CHAPITRE PREMIER
Préliminaires géométriques. — Théorie des segments.
1. On sait quel est le principe do la représentation analytique d'un segment sur une droite. Axe. Une droite peut être parcourue par un point dans deux sens
opposés; une droite sur laquelle un sens de parcours a été choisi s'appelle un axe.
Nombre Soit un segment AB, de longueur l, dont A est l'origine et B l'ex-
i mesure vin trémité, et supposons que ce segment soit porté sur un axe A; on ° ■ fait correspondre à ce segment un nombre algébrique X, qui est égal à + i si le segment a le sens de l'axe et à — ï si le segment a le sens opposé.
Dans ses leçons de Mécanique élémentaire publiées en 1858 chez Mallet-Bachelier, M. Ossian-Bonnet appelle la quantité algébrique )v, le nombre qui mesure le segment. Cette locution a été reprise par M. Tannery dans ses Leçons de cinématique.
Pendant longtemps on a voulu voir des difficultés dans la démons
tration du théorème des projectiojis. Ces difficultés, cependant,
n'existent pas si l'on sait faire usage de la notion si simple introduite
par M. Bonnet.
Somme Comme la théorie des sommes géométriques fait partie de l'ensei-
réométrique. gnement élémentaire, j'en rappellerai seulement les principes.
Soient AjBj, AjB,, ..., A„B„ n segments de droites ; par un point 0 Cinématique. 1
on mène le segment OPj égal et parallèle (on dit aussi cquipollent) au segment AjBj, puis on mène PjPa équipollent à A^B^ ... et ainsi de suite, jusqu'au segment P„iP„ qui sera équipollent au segment A„B„. Le segment 0P„ est la somme géométrique, ou résultante des n segments proposés.
A l'égard de cette somme géométrique on démontre sans peine les propositions suivantes que je me contente d'énoncer :
1° La somme ne change i:)as si l'on intervertit l'ordre des segments dansla construction du polygone OPjPj ... P„.
2° La somme ne change pas si l'on remplace plusieurs segments par leur somme géométrique effectuée.
Remarquons enfin que les définitions et les théorèmes précédents ne supposent en aucune manière que les segments forment un véritable polygone dans l'espace, et que tout subsiste si les segments se trouvant parallèles, les points Oj, Pj, Pj, ..., P„ sont en ligne droite. Systèmes Lorsque le point P„ coïncide avec le point de départ 0, on dit
fermés, q^g jgg segments OP,, PjPj, ..., P„i P„ forment un système fermé.
Si ces segments forment un polygone, ce polygone est fermé; mais les segments peuvent être disposés aussi sur une même ligne droite.
On a, sur les systèmes fermés, la proposition suivante :
Dans tout système fermé, un segment quelconque est opposé à la résultante de tous les autres.
Dans cet énoncé, on entend par segment opposé à un segment AB, le segment BA obtenu en échangeant l'origine et l'e.vlrémité.
Projections.
2. L'idée de projection est toute géométrique. Soit un plan x et une direction de droites A; projeter un segment A B sur le plan ■:: parallèlement à la droite A, c'est construire le segment A'B', dont l'origine A' et l'extrémité B' sont respectivement les traces sur le plan T. des parallèles à A menées par l'origine A et l'extrémité B du segment AB.
On peut aussi projeter sur une droite A parallèlement à un plan r. Dans ce cas, projeter un segment AB sur la droite A, c'est construire
CIIAP. I.
le segment A'B' obtenu en prenant les traces sur A des deux plans parallèles au plan :: menés par les points A et B.
Dans les deux cas, les projections sont dites orthogonales si le plan t: est normal à la droite A.
Ceci posé, on a les deux théorèmes suivants, presque évidents :
La projection sur un plan d'un système fermé est un système fermé.
La projection sur une droite d'un système fermé est un système fermé.
Ces deux théorèmes conduisent immédiatement aux propositions suivantes :
Les projections sur un plan de plusieurs segments de l'espace
ont pour somme géométrique la projection sur ce plan de la
somme géométrique des segme^its de l'espace.
nonce Les projections sur une droite de plusieurs segments de l'espace
*!ometnque ^j,^ poîir somme géométrique la projection sur la droite de la K théorème . , . , , „
jlgg somme géométrique des segments de l espace.
'ojections. Cette dernière proposition constitue ce que nous appellerons
l'énoncé géométrique du théorème des projections. Jusqu'ici, en effet, nous n'avons eu à effectuer que des constructions géométriques; en introduisant les quantités algébriques, nous parviendrons à un énoncé algébrique du théorème des projections, qui est la forme sous laquelle ce théorème est le plus connu.
3. Nous allons utiliser la notion du nombre qui mesure un segment donné, porté par un axe déterminé.
Considérons un axe X et plusieurs segments A^Bj, A^B^, ..., A„B„ portés par cet axe; soit S le segment (également porté par cet axe) qui est leur somme géométrique; désignons enfin par Xj, X^, ..., a„ et par A les nombres qui mesurent ces segments. On a la formule algébrique fondamentale que voici :
/ A = Al -+- Xj + ... + X„.
On commence par établir sans difficulté cette formule pour le cas de deux segments seulement; on s'élève ensuite au cas général.
Cette formule une fois démontrée, le théorème de projections, sous sa forme algébrique, en résulte sans peine.
Soient, en effet, A^lB^, A^B^, ..., A„B„ n segments dans l'espace,
5 leur somme géométrique; soient AJBÎ, A^B^, ..., A,',B,'„ S' les projections de ces segments sur un axe A. D'après l'énoncé géométrique du théorème des projections, on voit que S' est la somme géométrique des segments A[B[, A^B^, ..., A3',- Si donc on désigne par ).J, Aj, ••-, a'» les nombres qui mesurent ces derniers segments sur l'axe A, et par A' le nombre qui mesure S', on aura, d'après la formule précédente,
et en cela consiste l'énoncé algébrique du théorème des projections, c'est-à-dire ce que l'on appelle communément le théorème des projections.
4. Je ne m'arrêterai pas à montrer comment, étant donnés un axe A et un segment AjBj porté par un axe Ai, on arrive à trouver le nombre qui mesure la projection de AjE^ sur l'axe A. Je rappellerai seulement la proposition suivante :
Paramètre Appelons paramètre de projection de l'axe ^^ par rapport à
de projection, j'^xe A le nombre qui mesure sur A le segment a'b', projection (sur A) du segment unitaire (•) ab porté par l^ et qui a le sens de A,.
Le nombre qui mesure sur A la projection (sur cet axe) d'un segment AB porté par A,, est égal au produit du paramètre de projectio7i de Aj par rapport à A, par le nombre qui mesure sur A^ le segment AB.
Dans le cas des projections orthogonales, le paramètre de projection de Aj par rapport à A est un élément symétrique par rapport aux deux axes; c'est-à-dire que c'est aussi le paramètre de projection de A par rapport à Aj ; c'est ce que l'on appelle le cosinus de l'angle des deux axes. Le cosinus de l'angle de deux axes se trouve en effet avoir une valeur parfaitement déterminée, bien que l'angle de deux axes ait une infinité de déterminations.
J'ai cru devoir rappeler aussi rapidement que possible ces éléments de la théorie des projections; je montrerai encore comment les pro-
(i) Un segment unitaire est un segment dont la longueur est égale à l'unité.
jections peuvent intervenir dans la représentation des segments dans
l'espace.
