,, a,, compris entre 0 et r, par la formule

(15) cosa,= -r::^^— — ^*

V^yPi^ Kl -H 2s, |/1 + 2st

où î, y, k désigne une permutation des nombres î, 2, 3,

H,dx = l^l -+- 2ftj dx est l'arc élémentaire de la courbe d'interiection des surfaces y =:^ const., r = const.; de même, H,df/ = 1^1 -H 2s, dy est l'arc élémentaire de la courbe d'intersection

des surfaces z = const., y = const.; U^dz =[/ i ■+- 2z^dz esl l'arc élémentaire de la courbe d'intersection des surfaces x = const., y = const. De plus, a.^ est l'angle sous lequel se coupent les arcs élémentaires H^dy et Hjds; a, est l'angle des arcs élémentaires U^dz et HjC?£c; a, est l'angle des arcs élémentaires }i^dx et H^rf»/.

L'arc élémentaire H,dx du second espace correspond à l'arc élémentaire dx du premier; par conséquent, dans le cas de la déformation homogène où les Hj, a; sont des constantes, un segment de droite parallèle à 0.x subissant un allongement qui ne dépend que de sa longueur, et non de son origine, nous pouvons parler de l'accroissement de l'unité de longueur prise parallèlement à Oac, c'est-à-dire de la dilatatioti linéaire suivant la direction Ox; elle a pour valeur :

Hj~l = k'l + 2s, —1.

Les dilatations linéaires suivant les directions Oy et Oz sont de même :

Pareillement, un angle droit dont les côtés sont parallèles à Oy, Oz devient a,, et cela, quel que soit son sommet; un angle droit dont les côtés sont parallèles à Oz, Ox devient aj, et un angle droit dont les côtés sont parallèles à Ox, Oy devient a,. Nous pouvons donc aussi

introduire la notion des dilatations angulaires - — ^^^i» s — ^i^

6. — Déformation en un point d'un milieu; ses six composantes.

Envisageons une portion du milieu non déformé entouiant un point P (x, y, z). Si cette portion est suffisamment petite, les six fonctions £j, Yt» m^^ sont des fonctions continues de x^y, z, conserveront, en ses différents points, sensiblement les mêmes valeurs, celles qu'elles ont au point P (x, y, z). On est ainsi amené à substituer à la déformation d'une portion du milieu entourant un point P (x, y, z), lorsque cette portion est suffisamment petite, une déformation homogène dont les six composantes sont les valeurs que

(•) Cenformémcp*. h l'usag-e habituel, nous adoptons ces expressons ot non leurs valeUrg changées de signe.

prennent au point (x^y^z) les six fonctions associées à la déformation du milieu considéré.

C'est ce que l'on peut encore exprimer de la façon suivante. Si nous considérons un point Q (x + dx, y ~f- dy, z + dz) du milieu non déformé, il est clair que les nouvelles coordonnées de ce point ne différeront de

x^ + dx^, yi+dy^, r, -H <i2„

que de quantités qui seront infiniment petites du second ordre, Iwsque dxy dy, dz seront tous trois infiniment petits du premier ordre. Ceci revient à dire que, dans le voisinage de P, la déformation est sensiblement définie par les équations

!Xj =r a,o + (i + a^^) X + a„Y + a,,Z, Y, = a„ + a„X + (1 -f- a,,) Y + a,,?., Zl = «80 + «81^ + «3»Y + (1 + «33) Z,

où X, Y, Z désignent les coordonnées d'un point Q du milieu non déformé par rapport au point P, c'est-à-dire par rapport à trois axes ayant leur origine en P et parallèles aux axes coordonnés, où Xj, Y,, Z, désignent les coordonnées de la nouvelle position de Q par rapport aux mêmas axes, et où enfin les coefficients «y, qui sont déterminés eu même temps que x, y, z, sont donnés par les formules

Ain.si, la déformation aubie par la portion du milieu avoisinant un point P {x, y, z) de ce milieu est sensiblement une déformation homogène définie par les formules (16) et (17), et ayant pour composantes les valeurs que prennent au point P les six fonctions e,-, y,- <ï<*i définissent la déformation du milieu considéré.

