LEÇONS DK CINÉMATIQUE
Application de la théorie des complexes aux systèmes de segments.
17. Arrivons maintenant aux applications des complexes linéaires à la théorie des systèmes de segments.
Axes de TiiÉORÈME I. — Les axes de moment nul d'un système de seg-
moment nul. ^-fi^nts forment un complexe linéaire.
L'équation à laquelle satisfont les coordonnées a, (3, y, A, [J-, v d'un de ces axes est, en elTet, %, %, £-, '£, Ah, % désignant les coordonnées du système de segments
Îfa + .IL^ + %y + a'A + iJH.
elle est du premier degré en a, [S, y, X, [x, v, ce qui démontre la proposition énoncée.
'I, cil), %, %, %, Z peuvent être pris arbitrairement. Donc tout complexe linéaire peut, réciproquement, être défini comme le complexe des axes de moment nul d'un système de segments.
On peut donner de celte proposition une démonstration purement géométrique.
Il est évident que les axes de moment nul forment un complexe. Démontrons qu'il est linéaire.
Soient P un point de l'espace, PG le moment résultant du système de segments en ce point ; pour qu'un axe A issu de P ait son moment nul, il faut et il suffit que la projection de PG sur cet axe soit nulle, c'est-à-dire que A soit dans le plan iz normal à PG.
Le cône du complexe est donc le plan t.; et, par suite, le complexe est linéaire.
Théorème H. — La démonstration précédente prouve en môme temps que le plan focal d'un point dans le complexe des axes de moment nul s'obtient en menant le plan normal en P au moment résultant du système au point P.
Théorème IIL — Si deux segments S^, Sj forment U7i système équivalent à un système de segments, les droites qui les portent et dont Vune peut être arbitrairement clioisie, forment un couple de
droites conjugîtées, relativement an complexe des axes de moment nul du sij^li'me.
En effet, tout axe qui coupe S^, Sj est de moment nul; donc tout plan qui passe par S, coupe Sj en son propre foyer.
La théorie des droites conjuguées est donc celle de la réduction à doux segments du système de segments proposé.
Théorème IV. — Si l'on a réduit un système de segmeiits à un segment unique S et à un couple, la droite qui porte le segment S est un diamètre du complexe des axes de moment nul du système.
Supposons, en effet, qu'on ait réduit le système de segments à un segment unique S porté par une droite A et à un couple situé dans un plan z; soit 0 le point où A perce le plan r.. Tout axe issu de 0 dans le plan t: est de moment nul, car le moment de S et le moment du couple, par rapport à cet axe, sont séparément nuls; donc 0 est le foyer du plan x. Si le plan t. se meut parallèlement à lui-même, le couple ne change pas, le point 0 décrit la droite A, qui se trouve ainsi être le diamètre conjugué de cette direction de plans.
Enfin la propriété des diamètres d'être parallèles correspond à la propriété qu'a le segment unique S de demeurer équipollent à luimême. On reconnaît en même temps que Vaxe du complexe coïncide avec l'axe central de Poinsot; il sulfit pour cela de supposer que le plan :: devient normal à l'axe A. Propriétés La considération des segments permet d'établir aisément plusieurs
métriques. propriétés métriques des complexes.
Prenons par exemple pour axe des z l'axe central, les coordonnées du système de segments sont alors
'' ui
Corrospon- Soient deux droites conjuguées; prenons pour axe Ox leur perpen-
"^'^ diculaire commune qui coupe aussi à angle droit l'axe central ; prenons
entre deux droites ^U perpendiculaire à Ox et Oz. Appelons X, Y, Z, X , Y , Z' les pro-
coiijijguées. jections des deux segments portés par les droites conjuguées D, A considérées et qui forment un système équivalent au système proposé; soient enfin x, x' les abscisses des points où D, A coupent Ox. Cincnialijue. 4
Les moments des deux segments par rapport aux trois axes de coordonnées sont
(0, — £cZ, xY) (0, — cc'Z', x'Y'),
puisque X = X' =0. Les équations d'équivalence se réduisent donc à celles-ci :
+ Y' =qj, = o, z + z'=0{,
-^xZ—x'Z'=Ah = 0, xY -\-x'Y' =ei=^'
■^ {il
Appelons A, X' les tangentes des angles des droites 1), A avec l'axe Oz, on a
et les formules précédentes nous donnent Xx'
iR
ta*
où h est le paramètre défini à la page 26.