Usage des Prenons trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz, et considérons un
rojections segment AB de l'espace; désignons par X, Y, Z les nombres qui dans la )résentation mesurent ses projections sur les axes Ox, Oy, Oz. Ces nombres sont
is segments ce que l'on appelle par un abus de langage les projections du segment ns l'espace, g^^, ^es axes. Si l'on se donne seulement X, Y, Z, le segment AB n'est pas déterminé dans l'espace, car les mêmes éléments conviennent à tous les segments équipollents au segment AB.
Donc, se donner X, Y, Z revient à se donner une famille de segments équipollents dont fait partie le segment AB.
On voit par là que les projections seules ne suffiraient pas pour déterminer la position d'un segment dans l'espace.
Pour y parvenir, il faut introduire à côté des projections un élément nouveau, le moment.
Moments.
'éfinitiou du 5. Soient deux segments AB, CD; imaginons un observateur
moment de traversé des pieds à la tète par le segment A B et tourné vers le 'Uxsc^iUGntSi
° " point C; si les deux segments ne sont pas dans un même plan,
l'observateur verra le point D soit à sa droite, soit à sa gauche.
Dans le premier cas nous dirons que AB et CD sont dans la position dextrorsuni, dans le second cas nous dirons que AB et CD sont dans la position smistrorsum (^).
Considérons le tétraèdre ABC D; soit v son volume, nous appellerons tétraèdre construit sur les deux segments le nombre algébrique ± u, où le signe sera + si A B et CD sont dextrorsum et — s'ils sont sinistrorsum. Ce nombre est nul si les segments sont dans un même plan.
Au lieu du tétraèdre on peut considérer le paralléllpipède construit sur les deux segments : son volume est six fois celui du tétraèdre ; on lui donne le même signe qu'au tétraèdre. Le parallélipipède (ou six fois le tétraèdre) construit sur deux segments porte aussi le nom de moment des deux segments.
(M On constate sans peine que la disposition de CD par rapport à ATÎ est la même que celle de XB par rapport à Uî>.
Tétraèdres La considération des tétraèdres s'est présentée aux premiers au-
deChasles. teurs (Charles, Sylvester, Mobius) qui ont écrit sur la théorie des segmenis.
On a reconnu ensuite que l'emploi du parallélipipède permettait de rattacher cette considération à celle des moments pris par rapport à (les axes, dont l'usage est beaucoup plus ancien en mécanique. Les })arallélipipèdes ou moments de deux segments permettent donc de léunir dans une même idée générale l'ancienne théorie des moments pris par rapport à des axes, et les propriétés des tétraèdres introduits par Ghasles.
Le moment de deux segments donne lieu à quelques propositions élémentaires que nous allons démontrer.
IndifTéi-ence THÉORÈME L — Le moment de deux segments reste invariable au glissement, ^i ^'y,^ ^^^-^ glisser l'un d'eux sur lui-même.
En effet, soient AB, CD les deux segments, il suffit de prouver, par exemple, que le glissement de CU sur lui-même laisse inaltéré le volume du tétraèdre ABGD ainsi que son signe.
Pour le signe, il est bien clair que le glissement de C D sur luimême ne change pas la nature (dextrorsum ou sinistrorsiim) de A'C^ /' >\ 'n^ la disposition des deux segments,
"'-.^ et pour ce qui est de la valeur
« \ "-, absolue du volume, on voit aussi
c D C D que cette valeur ne change pas. Il
^''3- ^- suffit de regarder ABGD comme
une pyramide de sommet A et de base BGD. Le glissement de CD laisse la hauteur inaltérée, et le triangle de base BGD reste évidemment équivalent à lui-même, puisqu'il conserve sa base et sa hauteur.
Corollaire. — Le moment de deux segments ne change pas si l'on fait glisser arbitrairement chacun d'eux sur lui-même.
Théorème IL — Soient k\i, CD deuc segments, CX une perpendiculaire au plan ABC, et CD' la projection de GU sur cette droite; on a
moment (AU, CD) = moment (aB, CD').
En effet, observons que CD et CD' sont d'un même côté du plan ABC mené par AB et G, car D' peut s'obtenir en menant par D un plan parallèle au plan ABC et prenant sa trace sur GX; donc la disposition (dextrorsum ou sinistrorsuîn) de AB et CD' est la même que celle de AB et CD. Le signe des deux moments est donc le même. Leur valeur absolue est aussi la même, car les tétraèdres (A B G D) ( AB G D'), considérés comme des pyramides de base commune ABG et de sommets D et D' , ont même base et même bauteurGD'.
On peut déduire de là une expression analytique utile du moment de deux segments.
Observons d'abord que la notion de disposition dextrorsum ou sinistrorsum que nous avons définie pour deux segments s'étend au cas d'un segment et d'un axe et au cas de deux axes.
Cela posé, considérons la droite GX construite précédemment; un sens de parcours de cette droite est dextrorsum par rapport à AB, et l'autre est sinistrorsum. Choisissons l'axe dextrorsum et soit, pour ne pas compliquer les notations, GX cet axe. Le segment CD' est mesuré sur l'axe GX par un nombre 7' ; je dis que l'on a
moment (ÂB, Gd) = moment (ÂB, CF)
OÙ s désigne l'aire du triangle ABC.
II suffit de prouver que
tétraèdre (aB, GD) = tétraèdre (aB, CD')
Cette égalité est vraie en valeur absolue, car la valeur absolue de c' est précisément la hauteur du tétraèdre. Elle est aussi vraie en signe. Supposons, en effet, g' positif; il faut prouver que le tétraèdre est alors positif ou que les segments AB et CD' sont dextrorsum.
Or, puisque j' est positif, CD' a le sens de l'axe CX qui est dextrorsum par rapport à AB; donc CD' est aussi dextrorsum par rap-
port à AB. On verra de même que si a' est négatif, le tétraèdre doit bien être négatif, car alors AB et CD' sont s'mistrorsum.
Première Théorème III. — Soient CD,, GD^, ..., GD„ n segments concou-
generahsation j.^,^^g ^^g j'q^ peut, par glissement, amener à avoir même origine G,
du théorème i ? u o o
de Varignon. ^^ AB un autre segment; co7isti'uisons le segment GD, somme géométrique des n premiers segments; la somme des moments des segments GD, et du segment AB est égale au tnoment de AB et de la somme géométrique GD des n segments.
Cette extension de la belle proposition due à Varignon se démontre comme il suit :
Choisissons, comme plus haut, l'axe CX normal au plan ABC et dextrorsum avec AB; soient CDj, CDg, ..., CD,' et CD' les projections sur CX des segments CDp CD^, ..., GD,„ GD; et jj, a'^, ..., / g'„, 7' les nombres qui mesurent ces projections; on a, par le théorème des projections :
Multiplions par
+ On-
S où S est l'aire du
triangle ABC, on aura
Flg. 3
- S !7i + ;r S aâ + ... + - S CT„.
Mais - S jj- est le tétraèdre construit sur les segments AB et CD,;
-Sa' est le tétraèdre construit sur A B et CD; on a donc
tétraèdre (ÂB, GD) = tétraèdre (ÂB, GÏj;) H- tétraèdre (aB, GD^;
-f- tétraèdre (aB, GdJ.
En multipliant par 6 les deux membres de cette égalité, on a le
théorème énoncé.
Soient deux segments AB et CD, par glissement on peut amener expression i • • »
du moment de ^^^ origmes A, G des deux segments aux pieds de la perpendiculaire
deuxsegments. commune aux droites AB, CD, qui les portent, de sorte que AC est
Seconde
cette perpendiculaire commune. Soit p sa longueur. Élevons, comme dans le théorème II, la perpendiculaire CX au plan ABC et projetons CD en CD' sur GX. On a, d'après le théorème II,
moment (AB, CD) = moment (AB, CD').