Nous désignerons la déformation homogène définie par les formules (IG), (17), sous le nom de déformation au point P; les valeurs des fonctions e„ Yi '^^ point P seront dite;B les composantes de la déformation au point P.

Les résultats acquis au n** 5 nous montrent que nous aurons au point P (x, t/, z) trois dilatations linéaires suivant Ox, Oj/, Oz, ayant pour valeurs

Kl + 2s, — 1, Kl+2£i — 1, l/l

-H-iie,

Un trièdre trirectangle de sommet P et d'arêtes parallèles aux axes deviendra un trièdre dont les angles a^, a,, rt^ seront définis par les formules (15).

Aux remarques précédentes s'ajoutent les suivantes, qui introduisent une notion nouvelle, celle de la rotation en un point du milieu.

7. — Les deux ellipsoïdes de déformation et la rotation en un point du milieu. Déformation pure.

Les formules (16) montrent immédiatement qu'il existe, en général, un trièdre de sommet P, que la déformation au point P transforme dans un trièdre dont les arêtes sont respectivement parallèles à celles du premier.

A un ellipsoïde placé dans l'un des deux espaces, les formules (16) font correspondre un nouvel ellipsoïde, et à trois diamètres conjugués de l'un des ellipsoïdes correspondent trois diamètres conjugués de l'autre. En particulier, à la sphère du premier espace, qui est définie par l'équation

les formules (16) font correspondre un ellipsoïde Ei que nous appellerons le premier ellipsoïde de déformation relatif an point P. Cet ellipsoïde étant supposé à axes inégaux, il existe un système et un seul de trois diamètres rectangulaires de la sphère considérés qui se transforment par (16) en trois droites rectangulaires : ce sont les diamètres qui se transforment dans les axes de l'ellipsoïde 8t. De même, à la sphère du second espace, qui est définie par l'équation

correspond l'ellipsoïde S défini par l'équation

(1 4- 2e,) X' + (1 -H 2s,) Y' + (1 + 2£,) Z« 4- 2y,YZ

-+-2y,ZX-i-2v,XY==1

et que nous appellerons le second ellipsoide de déformation relatif au point P. Ses axes correspondent à trois diamètres rectangulaires de la sphère correspondante.

Ainsi, en géwral, il existe un trièdve trirectangle et un seul, celui formé des axes du second ellipsoïde de déformation, qui se transforme en wi nouveau trièdre trirectangle, savoir celui formé des axes du premier ellipsoïde de déformation.

On peut, de plusieurs façons, par une rotation, suivie de la translation (a,ç, o„, «„), appliquer les axes de l'ellipsoïde g sur les axes correspondants de l'ellipsoïde F^^. Parmi ces rotations, nous dislinguerons celle pour laquelle les trois arêtes d'un trièdre formé avec les axes de 8 s'appliquent finalement sur les trois arêtes qui leu.' correspondent par (16) et qui déterminent un trièdre formé avec les axes de 8,. Cette rotation sera ce que nous appellerons la rotation au point P du milieu.

Pour que celte dernière soit nulle, il faut mais il ne suffit pas que les directions des axes du second ellipsoïde de déformation soient aussi celles que (16) laisse invariables, ce qui s'exprime par

La déformation homogène correspondant à ces trois relations s'appelle une déformation pure,

8. — Décomposition de la défonnation en un point du milieu en une rotation suivie d'une déformation pure. Détermination de la rotation en un point du milieu.

Étant donnée une déformation homogène définie par les formules (14) ou (16), où entrent douze constantes, on peut .se proposer de la remplacer par une autre déformation homogène équivalente, définie par des équations où entrent des constantes en nombre moindre et, en particulier, en nombre égal à six.

Parmi les solutions en nombre infini de ce problème, on peut en distinguer de particulièrement intére.rsantes.

La déformation déterminée par les équations (16) peut être remplacée par une rotation définie par les formules

I X' = aX -+- bY -^ cZ, (18) j Y'=a'X + b'Y -hc'Z,

où a, h, c, ... désignent les coefficients d'une substitution orthogonale de déterminant + 1, suivie de la déformation homogène Cinématique. 26

402 LEÇONS DE CrNÉMATIOUE,

déterminée par les relalions

( Zj = a,, + a;iX' 4- al,T + (4 + «: ^ Z'

en posant

ï> ~ + c — > ây oz

àv + c - - 1

et six équations analogues.