Ces formules expriment complètement la correspondance entre deux droiles conjuguées et permettent d'en construire une quand on connaît l'autre.
Lorsqu'un point décrit une droite du complexe, son plan polaire
tourne autour de cette droite; nous allons chercher quelle est la loi entre los points ^ ^ , ■
d'une droite correspondance entre le plan et le point.
du complexe Soit une droite du comp'exe que nous prendrons pour axe Oz et et leurs plans g^j^ q^ j^ perpendiculaire commune à 0- et à l'axe central.
Pj'cnons sur Oz à la hauteur î^ un point M, la perpendiculaire MM' menée de M à l'axe du complexe fait partie du complexe (Ih. VII, nol6); le plan O M M' est le plan polaire de M. Soit^ la dislance OA de Oz et de l'axe du complexe, 0 leur angle, les équations do l'axe sont
Correspondance
polaires.
Fifj. W.
p, y co? 0 - z sin 0
)roitesperpoiitliculaires
à leurs conjuguées.
Le plan mené par M perpendiculairement à l'axe central a pour équation (2) y sin 0 + (3 — Q cos 0 == 0.
Ce plan coupe l'axe central en M'; on a immédiatement l'équation du plan OMM' en formant une combinaison homogène en x, y des équations (1) et (2); on trouve ainsi
y = l).x où
sin 6 cos ô
Le 'point M et son plan polaire déterminent donc sur la droite Oz une correspondance homographique, dans laquelle le point à l'infini correspond au plan mené par la droite parallèlement à l'axe central. Le plan perpendiculaire au précédent a pour pôle le pied 0 de la perpendiculaire commune à l'axe central et à la droite proposée. Le paramètre de distribution a pour expression.
sin 6 cos 0
Si l'on se rappelle alors que l'on a (n» 13, p. 39) p fg 6 = — h, on peut simplifier et écrire
Les axes de moment nul ne sont pas les seules droites remarquables qui interviennent dans la théorie des segments; les droites rectangulaires avec leurs conjuguées jouent aussi un rôle important. Ces droites forment un complexe du second degré.
Considérons un point P de l'espace et soit PG le moment résultant du système au point P; appelons D la dr'oite qui porte PG; cette droite D est, nous le savons, la normale au plan focal de P; sa conjuguée A est dans ce plan focal, donc A est recf'C- 2i. lansrulaiie avec L).
Réciproquement, soient D, A deux droites conjuguées rectangulaires ; menons par A un plan normal à D et coupant D au point P.
Le point P est le foyer du plan AP, donc D est normale en P au plan focal de ce point P. Ainsi les droites rectangulaires avec leurs conjuguées ne sont autres que les droites qui portent les ^noments résultants relatifs à tous les points de l'espace.
Ces droites dépendent de trois paramètres, elles forment bien un
complexe dont nous allons déterminer l'ordre.
Courbe Soit un plan t:, son foyer 0, la normale !)„ en 0 à ce plan et la con-
du complexe, juguée Aq de D^ qui est une droite du plan tc. Cherchons toutes les
droites du plan :: rectangulaires avec leur conjuguée. Soit A l'une
d'elles, sa conjuguée D passe par le point 0. Menons par D un plan o
normal à A, qui coupe A en son pôle Q. Le plan ç étant normal à A est rectangulaire avec le plan t:, il contient donc la normale
Cône da complexe.
Dç en 0 à ce plan.
Mais alors, puisque
ù^ le plan ç passe par D^
son pôle 0 est sur la
droite An polaire de
Fig. 22. Do- La droite Ap est
ainsi le lieu des projections du point 0 sur les tangentes à la courbe
enveloppe des droites du complexe dans le plan r.. Celte courbe est
donc une parabole dont 0 est le foyer et Aq la tangente au sommet.
La courbe du complexe étant de deuxième classe, il en résulte que le cône du complexe est du deuxième degré. Celte propriété peut d'ailleurs être établie directement.
Soient S^, S; les deux segments portés par D,, et Aq qui sont équivalents au système de segments considéré.
Soient, de même. S, S' les segments portés par D et A équivalents à ce môme système.
Les projections de S et S' sur un axe quelconque ont môme somme que les projections de Sq, S^. Projetons sur D^; S' et S^ ont des projections nulles; on voit donc que le segment S se projette sur D^ suivant le segment S,,. Le point S, extrémité du segment S, se meut