Or, le moment de AB et de CD' est aisé à calculer en valeur absolue. Nous avons, en effet,
moment (ÂB, Gd) =: ± 2 ABC X CD';
Fig. 4.
or, l'aire du triangle ABC est égale à
AB.p,
donc
moment (aB, CD) = ±j9 AB.CD'
Soit CD" la projection de CD sur le plan ABC; la droite CD" est parallèle à la droite A B et est la trace sur le plan A B C du plan X G D ; appelons a l'angle aigu de CD et de CD"; l'angle DGD' est le complément de l'angle DGD" ou a, et l'on a
donc, enfin.
CD'=GD.sina, moment (aB, CD) = ± j3 sin a.AB.CD.
Deux droites élant données dans l'espace, leur angle est indéterminé, comme on sait, mais le sinus de leur angle a deux valeurs qui sont égales et de signes contraires. Nous appellerons sinus do l'angle de deux droites celui de ces deux sinus qui est positif (i).
On peut alors énoncer ce théorème :
Théorème IV^ — La valeur absolue du moment de deux segments est égale au produit de leurs deux longueurs, multiplié par leur plus courte distance et par le sinus de l'angle des droites qui les portent.
(') La même remarque s'étend aux cas de deux axes. Le cosinus de l'angle de deux axes est déterminé, mais non le sinus qui a deux valeurs égales et de signes contraires.
J^-^ Of TUE ^
'UiriVBRSITT]
Segment
unitaire
allactié à un
axe.
Moment
par rapport
à un axe.
Moment de deux axes.
Définition
classique
des moments
par rapport à
un axe.
Ce théorème a pur lui-même une certaine portée pratique, mais on peut lui donner une forme plus précise en introduisant les moments pris par rapport aux axes.
0. Faisons en premier lieu la remarque que le glissement d'un segment sur lui-même est sans importance au point de vue des moments, des projections, et du nombre qui mesure le segment ; nous sommes ainsi amenés à regarder comme identiques deux segments ÂB, ÂJBj tels que l'on passe de AB à AjEi par un glissement de AB sur lui-même. Cette indétermination est déjà moins grande que celle qui résulte de la considération des segments équipollents. Disons dès à présent que cette indétermination due au glissement cadre exactement avec les applications mécaniques de la théorie des segments.
Considérons un axe A; il y a sur cet axe un segment remarquable, le segment unitaire (de longueur 4) qui a le même sens que A, c'est-à-dire le segment qui est mesuré par le nombre + 1. Réciproquement, tout segment unitaire définit sans ambiguïté l'axe qui le porte et qui a même sens que lui. Cette remarque permet, en quelque sorte, de confondre les notions d'axe et de segment unitaire.
Conformément à cette manière de voir, nous appellerons moment d'un segment AB par rapport à un axe A, le moment de AB et du segment unitaire attaché à l'axe A.
Le moment de deux axes sera le moment de leurs deux segments unitaires.
La définition que nous avons donnée des moments par rapport à un axe, sort un peu des traditions classiques ; il est bien facile de la ramener à la définition habituelle.
Soit 0 U le segment unitaire attaché à un axe, et CD un segment. Prenons le point 0 (ce qui est permis par glissement), au point où l'axe A est coupé par le plan tc, normal à A mené par C.
Projetons D en D' sur le plan :: et ^ Fig. 5. en D" sur une parallèle à A issue de C.
On peut regarder CD comme la somme géométrique de CD' et de CD".
On a donc, d'après le théorème III,
moment (a, Gd) — moment (ÔÏJ, Gd)
= moment (ÔÏJ, GÏv) + moment (ÔTJ, CÎ?).
Du reste, puisque CD' est parallèle à OU, le second moment est nul et il reste
moment {^, GD) = moment (ÔTJ, CW).
Soit p la distance du point 0 à la droite CD', on a moment (ÔO, CF ) — 6 tétraèdre (ÔÏÏ, CD')
= ±6 X !^0U X Ip.CD' = ±p.Cï)',
le signe + convenant au cas où CD' va de gauche à droite pour un ohservateur traversé des pieds à la tète par OU, et le signe — dans le cas contraire.
C'est hien là la définition adoptée ordinairement pour le moment d'un segment par rapport à un axe.
On voit que par le fait de la réduction à l'unité du segment OU, le moment qui a été défini au début comme un volume, se trouve, pour le cas d'un axe et d'un segment, représenter une aire douée d'un signe.
En supposant, dans le théorème III, que le segment ÂB est unitaire^et que les segments CDj, ..., CD„ sont dans un plan normal à AB, le théorème III devient en fait le théorème dit de Varignon.
Revenons au théorème IV, qui nous donne pour le moment de deux segments AB, CD l'expression
moment (ÂB, Cd) irn ± ^9 sin a . A B . C D.
Si AB est un segment unitaire attaché à un axe A, nous avons
moment (a, CÏ)) = ± p sin a.GD.
Si enfin AB, CD sont tous deux unitaires, et sont aKachés à deux axes A', A
moment (A, A') =: ± j^ sin a.
Formule
générale
relative
au moment de
deux
segments.
Autrement dit, le moment de deux axes est égal, au signe près, au produit de leur plus courte distance par le sinus de leur ai^gle.
Nous sommes actuellement à même de donner une expression analytique précise du moment de deux segments AB, CD.
Soient en effet A, A' deux axes qui portent ces segments, et désignons par c, c' les nombres qui mesurent AB sur A, et CD sur A'; je dis que l'on a
moment (AB, GD) = c.a' .moment (A, A').
Observons d'abord que dans l'équation
moment (ÂB, GD) = ± p s'm a.AB.GD,
ji sin a est, au signe près, moment (A, A'), et que AB, GD sont les valeurs absolues de j, j'. On peut donc écrire
moment (AB, GDJ = ± a.7' moment (A, A').
Prouvons que le signe H- convient seul dans tous les cas : Si 7, 7' sont positifs, c'est que AB, CD ont le sens des axes A, A'. Donc AB, GD ont même disposition que A, A' et le moment de AB, CD a même signe que celui de A, A' • On a donc, dans ce cas,
moment (aB, GDj =: + 7.7' moment (A, A').
Que 7 devienne négatif, alors AB est de sens contraire à A, et AB, GD, seront de disposition contraire à A, A'. Le moment de AB, GD sera de signe contraire à celui de A, A'. Puisque 7 est négatif, le signe + convient encore. On poursuivra sans peine le raisonnement dans le cas où 7, 7' deviendraient tous deux négatifs.
La formule est donc démontrée. Il est bon de constater que la formule est encore vraie si l'un des segments est de longueur nulle, ou bien s'ils sont dans un même plan.
En particulier, soit un axe A et un segment CD porté par un axe A' et mesuré sur cet axe par le nombre 7', on aura (^)
moment (a, Gd) = moment (A, A'). 7'.
Q) On démontrerait de même que si l'on a deux segments AB, CD, ce dernier porté par un axe A', et y ayant pour mesure le nombre a', on a
moment (AB, CTD) ^= moment (A 13, A').'?'.
Cette formule sera utilisée dans la suite.
r.IIAP. I. — TIIl^ORIE DES SEGMENTS. 13
Si l'on voulait projeter ce segment CD sur l'axe A, en désignant par $ (A, A') le paramètre de projection de A' sur l'axe A, on aurait l'expression suivante du nombre qui mesure cette projection :
Project, (a, CD) = ^(A, A').7'.