A trois droites rectangulaires quelconques dans l'espace lieu de (X, Y, Z) correspondent trois droites rectangulaires dans l'espace lieu de (X', Y', Z'); par conséquent, si l'on veut que la déformation (19) soit une déformation pure, il faut et il suffit que la rotation (18) soit précisément une des rotations dont nous avons parlé au numéro précédent et qui amènent les axes de l'ellipsoïde 6 sur ceux de l'ellipsoïde g, .

La déformation au point P revient donc, et de plusieurs façons, à une rotation suivie d'u7ic déformation pure. Dans Vune de ces décompositions, la rotation n'est autre que la rotation au point P, qui est ainsi définie par les formules (9), où a, b, c, ... forment une solution du problème consistant à déterminer neuf cosinus qui vérifient, outre les relalions

1, a'a' +h'h*+ c'c'=iQ,

(21) j a'« 4- 6" -f- c'« = 1, a'a + Vh + cV- - 0,

( a'»+ 6'« + c'-=rl, aa' + &b' -f ce' =0,

les suivantes :

qui s'écrivent dx

dx dy \ dz 1

(22) ( a -r- + 6 -— -I- c ( 1 -+- -r- ) = a' (1 4- ^ ) + 6' - 4- c* ~ ) dx (^«/ \ dzj \ dx) dy a€

\ dx/ dy dz dx \ dy/

+ c --• dz

NOTE DE MM. EUGÈNE ET rn\Nr.OIS COSSERAT.

9. — Dilalatioii cubique en un ij'iittf. Equation ik conilnuiré. Désignons par A le déterminant

dxx

du dz

àv ôx

àv

àz

âw

àw

djc

ày

àz

dont le carré, formé par la règle de muHiplicalion des déterminants, s'exprime, en fonction des composantes de la déformation au point P, au moyen de la formule

Y3 1 4- 2s, Y^ Y, Yi 1 -*- 2e,

L'élément de volume dx dy dzy tracé autour de P (jc, ?/, z), devient après déformation

(|Aj + t;) dx dy dz,

r, tendant uniformément vei*s zéro avec les dimensions fie l'élément, en sorte que

e= lA! -1

est la dilata(io7i cubique au point P.

Il en résulte également que, pour un milieu dont la densité est p avant déformation au point (ar, y, z), et p, après déformation au point (x^f y^y 2,), on a la relation

P==PiX lAl,

qui est une des formes de Véquation de continuité considérée en Hydrodynamique.

10. — Transformation des composantes de la déformation en .... point. Invariants de la déformation. Cas particuliers de déformation en un point : extension simple et glissement simple.

La définition adoptée pour les composantes de la déformai iun en tjn point du milieu dépend des axes coordonnés. $i l'on considère de nouveaux axes, on aura sïx nouvelles composantes, qu'il est facile

d'exprimer au moyen des anciennes. Supposons que les directions des nouveaux axes soient définies par le tableau du n** 1 et soient x\ y'y z'; x[y 1/i, z[ les coordonnées, par rapport à ces nouveaux axes, des points (ce, y, z), {x^, y^, z^). On a

dAr;« + d»/;»-i-dr;»=dxî+di/î + dzî=:(lH-20dx«-i-(l4-2e,)d7/' + (1 4- Ssj) dz* + 2yic£j/ dz + ^^^dz dx + ^y^dx dy

On a donc

dx =z adx^ -h hdy^ + cdz\ dy = a'dx' + b'dy' + c'dz'y dz = a'dx' + Vdy' -t- c'dz'.

dx[* + dy\* + dz'* == (1 + 2e;) dx'* + (1 + 2s;) dy'*

-♦- (1 + 2s;) dz'» + 2y; dj/'dz'4- 2^; da'dar'-h 2y; dx'd»/',

en posant

e; = g^a' + £,a'* + t^a** + y^a'a' + y^n'a 4- Ya^»'» y; = 2s,bc + 26, b'c' + 2ï3 bV + y, {b'C + b'c')

+ Y, (b'e + 6c') -4- Ys (bC + b'c) et quatre formules analogues.

