Formules relatives à la déformation infiniment petite

Supposons, comme au n°ll, que u,v,w soient fonctions d'une variable t en même temps que de p^, pj, p,, et puissent être développées suivant les puissances entières positives de (, par des séries absolument et uniformément convergentes dont les premiers termes soient u, V, w; Its neuf cosinus a, &, c, ..,, étant indépendants de f, u', v', w' seront aussi développables par des séries dont les premiers termes u*, v', to' seront respectivement les projections sur les axes mobiles du segment, dont les projections sur les axes fixes sont m, v, w.

Si nous cherchons les premiers termes e,-, gr, des développements de $,, Yi, il suffira d'utiliser l'une des règles du numéro précédent; prenons la seconde; en désignant par c.', gl les premiers termes des développements de e,', y', pour en déduire les <?,, g-, il suffira de remplacer, dans les formules (35) et leurs analogues, e,, y^, s.', y,' i"espectivement par c,-, g^ cl y gl.

D'autre part, on aura la règle suivante :

Pour calculer les six quantités el, gl^ on effectuera dans la forme quadratique en dpi, dp,, dp, suivante:

la substitution définie par la résolution des formules (38), et l'on identifiera la nouvelle forme quadratique en dx' , dy', dz' ainsi obtenue avec la forme quadratique

e\dx"-he'^dy'*+e',dz"-i-g[di/dz'+g'^dz'dx'+(;',dx'dy'.

1\ est intéressant de reprendre, pour le cas général que nous venors d'envisager, les considérations développées aux n"» 46 et 17, mais nous nous bornerons ioi aux indications précédentes.

Cineinatique. 91

NOTES DE L'AUTEUR

Coordonnées tétraédriqiies des segments.

les arêtes d'un tétraèdre.

Décomposition 1 • Soit un tétraèdre dont les sommets seront désignés par 1 , 2, 3, 4 d'un segment et AB un segment. Joignons le point A à trois des sommets, à 1, 2, 3, suivant par exemple; on peut regarder \B comme la somme géométrique de trois segments portés par les droites 1 A, 2 A, 3 A. Ces trois segments, à leur tour, peuvent être décomposes en d'autres portés par les six arêtes du tétraèdre, et en composant entre eux les segments portés par une môme arête, ou arrive à constater l'exactitude de ce théorème :

Tout segment AR est équivalent à un système de six segments portés par les arêtes d'un tétraèdre donné.

On peut ajouter que cette représentation n'a lieu que d'une manière. Soient, en effet, plus généralement, (S,,, S^^, S,^, S,j, S^j, S, J et (s,',, S],,..., 83^,) deux systèmes de segments équivalents portés par les six arêtes d'un même tétraèdre, S,, et S[^ par l'arête 12, Sj, et 8^3 par l'arête 13, etc. L'équivalence de ces deux systèmes exige que leurs moments résultants relativement à tout axe de l'espace soient les mêmes. Prenons les moments par rapport à l'axe dirigé suivant l'arête 12, tous ces moments sont nuls sauf ceux des segments S,4 et Sg^ portés par l'arêfe opposée; l'égalité dos moments entraîne ici celle de ces deux segments eux-mêmes. Même démonstration pour tous les autres segments.

Ceci posé, considérons le segment S,!, porté par l'arête ik; on peut regarder ce segment comme le produit du segment ik par un nombre algébrique puc- La valeur absolue de p^ est le rapport des longueurs

de S,t et de l'arête tfc; le signe de p,t est -h ou — selon que S.^ et l'arête ik sont de même sens ou bien non.

Si l'on changeait le sens de Tartte, ce qui revient à échanger i et ky on voit que jî.t changerait de signe; ce que l'on peut exprimer en écrivant

Pm — — Viii on voit donc que l'on a six quantités

Pli» /'js» Pu» jPis» Psi» P4»>

Coordonnées qui définissent complèlement le segment AB par rapport au tétraèdre toiraédnques. proposé. Ces six quantités constituent les coordonnées tétraédriques

du segment.

Considérons le système des six segments S,,, S,,, 8,^, S,,, S,,, S,,.

Les moments de ces segments pris deux à deux sont tous nuls sauf

pour les trois couples portés par les arêtes opposées. L'aulomoment

(p. 25) de ce système se rédnil donc à

moment (s,,, S^J 4 moment (S,„ S„) -f- moment (s,,, S,,).

Or, si \L désigne le moment de.? arêtes 12 et 34, lequel est égal à celui des arêtes 13 et 42, et à celui des arêtes 14 et 2;3, et égal en valeur absolue au sextuple du volume du tétraèdre 1234, on voit facilement, d'après le n^' 6, que

moment (Sj,, S^J = /)„ .Pj* u., moment (Sjj, S„) = Pjj.p,,!*, moment (S,„ S„) =p,».p„.î''»

d'où pour l'automoment,