IV. — De l'emploi du tplèdre de référence mobile
IR. — Quelques formules relatives à la déformation en général.
L'étude de la déformation d'un milieu continu peut être envisagée comme étant celle du système triple de surfaces qui, dans le milieu déformé, correspond au système orthogonal de plans coordonnés auquel le milieu est rapporté avant la déformation.
Adjoignons à ce système triple de surfaces un trièdro mobile dont l'origine est au point P,, dont les coordonnées, par rapport aux axes fixes, sont :
X, = x4-u, y, r=t/4-v, z, = z + w, et dont les axes Pj»', Pi!/', P,z' ont des directions définies par le
(') Remarquons, en passant, que lorsque les <,-, ^, sont nulu, les considtîratlous |irécédeotes De diffèrent pas de celles qui se trouvent pag«s 108 et lUtt.
tableau du n° 1 ; en conservant les notations de ce numéro, sauf en ce qui concerne les paramètres p,, p,, p,, qui seront désignés ici respectivement par Xy y y 2, les formules (1) nous donnent les suivantes :
1 + ^ = aÇj + 6tii + cC»,
et les six analogues.
Désignons par u', v', w' les projections du déplacement (u, v, w) sur les axes du trièdre mobile; le point dont les coordonnées sont ce, y, z par rapport aux axes fixes a pour coordonnées par rapport aux axes mobiles correspondants — u', — v', — vr'; nous pouvons donc identifier les trois expressions
adx ■\-a'dij +a'dzy hdx + h'dy -hh'dZj cdx -\-c'dy -i-c'dz
avec celles qu'on déduit des formules (3) où l'on remplace p^, p,, p„ X, y y z respectivement par x, y, z, — u', — v', — w'. Il vient ainsi les relations
/ c du' , ,
dv'
et six analogues, que l'on pourrait aussi établir par un calcul direct.
Maintenant, en rapprochant les formules (7) de celles du n9 3, nous avons les relations
Parmi les particularisations du trièdre mobile qui sont utiles dans les applications, on peut signaler la suivante; prenons pour trièdre mobile le trièdre qui s'obtient en donnant au trièdre de sommet ^^ , et dont les axes sont parallèles aux axes des x, t/, z, la rotation au
NOTE DE MM. EUGÈNE ET Fa\NÇOIS COSSERAT. 413
point P {Xj y, z) déOnie au n" (7). Les relations (22) deviennent ici, en vertu des formules (28), les suivantes :
(30) >33 = Ci» Ci = Ç3J l» = »3i-
17. — Formules relatives à la déformation infiniment petite lorsqu'on particularise le trièdre mobile : équations de Barré de Saint- Vetiant.
Cherchons ce que donnent ici les considérations développées aux nos 14 et suivants, à l'égard de la déformation infmiment petite, lorsqu'on particularise le trièdre mobile, comme nous venons de rindiquer, de telle sorte que l'on ait les relations (30). Les relations (29) et leurs analogues, jointes aux résultats du no 13, et aux formules (2), donnent alors immédiatement les développements suivants :
Ç^ = l 4-c, -I- ..., Ç, = - gr, 4- ... , 1^=: ^g, + ,..,
r;j = l + c, + ..., iJ8=2 9'i + •••» à-, âx,
où c^, «,, gj, g^, ^„ ^j sont définis par les formules (23), et t,, t,, t, par les formules du n9 13.
Si nous portons ces développements dans les équations (4) et (5), et si nous n'avons égard qu'à la première puissance de t, il vient, en outre des relations identiques telles que
âxdy dydx les relations (26).
Nous sommes donc ramenés au système rencontré dans la démonstration que nous avons donnée, d'après M. Beltrami, des équations de Barré de Saint-Venant; les considérations précédentes doivent
çl
Pi
dx
àx
0t, àx
414 LEÇONS DE CINÉMATIQTE.
être évidemment rapprochées de celles que nous avons développées au n» 15 relativement à l'application de la notion dii système au xi liaire de M. Darboux.
V. -^ Ou cas où le milieu non déformé est rapporté à des coordonnées curvilignes quelconques.
!8. — Formules relatives à la déformation en général.
Proposons- nous de chercher ce que deviennent les formules établies dans les paragraphes précédents lorsque le milieu non déformé est rapporté à un système triple quelconque de surfaces dont les paramètres sont pj, p,, p,.
