Équations de Barré de Saint-Venant
Nous avons vu au n** -4 que six fonctions quelconques de x, y, z ne peuvent pas représenter In déformation d'un milieu continu et qu'elles doivent vérifier un système d'équations aux dérivées partielles du second ordre, qui représente la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (12) et leurs quatre analogues, où l'on considère les s,, y. comme des fonctions données, déterminent les inconnues u, v, w.
On peut dire encore que l'intégrale générale du système dont nous venons de parler est définie par les formules (12) et leurs analogues^
(') Remarquons, en passant, la particuiurité qui se présente si l'on veut écrire des formules déterminant toutes les intégrales du système (24).
4t0 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.
OÙ u, V, w désignent des fonctions arbitraires. Ceci posé, envisageons la solution qui correspond aux valeui^ u = 0, v==:0, w = 0 de ces fonctions arbitraires, et qui est ainsi constituée de fonctions toutes nulles, et formons, à l'égard de cette solution, le système auxiliaire du système considéré. Envisagé comme définissant six fonctions inconnues e,-, gr,, ce système auxiliaire admettra une intégrale générale définie par les formules (23), où ii, v, rv désignent des fondions arbitraires. Donc,
Six fonctions quelconques de x, y. z ne peuvent pas être prises pour représenter les dilatations linéaires et les glissements relatifs à une déformation infiniment petite; elles doivent vérifier «u système d'équations aux dérivées partielles du second ordre qui iy^présenle In condition nécessaire et suffisante pour que les équations (23), où les Cl, gi sont supposées des fonctions données, déterminent des inconnues u, v, w; ce système n'est auire que te système auxiliaire, formé à Végard de la solution co7istituée dé fondions toutes nulles, du système auquel satisfont les fonctions Zi, "^i associées à une défoi^iaiion quelconque.
Pour établir directement les équations dont nous venons de parler, an peut, avec M. Beltrami, procéder de la façon suivante. Prenons ûomme inconnues auxiliaires les composantes-,, t,, t, de la rotation; nous obtiendrons le système suivant :
du àx~''''
àV g y
dx 2
à w f/, dx" 2 ^'
ây~~ 2
dv
djr'-
dy-^ 1'^^'
au g, ôz 2
âz 2
dw
Les conditions nécessaires et suftisantes pour l'existence des fonctions M, 1',. M', lorsque -r^, t,, Tj sont supposées connuos, s'obtiennent en écrivant :
^ ^ 1^' r\ ^ — -^ fe ^ - \ ■~"dx\2 ^7' dz~'dx\2'^ '*)'
dc^
ày
âz
et six relations analogues.
Les neuf relations ainsi obtenues se résolvent ioinM^diatemeul par rapport aux dérivées partielles de t,, t,, t, et les condîlionH nécessaires et suffisantes de Texistence de u, v, w sont celles qui expriment que le système suivant :
i àx
]àr,
(2r>) T^ ^ ' ïày
fdt.
\ dz
2ây
iàg, 2 âz '
âx
âç^ iâg,^ ~ âz 2 âx'
dx
1 âg^ âe^
2 dx ây
\àg, 2 au
de,' âz'
dT.
ày'
1 âg^ 1 âg^ ^ ~ 2 de § dx *
Oy
de, 1 dpj ~ dx 2 ây
__âc, ày
2 âz'
âv, âz
^ 1 d//, dèg ~ 2 dz dx '
âxy âz
1 d(7, 1 d^Tg 2 dx 1 ây
déterminant les auxiliaires t,, Tj, Tj, est compatible ('). Nous obtenons amsi les six équalions données jiour la première fois par Barré de Saint-Venant;
dx \dx dy âz / *
/dg, dgr, dgrA ^
\d.î/ d? dx/ '
/<^9^3 , «^^1 . àgA Q
\ds dx ây /