Le rapprochement de ces deux formules tend à établir une certaine analogie entre le paramètre de projection et le moment de deux axes. En se plaçant au point de vue projectif, on établit en effet que le paramètre de projection n'est qu'un moment d'une certaine nature. On pourra consulter à ce sujet un Mémoire de M. Lindemann inséré dans les Mathematische Annalen.
7. Considérons un trièdre trirectangle Oxyz, tel qu'une rotation de 90° de gauche à droite, pour un observateur traversé des pieds à
la têts par l'axe 0^, amène l'axe Ox sur l'axe Oy.
Soient x, y, z les coordonnées d'un point A origine d'un segment ^ AB, et X, Y, Z les nombres qui mesurent les projections sur Ox, Oy, Oz de ce segment AB, ou, comme nous le dirons désormais, les projections de AB sur les axes de coordonnées. Cherchons à calculer les moments de AB par rap-
je
Fig. 6.
port aux axes Ox, Oy, 0
J'appelle L, M, N ces moments. On a
L = moment [Ox, ABJ = moment(Oaî, AB') + moment [Ox, AB") + moment [Ox, AB'"),
où AB', AB", AB'" sont les projections de AB sur les axes, Ax' , Ay' , Az' menés par A parallèles à Ox, Oy, Oz.
On observe d'abord que le moment de AB' est nul puisque AB' est parallèle à Ox. On peut appliquer au moment de AB" la formule trouvée plus haut, en observant que Y est le nombre qui mesure AB' sur Ay' , on a dès lors
moment [Ox, AB") = moment (Ox, Ay').Y.
14 LEÇONS DE f;iNf;MATIQUE.
De même
moment {Ox, AB'") = moment {Ox, Ac').Z.
La plus courte distance de Ox et de A y' est la valeur absolue de r, et comme Ox, Ay' sont rectangulaires, le sinus positif de leur angle est égal à i ; on a donc,
moment (Occ, Ay') = ± valeur absolue z,
ou encore
Or, si z est positif, Ay' étant au-dessus de Ox, est sinistrorsum par rapport à Ox, on a donc dans ce cas
moment (Ox, Ay') = — z;
si z est négatif, A y' est au-dessous de Ox, et est dextrorsum par rapport à Ox, le moment doit être positif; on a encore la même formule.
On verra par le môme procédé que, dans tous les cas,
moment (Ox, Az') = + y, on a donc enfin
L = moment [Ox, AB) = yZ — zY ; on trouve, d'une manière analogue,
M = moment (Oy, AB) = cX — xZ, N = moment [Oz, AB) :^ xY — yX.
On observera que ces quantités X, Y, Z, L, M, N ne sont pas indépendantes et qu'elles sont liées par l'équation
(1) LX + MY + NZ = 0.
Supposons réciproquement que l'on se donne les projections d'un segment X, Y, Z, ainsi que ses moments L, M, N, et cherchons à déterminer ce segment. Il suffira pour cela d'en connaître l'origine A, car X, Y, Z étant connus, sa direction et sa longueur sont déterminées. Désignons par x, y, z les coordonnées inconnues du point A.
Coordonnées l'un segment.
Calcul iu moment de eux segments en fonction ' de leurs coordonnées.
X, y, z doivent vérifier les trois équations
( % = h — Zy + Yz = 0,
(2) ^).=:M-Xz + Zx=:0,
( S = N— Yx + Xy=0,
mais ces équations sont indéterminées. On a en effet en vertu de l'équation (1), l'identité
(3) \%+ Y^IJ, + 'l% = 0.
Les trois quantités X, Y, Z ne peuvent être nulles à la fois, sans quoi nous n'aurions plus de segment. Soit Z =^^ 0, il suffira d'avoir
%=zO, qj. = 0 pour que le système (2) soit vérifié, car l'équation (3) donne alors S =0.
Nous trouvons donc que le point A est seulement assujetti à décrire une droite dont les équations sont % = 0, ^\, — 0. Il est facile de se rendre compte de la position de celte droite; elle est en effet parallèle à la direction même du segment, direction que déterminent complètement X, Y, Z. Cette droite est donc la droite même qui porte le segment cherché, et l'indétermination du point A sur cette droite correspond à la faculté qu'a le segment AB de glisser sur lui-même sans que X, Y'^, Z, L, M, N soient altérés.
On peut donc énoncer ce théorème :
Étant données six quantités X, Y, Z, L, M, N liées par l'équation LX + MY + NZ=rO, elles définissent un segment dans l'espace (à un glissement près de ce segment sur lui-même).
Nous appellerons ces quantités les coordonnées du segment.
S. Gomme application des théorèmes précédents nous allons Z. résoudre ce problème :
Etant donnés deux segments dont les cordonnées sont
trouver leur moment.
Désignons par AH, A' B' ces deux segments; menons par A les axes
Fig. 1.
iQ LEÇONS DE CINÉMATIQUE.
kx^, A?/„ Acj, parallèles aux axes Ox, Oy, Oz, et soient AB„ ÂF„ ÂFj les projections de ÂB sur ces trois axes. On aura, d'après le théorème III,
moment (Â^V, Âb) = moment (Fb^, AbJ + moment (a'B', ABJ + moment (A'B', ABj)
or, le segment ÂFi est porté par l'axe ^.x^ et a pour mesure sur cet axe le nombre X ; on a donc
moment (Â^', ÂB^) — moment (A'B', Ax^). X
et de même
moment (^B"', ÂbJ — moment (a'B', AyJ. Y, moment {aTb', XW,) = moment (iVF', ÂT^V Z.
Mais les coordonnées du point A étant x,y,z, celles de A' étant x',y' ,z', par rapport au trièdre Ox, Oy, Oz, les coordonnées de A' par rapport au trièdre Ax^ Ay^ Az^ sont
et par suite, en vertu des formules qui donnent L, M, N, nous aurons
moment {K^\ Ace,) = (y' — y) Z' — (z' — z) Y', moment (ÂMB', Ay^) = {z' — z)X' — {x' — x)Z' , moment {Â^ , Az^) = {x' — x) Y' — (?/' — y) X', d'où
moment (aB, Fb"') =X [(y' - y) Z' — {z' - z) Y'] 4- Y [{z' — z)X' — {x' — x) Z'] + Z[(x' -x)Y' (y'y)X']; mais on a
donc
moment (ÂB, Â^) = X [L' — yZ' + zY'] + Y[M' — zX' + xZ'] + Z [N'-xY' +yX']
OU encore
I ' moment (ÂB, FÎT ) = L' X + M' Y + N' Z
+ Y' (zX — ccZ) + Z' (xY — 7/X) ot comme
L = ijZ ~ z Y, M = zX — xZ, N = rcY — i/X,
on a finalement
moment (ÂB, ATB') — L' X + M' Y + N' Z + X'L + Y' M + Z' N.
s des axes. Nous avons assimilé les axes à des segments unitaires. Soient a,P,Y, ^^îIJ-^v les coordonnées d'un segment unitaire; on a
a" + 3^ + f = 1, a A + iS.y. + Y'' ^=^^i
ces six quantités seront pour nous les coordonnées de l'axe qui porle le segment unitaire et a même sens que lui; on voit que a, P, y sont les cosinus directeurs de l'axe et a, ;x, v ses moments par rapport à Ox, Oy, Oz.