Il résulte de ce qui précède que les expressions

YÎ + ï* + yl — ^ (hh + ejSi + s, s,), *s.6»îj + YiTîYs — SiYÎ — £«Y« — «sYÎ

restent inaltérées par une transformation de coordonnées.

Parmi les déformations homogènes, deux sont particulièrement intéressantes.

Dans la première, appelée extension simple, les lignes parallèles à une direction donnée sont dilatées et toutes les lignes perpendiculaires restent invariables en longueur. D'après ce qui précède, les conditions pour que la déformation en un point soit une extension simple sont :

YÎ + y5 + YÎ - -* (sjs» + hh + ^ih) = 0, ^hh^^ + Y1Y.Y3 — €iYÎ — £îYÎ — 5,y; = 0,

et la grandeur de cette extension simple est

Dans la seconde, appelée glissement simple, tous les points dans un certain plan restent dans ce plan après la déformation, avec leurs

NOTE DE MM. EUGÈNE ET FRANÇOIS COSSERAT. 4(fô

positions primitives, et tous les points dans un plan parallèle au premier restent dans leur plan, mais y sont déplacés, dans des directions parallèles à une ligne donnée dans le premier plan, proportionnellement à leurs distances à ce plan.

Les formules définissant un glissement simple des plans y '= const. parallèlement à Taxe des x' du trièdre coordonné O'x'y'z' sont :

x[ = x'+gy\ y[ = y'y z\ — ^'>

g étant la grandeur du glissement. Les composantes de la déforma' tion sont :

e; = 0, e;=:^» ej=:0, y;=:0, ^\ = Q, f', = 9, et les formules (15) du n" 5 donnent :

La grandeur d'un glissement simple pour des axes de coordonnées quelconques est donc

Sr = ± 1/ YÎ + YÎ + Y» — 4^ ihH + hh + s.et)»

et les conditions pour que la déformation en un point soit un glissement simple sont :

^ hhh+ Yiï«T3 — s.Yi — 6»Y» — s»YÎ = 0»

YÎ + YÎ + y1 — ^ (e»£3 + £»6i + 6ie«) = 2 (s, 4- e, + 6,).

lU. — De la déformation infiniment petite.

H. — Définition de la déformation infiniment petite*

Considérons un milieu qui se déforme d'une façon continue, et supposons, pour fixer les idées, que dans les formules (10), qui déterminent les coordonnées x^, t/„ z, de la nouvelle position du point (x, t/, z), les quantités u, v, w soient fonctions de x, y, z et d'une nouvelle variable < ; le milieu proposé correspondra, par exemple, à la valeur zéro du paramètre t.

Lorsque t sera infiniment petit, les quantités variables en même temps que la déformation, telles, par exemple, que les fonctions c„ y<, différeront de leurs valeurs primitives de quantités infiniment petites;

iOf) LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

l'étude (!e la déformation infiniment petite du milieu considéré n \3st autre que celle de la p.\rlie principale de tels infiniment pQlits.

Supposons quo u, v, w, fonctions de la variable t en même temps que de .»•, y, i-, ptiissent être développas suivant les puissances entières positives do t par des séries qwi soient absolument et uniformément convergentes, 3in?i que celles dont les termes s'en déduisent par diiïérenliatJon par rapport à aï, j/, î; u, v, w devant se réduire re«pei;(ivement à zéro pour f nt: 0, noua aurons

u = u + Uj + Uj + ...

v = i> -f- V, +'yj -4- ...

•w = tv+ w^ + ti'j -+- ...,

en désignant par u, v, w les termes de ces développements qui renferment t en facteur, et généralement par t*,, v^, iv^ ceux qui renferment ("+' en facteur.

12. — Dilatations linéaires et glissements relatifs à la déformation infiniment petite.

Avec les notations précédentes, nous aurons

du * àx

dw âv Tf' = dy + ai -^

» dy

âu àw

âv du '^'-âx'^ây'^

les termes non écrits renfermant en facteur une puissance de t supérieure à la première.