Pour ne pas multiplier les notations, nous conserverons, pour ce système triple, celles adoptées au n» 16 pour le système triple du corps déformé. Nous considérerons donc un trièdre mobile dont le sommet est au point P, qui a pour coordonnées ce, y^ z par rapport aux axes des Xy ?y, z, et dont les axes Px', Py\ Vz' ont des directions définies par le tableau du n" 1 ; ^,, v;,, 'Q seront les composantes de la vitesse ôe l'origine des axes mobiles relativement à ces axes, quand p; varie seul et joue le rôle du temps; Pi, g,, r^ définiront, par rapport aux mêmes axes, la rotation du trièdre relative au paramètre f;.
Les coordonnées x, y, s, par rapport aux axes fixes, de l'origine P du trièdre mobile sont des fonctions de ses coordonnées curvilignes qui vérifient, d'après les formules (1), les relations
dx =^ {a^i 4- brii H- cl;) dp-, (31) I dy =2 (a'§é + &'i^» + ^*'î:.) d?i, (« = 1,2,3),
( dz ^^^ia'l-hh'n. + c'Qdp,,
que l'on peut encore écrire
iadx + a'dy + a*dz := ^ ;,<i?i, hdx 4- h'dy + Vdz = ^ ^Qi^ip.»
cdx + c!dy 4- c'dz = ^ ^idp^.
Soient U^ v, wles prcyectiônssurlés axes fixe? du dé[)lae»')ner.f PP,
du point P, et u', v', w' les projections du même déplacemcrtt sur les axes mobiles.
Considérons le carré de l'arc élémentaire décrit par le point P,, savoir :
{dx + du)* + {dy + dv)* + {dz + dw)%
ou encore, avec les notatioirs du n° 3,
j (1 + 2e.)c?a;« + (1 + 23,) df + (1 + ^2^) dz' + 2y,d,jdz \ +'2y^dz dx + '2:^^dx dy.
Nous pouvons le calculer au moyen des formules (3); il nous suffit de remplacer dans les trois expressions (3), les lettres x, y, z par les lettres u', v', w', et de faire la somme des carrés, ce qui nous donne
[2(*+ S +''''''-'''''')'*f']'+[2('"+5'"^''"'~^^''')J [2;(..-'^'.py-„u.)J.
Nous tirons de là la conclusion suivante :
Pour calculer les six composantes e^, y^ de la déformation au point P, on effectuera dans la forme^ quadratique (34) en dp^, dpf, dpj, la substitution définie par la résolution des formules (31) ou (32); on identifiera là nouvelle forme quadratique en dx, dy, dz ain$i obtenue avec la forme quadratique (33).
On peut présenter la règle précédente sous une autre forme.
Prenons comme inconnues auxiliaires les composantes £,', y.' de la défonnation au point P par rapport aux axes P;«', Py', Pz' issus de ce point. D'après ce que nous avons dit au n° 10, dès que ics six quantités e,', y,' se ont connues, nous aurons les e,-, v^ parles formules
/ Sj = eja* -H £^6' + eâc' + y[bc -+■ y'^ca -f '{'^ab^ (35) I y^=2t[a'a*-]-^^h'b''•^-2l',c'c'~h.y[{b'^+h''c')
et les quatre analogues; d'autre part, d'après la môme numéro^ si l'on effectue sur la forme quadratique (33) la substitution définie par les» formules
/ djs = adx' + bdy' + cdz\ (96) I dy = a'dx'-h b' dy' ^ c'dz',
' dz z^a'dx'-hb'dy' + c!:dz\
on trouve la forme quadratique
(1 + 2e;) dx'* + (4 -I- 26;) dy'* + (1 + 2s;) dz'*
^ ^ ( +'2'{[dy'dz'-\-2Yidz'dx'-i-2'{ldx'dy\
Si l'on compare (32) et (36), on a donc la règle suivante :
Pour calculer les six composantes bI, yl de la déformation au point P pai' rapport aux axes Px' , Py', Pz' , on effectuera dans la forme quadratique (34) en dp^, dp,, dp, la substitution définie par la résolution des forfnules
(38) dx'=2$,dp„ dî/'=2r,,dp„ dz'^'^^.dp,,
et on identifiera la nouvelle forme quadratique en dx', dy', dz' ainsi obtenue avec la forme quadratique (37).