D'après la définition que nous avons donnée du moment d'un segment Ali par rapport à un axe,
XX + ;j,Y + vZ 4- aL + ^M + yN
est la valeur du moment du segment AB (X, Y, Z, L, M, N) par rapport à l'axe (a, P, y? ^^j l-»-, v). De même le moment de deux axes
(a, (3, Y, X, H-, v) (a', 3', y', aSi/,v')
a pour expression
a/v' + ^\)' + Yv' + Aa' + iJ.[î' + vy'.
Moment î). La mécanique n'utilise pas seulement les moments par rapport
ai- rapport j^,,^ axes; elle emploie aussi les moments par rapport aux points.
un point. ^, . ^ ^ . , ■ r^
boiont AB un segment et 0 un point, élevons au point 0 une
perpendiculaire au plan ABO et choisissons sur cette droite l'axe A
qui est dextrorsum par rapport à AB. Le moment de AB par rapport
Ciimnatique. 2
Représentalicn d'un moment
par un segment.
FUj. 8.
à cet axe est ce que l'on appelle le moment du segment AB par rapport au point 0,
Il y a lieu d'introduire ici une représentation des moments qui est due à Cauchy. Soit [jl le moment d'un segment A B par rapport à un axe quelconque A, on représente ce moment par un segment de glissement porté par l'axe A, égal en longueur à la valeur absolue de ]x, et dirigé dans le sens de l'axe ou le sens opposé suivant que [x est positif ou négatif. En un mot, \x est le nombre qui, sur l'axe A, mesure le segment représentatif du moment. Cette représentation des moments par des segments ne respecte pas les règles de l'homogénéité, mais cela est sans inconvénient, car nous n'aurons jamais à composer des segments purs avec ceux qui représentent les moments.
Considérons un segment A B, un point 0, l'axe Aq normal en 0 au A/ plan ABO et dextrorsum avecAB; nous avons dit que le moment de AB par rapport à cet axe est le moment de AB par rapport au point 0. Puisque Aq est dextrorsum avec AB, ce moment est toujours positif et le segment OG^ qui représente ce moment sur l'axe A,, a le sens même de A,,, il est lui aussi dextrorsum avec AB.
Ceci posé, on a le théorème suivant :
Le segment qui représente le moment d'un segment AB par rapport à un axe A peut se construire en projetanl sur A le segment qui représente le moment de AB par rapport à un point 0 pris sur A.
Prenons le point 0 pour origine des coordonnées et A pour axe Ox, soient x, y, z les coordonnées du point A, origine du [segment AB, X, Y, Z les projections de ce segment, L, M, N ses moment? par rapport à Ox, Oy, Oz.
On a, comme on l'a vu précédemment :
L — Zy + Yzr=0, M— Xz + Zx = 0,
Fiq. 0.
Théorème V.
et L, M, N, X, Y, Z, étant données, le lieu du point x, y, z est la
droite AB.
En formant une combinaison linéaire et homogène de ces équations, nous aurons l'équation du plan mené par AB et l'origine 0; nous trouvons ainsi
Lx -\-My -^ Ne = 0,
Les cosinus directeurs de l'axe ig normal en 0 au plan AOB sont
sM
Vu + W + N^
Kl* -+- M* -t- N''
où £ désigne ± 1. Cherchons le signe qui convient. Le moment de AB par rapport à cet axe aura pour expression
aL + ^M + vM = £
Vu + w + N'-
= zVU + M* + N';
il doit être positif, puisque \^ est choisi dextrorsum avec AB, donc £ = + 1 ; et, par suite,
Kl* -+- m* + n*
Vu + M* + N*
de plus la longueur du segment OG^ qui représente le moment par rapport au point 0 (ou par rapport à A^) est VU + M* + N*, donc
L = a Vu + W -h N*
représente le nombre qui mesure la projection OG^ sur Ox (ou A) du segment OG^.
Mais L est aussi le moment de AB par rapport à Ox (ou A); le théorème est donc démontré.
On voit que L, M, N sont les projections du segment OGo sur les axes Ox, Oy, Oc.
Le théorème que nous venons de démontrer joue en cinématique un rôle très important, comme nous le verrons.
Calcul
d'un moment
par rapport
à un point.
Cherchons à résoudre le problème suivant :
Un segment X, Y, Z, L, M, N étant donné, ainsi qu'un point P (^o> î/o' ^o)j trouver le moment du segment par rapport à ce point. Il suffit de trouver les projections de ce segment moment sur
les axes Ox, Oy, Oz ou encore sur les trois axes Px'', Pj/', P^' parallèles à Ox, Oj/, O2 et issus du point P, c'est-à-dire encore les moments du x' segment proposé par rapport aux axes Poe', Pî/' Pz', Soient a;, y, s les coordonnées du point A origine du seg- -j ment AB par rapport au trièdre Ox, 0?/, Oz. Les coordonnées par rapport au trièdre Px' P)/' P:' sont
Flg. a.
Xo, y — Voy
ses moments par rapport aux axes Px', Pj/', Pz' sont donc
{z — Z(,)X— (x — Xo)Z, (x — x„) Y — (y — I/o) X,
ou encore, eu égard aux expressions de L, M, N,
L + Yz„ — Zi/o, M -h Zx„— Xz„,
J Xn
Autre généralisation du théorème de VaiÙL'non.
Telles sont les formules qui donnent les projections sur les axes Ox, Oî/, Oz du segment moment du segment AB (X, Y, Z, L, M, N) par rapport au point 0 (Xg, y^, z^). Ces formules sont essentielles.
Le théorème de Varignon est susceptible d'une généralisation importante au moyen des moments pris par rapport à un point. Voici cette généralisation :
Soient plusieurs segments concourants AB,, AB,, ..., AB„ et PGj, PG,, ..., PG„ les segments qui représentent leurs moments par rapport à un point P arbitraire; le moment PG de la résultante AB des segments proposés est la résidtante des segments moments¥G'^, PG~, ..., PG„.
Plaçons en effet l'origine des coordonnées au point A; les moments L,, M,-, N- du segment AB^ par rapport aux axes sont nuls, et le moment de ce segment relatif au point P {x^, j/^, z^) a pour projections .
Xiî/o — ^i^o-
Donc, la somme géométrique de tous ces segments moments aura pour projections les expressions suivantes :
2 (Y'-'o - Z.î/o) = (SY,) z, - (SZ,) î/„, ^(:i,x,-X,z,) = {lZdx,-(LX,)z,, 2 i^iVo - Y.-x^o) = (2:X,) î/o - (2 Y,) X,. ■
Or, si X, Y, Z sont les projections du segment AB, résultante des segments proposés, on a
d'où
2 (ViC(, — 'L,rj,) — Yz, — Zt/o,
2 (Z^aso — X.r^) = Zxo — Xzg,
2 (^'^^0 — Y^cco) — Xt/o— Ya?o,
ce qui démontre le théorème.
On peut donner de ce théorème une démonstration géométrique qui n'est que l'énoncé en termes géométriques des transformations analytiques que nous venons d'effectuer.
Systèmes de segments. — Couples.
Moment 10. Considérons plusieurs segments dans l'espace, S,, S^, ..,, S„,
' -^M^f^ et un segment arbitraire S'; on appelle moment résultant du sys-
u'i segment tème des segments !Sj par rapport au segment S' la somme algébrique
donné. des moments des segments S^ et du segment S'. Ce moment résultant
est donc un nombre.
Moment
résultant
par rapport à
un axe.
Notion algébrique.
Notion géométrique.
Moment ésultant en un point.
Théorème fondamental.