Les dilatations linéaires au point P suivant Oa:, Oi/, Oz seront :

àti âv âw

dx dy ' âz

et les dilatations angulaires au même point ;

dw âv du âw dv du

dy âz ^ dz dx dx dy

Lorsque t est suffisamment petit, les six composai4es de la dôfor-

mation en un point ont sensiblement pour valeurs les expressions au âv âw

j dw âv au àw dv du

Les trois premières c^y e,, <?, sont aussi sensiblement les dilatations linéaires au point (ar, i/, z) suivant Ox, Ot/, Oz; nous les appellerons les dilatations linéaires relatives à la déformation infiniment petite. Les trois autres ^j, g^, g^ sont de même sensiblement les valeurs des dilatations angulaires; nous les appellerons les dilatations angulaires ou encore les glissements {n° 10> relatifs à la déformation infiniment petite.

Lorsque t tend vers zéro, le détermmant A du n** 0 tend vers 1 ; pour t suffisamment petit, la dilatation cubique est

du âv àw e= — + ~ + ^r^ -H ....

ox ay az

Sa valeur approchée

du dv dw ^— + ~ -i- -, ox ây oz

que nous appellerons dilatation cubiqiie relative à la déformation infiniment petite, est ^gale à la somme des valeurs approchées des dilatations linéaires suivant les trois axes.

13. — • Rotation relative à la déformation infiniment petite.

Passons à la rotation en un point du milieu ; pour t = 0, elle se réduit évidemment à zéro, en sorte que des neuf cosinus a, b, c, ... qui figurent dans les équations (18) du nfi S, trois, a, b', c* se réduisent à 1 pour t = 0 ; les six autres se réduisent à zéro.

Si l'on pose

i /dw dv\ i /du dw\ ^ 1 /^•' àu\

'^'~2\dy~'dir '''~^\à^z~"d^)' ^» '" 2 \d^ " Ji7/' on trouve immédiatement, au mojen des relations (21) et (22), les développements suivants :

a'=T,-l-..., 6'=l-.!L±iI + ..., c'=-T,+ ...,

les termes non écrits renfermant en fadeur une puissance de t supérieure à celle qui entre dans les termes mis en évidence.

Si Ton définit la rotation par un segment porté sur l'axe de rotation et égal à la grandeur de la rotation, les formules (18) montrent alors que les projections de ce segment sont

La rotation définie, de la manière qui vient d'être indiquée, par le segment dont les projections sont t,, t,» Tj, est la rotation relative à la déformation infiniment petite au point (a?, i/, ?); si t est suffisamment petit, elle ne diffère pas sensiblement de la rotation au même point (a-, t/, z).

li. — Proposition se rapportant au cas où les dilalalious linéaires et les glissements relatifs à la déformation infiniment petite sont nuls.

Cherchons ce que deviennent dans le cas de la déformation infiniment petite les propositions énoncées au n° 4.

La notion du système auxiliaire de M. Darboux va nous conduire facilement aux résultats que nous avons en vue.

Nous avons établi au n^ 4 que le système d'équations aux dérivées partielles

du du ày âz du du dz dx

dv d\ dw âv/

dy dz dy dz

dv dv dv/.dvf

dz dx dz dx '

du du dv dv

dx dy dx dy

d'W dw

dx dy *

définissant trois fonctions inconnues u, v, ^v, admettait une solution et que cette solution correspondait au déplacement d'ensemble le

plus général d'un corps invariable, combiné ou non avec une transformation par symélrie (*).

Appliquons au système précédent la notion du système auxiliaire de M. Darboux, en partant de la solution de ce système, qui est formée de fonctions toutes nulles.

Le système auxiuaire sera formé des six équations

au ^ dv ^ dw - âw dv

dx dy di ày dz

du dw . dv du ^

dz dx dx dy

définissant trois fonctions inconnues u^ v, w, sa solution générale correspond aux solutions infmiment petites du système (24), et elle sera, par conséquent, définie par les formules

« = M^-^6z — cy, u = Vj>H-caî — az, ty = t('o+aî/ — br,

où Uq, 1*0, u)„ a, &, e sont des constantes, et qui déterminent la vitesse d'un point (a;, y, z) d'un système invariable à un instant donné.

Pour parler autrement, la solution générale du système (25) correspond au déplacement infiniment petit d'un point (a;, t/, z) d'un système invariable, dans un mouvement infiniment petit de ce système.

On pourra rapprocher les considérations précédentes de celles qui se trouvent pages 107 et suivantes.