Si le seg-ment S" est unitaire, il symbolise un axe A, et le moment résultant du système des segments S^ par rapport à l^xe A est la somme algébrique des moments de tous les segments S, par rapport à A; si l'on désigne par p-j, [x^, ..-, ^. ces moments, le moment résultant \j. est défini par l'équation
c'est un nombre. Mais la représentation, due à Gauchy, dos moments par des segments, permet de concevoir d'une autre manière le moment résultant d'un système de segments par rapport à un axe.
Considérons, en elTet, le moment du segment S, par rapport à l'axe A, on peut représenter ce moment par un segment G,- porté par A, et ce segment G,- est mesuré sur l'axe A par le nombre [j.,. Faisons alors la somme géométrique de tous ces segments G; portés par A, soit G le segment ainsi obtenu; ce segment G nous représentera le moment résultant du système des segments par rapport à A.
Cette notion purement géométrique concorde du reste avec la notion algébrique du moment résultant [x, car le nombre [j, est précisément celui qui mesure le segment G sur l'axe A.
Nous savons, en effet, que si un segment G est la somme géométrique de plusieurs autres G^ portés par un même axe, le nombre a qui mesure G est la somme algébrique des nombres ijl; qui mesurent les segments G,-.
Prenons maintenant un point P; le moment résultant du système des .segments S; par rapport au point P sera le segment résultant des segments qui représentent les moments des segments proposés par rapport au point P.
On peut, au sujet de ce moment résultant, établir la proposition suivante qui généralise le théorème V du n^ 9 :
Théorème VI. — Soient un axe A issu d'un poi^it 0 et OG le moment résultant d'un système de segments par rapport au point 0; la p^'ojection OG' du segment OG sur A est le moment résultant du système par rapport à l'axe A.
Soient, en effet, OG^ le moment du segment S^ par rapport au point 0, et OGÎ sa projection sur A; cette projection OGÎ est le moment de S, par rapport à A; la somme géométrique OG' des segments OG,' figure donc le moment résultant des segments par rapport à l'axe; mais
CHAP. I. — THÉOllIE DES SEGMENTS. 23
celte somme géométrique OG' est évidemment la projectioa de la résultante OG des segments OG,; le théorème est donc démontré. Corollaire. On déduira de là le corollaire suivant : soient trois axes rectangu-
laires 0x,0ij,0z; les moments résultants d'un système de segments par rapport à ces axes se représentent par trois segments qui sont les projections sur ces axes du moment résultant relatif à l'origine 0.
Systèmes ■quivalents.
Coordonnées l'un système le segments.
11. Soient plusieurs segments S^, S^, ..., S„; si par voie de glissement sur eux-mêmes, ou par composition ou décomposition suivant les règles de l'addition géométrique, on transforme ces segments en d'autres Sj, S2, ..., ^'„>, le moment résultant du système relatif à un axe ou à un point quelconque de l'espace ne sera pas altéré; cela résulte du théorème III du n^ 5.
De là une notion importante, celle des systèmes équivalents. Nous dirons que deux systèmes de segments 2, 2' sont équivalents s'ils ont le même moment résultant par rapport à tout axe de l'espace.
Soient S,, S^, ..., S„ les segments qui composent le premier système de segments et X^, Y,-, Z^, L^-, M^, N^ les coordonnées du segment S;; le moment de S, par rapport à l'axe a, P, y, X, [j., v a pour expression
XX, + ^Y, + vZ, + aU + ^Ui + vN;,
d où l'expression suivante du moment résultant relatif à l'axe proposé,
2 O^X, 4- t;.Y, + vZ, + aL, + 3M, 4- yN,-) où l'on a posé
Ces quantités %, "Ij , S, ï, M), % sont ce que l'on appelle les coordonnées du système de segments 2.
On voit que i£, A\), % sont les moments résultants relatifs aux axes Oa:, Oy, Oz, et que X, '^L 3 sont les projections de la résultante de translation de tous les segments considérés.
24 LEÇONS DK CINKMATIQUE.
Cela posé, considérons un syslème 1' , de coordonnées %' ,'\i' , %' , il', .11)', 11>', équivalent au syslème "l. Les moments des deux systèmes devant être les mêmes relativement à tout axe de l'espace, on a d'abord pour Ox, Oy, Oz
T = % M' = Ah, %' = %>,
et l'équation qui traduit l'égalité des moments pour un axe quelconque (a, P, V, X, [X, V,)
= %' i + 1) ' ij, + :2'v -h i' a -I- . II.' ;3 4- ')'(/ Y
se réduit à lu suivante :
U')X 4- '{\[j. -\- .vv = X'X + H)/ [X + S'v; cette égalité devant avoir lieu pour toute valeur de X, ;/, v, on a
Ainsi : deux systèmes équivalents ont les mêmes coordonnées.
Projections Calculons le moment résultant d'un système de segments 2 par
(lu moinciit rapport à un point P (x^^ y^, c„) de l'espace, résultant d'un ^.^ ^, ^ , ^ r^.-x\ ^ i
svstèmo en un Nous savons, d après le n"U (p. 20), que les nombres qui mesurent
point sur les trois axes Ox, Oy, 0:: les projections du moment d'un
do l'espace, segment X^Y^Z,, L.M.N,- par rapport au j)oint x^y^z^, ont pour expressions :
\>'i,x = U + Y<Zo — Z,-i/ç,
\Ku = ^ï; + '^i^o — ^i^oy II,;, =N,. -hXiy^ — XiX^.
Les projections du moment résiiilanl sont donc
jx„=:.lb + i^x^ — %z„ li,= % +%y^-^\jx,,
formules importantes, sur lesquelles il y a lieu d'attirer dès main- X tenant l'attention.
On voit par ces formules que le moment résultant en un point ne fait intervenir que les coordonnées du système de segments, ce qu'il était facile de prévoir.
CHAP. I. — THÉORIE DES SEGMENTsJ. 25
Moinoiii La considiTalion des systèmes de segments donne lieu à une belle
'^^ extension de la notion de moment,
eux systèrnos o • i j .. .., ».,
Je serments. Soient deux systèmes 1, 1 , prenons un segment dans chacun
d'eux et formons la somme algébrique des moments de tous les
groupes possibles de deux segments ainsi choisis; cette somme est,
par définition, le momenl des deux systèmes de segments.
moment {1, Z') =2^ moment (s,-, Sj),
où S; est un segment pris dans S et SJ un segment pris dans Z' . On a donc aussi (p. 17)
moment (2, 1') ="^ (XJJ + Y,M; + Z.Nj + X'L, + YjM,. + ZJN,)-
Groupons, dans le second membre, tous les termes ayant même indice jf, et appelons %, '^\^, Z, 'I, âh, % les coordonnées de 1, nous avons
moment {1, 1' ) = %^ L/ + 'l^^ M' + S^^.Nj
+ x^x.;-i-A\>^ y;+'il;^z;.
Introduisons encore les coordonnées %',^' ,Z' , 'X' , Ah' , %' de 1' et nous aurons finalement
moment (1, 1') = %T + '\y\V + S'IL'
Lorsque le moment relatif de deux systèmes de segments est nul, on dit que ces deux systèmes sont en involutioti.
Rien n'empêche dans les calculs qui précèdent de supposer que 1' soit équivalent à 2, la formule se simplifie alors et donne
moment (2, 2') = 2 {'i% + Ah'Xj + %Z);
on peut appeler cette expression Vautomoment du système 2.
Observons que si 2' est entièrement identique à 2, les segments Sj sont les mêmes que les S„ et dans notre évaluation de la somme des moments, chaque moment figure deux fuis.
Donc la somme des moments des segments S, pris deux à deux est égale seulement à
Invarl-inls d'un système de segnioiits.
Ceci nous prouve que l'expression précédente, que nous représenterons par 3ij, est un invariant à plusieurs titres :
i° Au point de vue d'une transformation des coordonnées;
2° Au point de vue de la substitution au système }il d'un système équivalent.
Nous pouvons donc énoncer ce théorème :
La somme des moments des segments d'un système pris deux à deux reste ijivariahle si Von remplace le système par lui système équivalent.
Au lieu de moments on peut parler de tétraèdres et dire :
La somme des tétraèdres construits sur les segments d'un système pris deux à deux est i^ivariahle si Von remplace le système par un autre équivalent.
Nous rencontrerons plus loin un cas particulier de ce théorème dû à Chasles, qui marque l'introduction des tétraèdres dans cette partie de la théorie des segments.
La considération de la résultante de translation nous fournit encore un invariant dans la somme
nous prendrons pour 01 la valeur positive
Systèmes
réductibles
à un segment
unique.
Le quotient
est aussi un invariant; il représente une ligne, car iR est une ligne et ^ est un volume. Nous donnerons à It le nom de paramètre.
Nous allons examiner deux cas particuliers de systèmes de segments.
Le premier c'est celui où l'automoment est nul, sans que X, 'II, S le soient.
On a, dans ce cas,
3ij> - ^% + AV\j + %Z = 0.
Ce qui prouve que l'on peut regarder %, %, S, % Àh, % comme les coordonnées d'un segment S. D'après la notion même de l'équivalence, le sys'.ème est alors équivalent à ce segment unique.
Réciproquement, si le système 1 est équivalent à un segment unique X, Y, Z, L, M, N, la condition d'équivalence donne
% = X, a)=Y, S = Z, a=L, Ah = M, % = N,
et comme LX + MY-4-NZ = 0, ona
'I^ + âh'i^ +%% = 0.
Ainsi, ^}-=0 (sans que %^ *1| , % soint tous nuls), c'est la condition nécessaire et suffisante pour que le système 1 soit réductible à un segment unique.
Couple. 12. Examinons maintenant le cas où l'on aurait
x = o, qj=o, s = o,
sans que ^, ilb, % soient tous nuls. Dans ce cas, la résultante do translation du système est nulle. Un tel système de segments a été étudié par Poinsot sous le nom de couple. Si l'on se reporte aux formules
qui donnent le moment résultant du système %, *^U , S, 1, Àh, 'ïh en un point x^, y^, z^ de l'espace, on voit que, pour un couple, elles se réduisent à
[X. = % ix„ r= Ah, [X, = %.
Moment On peut donc définir un couple comme mi système de segments
un couple, qui q même moment résidta^it en tous les points de l'espace. Ce moment résultant constant est ce que l'on appelle moment du couple. Il est représenté par le segment dont ;X, Ah, '\h sont les projections sur les axes de coordonnées. Pour avoir le moment d'un couple, par rapport à un axe A on peut, suivant la méthode générale du n" 10, prendre le moment par rapport à un point 0 de cet axe et le projeter sur A. Donc :
Le moment d'un couple par rapport à un axe A s'obtient en projetant sur cet axe le moment du couple. On en peut conclure que pour deux axes parallèles et de même sens les moments d'mi couple sont égaux.
Équivalence
de la définition
donnée
du couple
et de celle de
Poinsot.
Pour que le moment du couple par rapport à A soit nul, il faut et il suffit, d'après ce qui précède, que A soit rectangulaire avec le segment qui représente le moment du couple.
Tout plan normal au moment du couple porte le nom de plan du couple.
Proposons -nous de trouver deux segments S, S' formant un système équivalent au couple.
Menons un axe quelconque A qui coupe S et S' ; le moment résultant par rapport à A est nul; donc A est parallèle au plan du couple. Ainsi, toute droite qui coupe S et S' est parallèle au plan du couple. Il en résulte évidemment que S et S' sont contenus dans un même plan du couple. De plus, ils ne peuvent s'y couper, sans quoi ils auraient une résultante unique non nulle. Ils sont donc parallèles, et comme leur résultante de translation est nulle, puisque leur ensemble est équivalent au couple, ils doivent être égaux, parallèles et de sens opposés, sans pour cela être directement opposés.
Prenons dès lors un point 0 sur le segment S', menons par 0 le segment 0 G qui représente le moment du couple, le moment do S par rapport au point 0 doit être représenté par OG.
Supposons réciproquement cette condition remplie; je dis que S, S' forment un système équivalent au couple proposé.
En effet, le système des deux segments forme évidemment un couple, puisque leur résultante de translation est nulle. Ce couple
admet au point 0 le même moment OG que le couple proposé, donc il admet en chaque point de l'espace ce moment OG, et est ainsi équivalent au couple proposé.
On voit, en résumé, que tout couple peut être réalisé d'une infinité de ma- Fig. i2. nières par un système de deux seg-
ments égaux, parallèles et de sens opposés, assujettis seulement aux conditions suivantes :
lo Leur plan doit être un plan du couple;
2° Le moment de l'un des deux segments par rapport à un point de l'autre doit èlre un segment égal et parallèle au moment du couple.
Remarque. — Cette manière de présenter les choses rend intuitives ces propositions d'après lesquelles un couple peut être transporté dans son plan ou dans des plans parallèles, et peut être modifié pourvu que le produit du segment par le bras de levier reste constant.
La démonstration de ces propositions est nécessaire quand on so
place au point de vue de Poinsot, pour qui un couple ne fut jamais
qu'un système de deux segments égaux, parallèles, et de sens
opposés. . , , •
Il y a cependant avantage à introduire la définition plus générale
d'où nous sommes partis. L'application suivante va le montrer.
Aire Considérons un polygone fermé gauche ou plan P PjPgPj ... P„P
{ .iprojection et attribuons à ce polygone un sens de parcours, soit le sens P, Pj,
m contour, p p p
Envisageons alors le système de segments PP^ PiPjj •••, Ph-i P„ P„P. Ces segments forment un système fermé; leur système est un couple. Soit G le moment de ce couple.
Prenons maintenant un axe quelconque A, et un plan z normal à cet axe; projetons orthogonalement le contour précédent sur le plan ::, nous obtiendrons le polygone plan P' P^ ...
P,jP'; nous avons déjà vu que, par rapport à 1, le moment de P;Pj4-i est égal au
moment du segment P- P- + i, c'est-à-dire
* "* au double de l'aire du triangle OPiP,' + i,
^^" où 0 est le pied de l'axe A sur le plan 7:.
Les aires de ces triangles sont, du reste, affectées de signes d'après la convention habituelle pour les moments. La somme algébrique de ces triangles a pour expression l'aire (affectée d'un signe) du polygone P'PjP^ ... P,',P'. Mais cette somme est aussi la moitié du moment résultant du couple par rapport à l'axe A, moment que l'on obtient en projetant G sur cet axe. On voit donc que la projection du moment du couple G sur un axe quelconque A, représente le double de l'aire de la projection, sur un plan 7: normal à A, du contour de l'espace qui donne naissance au couple.
Au lieu d'un polygone on pourrait envisager un contour curviligne,
à la condition de le regarder comme la limite d'un polygone inscrit.
Tout contour fermé doué d'un sens de parcours donne donc lieu à
un couple dont le moment projeté sur un axe A fournit le double de
30 LEÇONS DE qiNÉ>fATIQUE.
l'aire, affectée d'un signe, de la projection de ce contour sur un plan normal à A.
En appelant ]j. la longueur du moment du couple, construisons dans un plan du couple un cercle de rayon égal à
la projection de ce cercle sur un plan quelconque aura la même aire que la projection du contour proposé.
Plan orienté. La valeur obtenue pour l'aire de la projection d'un contour sur le plan normal à un axe quelconque a été aflfectée d'un signe. Ce signe est lié au sens de parcours de la projection du contour :
On dit qu'un plan est orienté si un axe est choisi sur la perpendiculaire à ce plan. Le sens de rotation direct dans le plan est, par définition, le sens de rotation de gauche à droite pour un observateur traversé des pieds à la tête par cet axe.
Dans un plan orienté, l'aire limitée par un contour parcouru dans un certain sens a le signe + ou le signe — suivant que le sens de parcours du contour est le sens direct ou le sens inverse.
Il est facile de voir que le signe fixé précédemment pour l'aire de la projection du contour fermé est celui que la définition donnée en dernier lieu conduit à adopter.
Composition 12'''*. Soient 2, S' deux systèmes de segments; l'ensemble de ces
des systèmes deux ensembles de segments constitue un système qu'on appelle le
de segments. ,, - 7/ t i j i
système résultant des deux autres.
D'après la définition même des moments résultants on voit que :
Le moment résultant par rapport à un axe, du système Z", qui résulte de la compositio7i des systèmes Z, S', est la somme des moments résultants de 1, ^' par rapport à cet axe.
Le moment résultant de Z" en un point est la somme géométrique des moments résultants des systèmes 2, ^' en ce point.
De même la résultante de translation de 2" est la somme géométrique des résultantes de translation de 2, S'.
Par suite :
Les coordonnées du système résultant des systèmes 2, 2' sont les sommes des coordonnées correspondantes des sytèmes Z et ^' .
omposition Considérons le cas de deux couples
les couples.
0, 0, 0, % Ah, %,
0, 0, 0, r,âh',%'.
Le système résultant est un couple dont le moment est la somme géométrique des moments des deux couples.
On arrive ainsi, d'une manière intuitive, à la règle de la composition des couples énoncée par Poinsot.
loduciioii à Gomme application nous allons traiter deux problèmes importants jx segments. ^^ |^ Composition des systèmes de segments.
Proposons-nous d'abord de trouver deux segments S^, S^ formant un système équivalent à un système donné.
Désignons par %, ^, 2, ^, Mo, % les coordonnées du système et prenons pour inconnues les coordonnées X^, Yj, Zp L^, Mj, Nj; X,, Yj, Zj, Lj, Mj, Nj des segments Sj et S^.
Les conditions exprimant l'équivalence sont :
^ = Lj + L„ Ah = M, + M,, % =: N, + N,, % = X, + X„ qj.r=Y, +Y„ S=Z, + Z,.
Rappelons en outre les relations
En tirant X^, Y^, Z^, L^, M^, N^ des six premières équations pour
les porter à la dernière, on trouve
(X^ - X,) (1£ - L,) + Cil, - Y,) (.Ib - M,) + (S - Z J (% - N,) = 0,
ou, en tenant compte de L, Xj + Mj Yj -h N^ Zj = 0,
M — Q£X^ + .IbY^ + %Z, + %L^ + ^M, + SN,) = 0.
Soient lx^, [3j, Yj, Ài, [j.^, Vj les coordonnées d'un axe portant le segment Sj et soit Sj le nombre qui mesure Sj sur cet axe; on a, d'après une remarque déjà faite,
Xj = oc^s^, Yi = piSj, Zj = Yj,9j, L, = XjS,, Mj =z ;;.jSj, Nj = v,Si.
L'équation précédente donne donc
(1) J^') - (^aj + Ah^, + %y, + ^A, + %:j.^ + .SvO s, = 0,
égalité qui permet de calculer s^, connaissant a^ (3p ^;^, \^, ;j,,, v,.
n2 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.
Le segment S, étant dès lors connu, les coordonnées de S, s'en déduisent immédiatement.
On voit, en conséquence, que Von peut toujours trouver deux segments Sj, S, formant un système équivalent à un système domié et dont Vun soit porté par un axe arbitrairement cltoisi.
Notons cependant que si (2) :lai + ai Pi + %Yi + i^'>^i + ']l 1^1 + ^-^1 = 0,
l'équation (1) ne détermine plus s,, il y a impossibilité. Or, l'équalion (2) exprime que le moment du système proposé par rapport à l'axe (^i, (3,, Yi) ^H' Hi' ''i) ^^^ ^'■^'- ^oi^'s voyons ici apparaître pour la première fois ces axes remarquables introduits par Mobius : les axes de moment nid. Le problème précédemment résolu est impossible si l'on assujettit le segment Sj à être porté par un axe de moment nul.
Théorème Supposons que l'on ait réduit de deux manières le système 2 à
deChasles. deux segments Sj, S^ d'une part et SJ, S^ d'autre part. L'invariant (Hj est le moment de S, et de S^, c'est aussi celui de S^ et S^ ; en parlant de tétraèdres au lieu de moments on arrive à ce théorème do Ghasles :
Si l'on a réduit de deux manières un système de segments à un ej^semhle de deux segments S^ S^ et Sj, Sj, les tétraèdres (Sj, Sj) et (S[, SJ sont égaux en grandeur et en signe.
On voit que Sp Sj sont dextrorsum ou sinistrorsum selon que ^') est positif ou négatif. Nous verrons plus loin que les systèmes de segments forment deux grandes catégories; les uns pour lesquelles ^1 >- 0, les autres pour lesquelles ^] <; 0.
On doit observer que les deux segments S,, Sg ne peuvent se couper, sans quoi on aurait une résultante unique. Dans ce cas -X' serait nul et s, aussi; le segment S, n'existerait pas.
Théorème. — Démontrons encore la proposition suivante que nous retrouverons plus loin sous une autre forme :
Supposo7is qu'on ait réduit de deux manilires un système de segments à deux S,, Sj et S^, S^. Ces segments sont portés par quatre génératrices d'un même système d'une surface du second degré.
Réduction un segment
uniiue à un couple.
Fig. 14.
Soit, en effet, une droite A qui coupe Sj, Sj, S;; comme A coupe Sj, Sj le moment résultant du système par rapport à A est nul, A est
un axe de moment nul. Il faut donc que le moment résultant de Sj, S2, par rapporta A, soit aussi nul. Mais S^ coupe A, donc S; doit aussi couper A. Ainsi : toute droite A qui coupe Sj, S^, S] coupe aussi Sg. Nous avons vu que S^ ne peut couper S^; on suppose SJ porté par un axe arbitraire, qui ne coupe ni iSj ni S^.
Donc le lieu de A est une surface de second degré et S^j, S^^, ^ï, S^ sont portés par quatre génératrices d'un môme système de cette surface. On observera que les génératrices de l'autre système sont des axes de moment nul.
Le théorème tombe en défaut si S] coupe W^ ou S",. Supposons que s; coupe Si en un point 0^, je dis que S^ et s; se coupent en un point Oj. Menons, en effet, un plan par Oj et par la droite S^ ; toute droite A issue de 0^ dans ce plan coupe Sj, SJ et Sj, elle coupe donc S^; il faut, en conséquence (puisque S^ ne peut passer par Oj, sans quoi elle couperait Sj), que Sg soit dans le plan considéré. Ainsi S^ et Sj sont dans un même plan passant par 0, ; elles se coupent donc en un point 0^, et l'on verrait que le plan de S^ et de S[ passe aussi
Fig. i5. Pa^ 0*-
13. Proposons-nous actuellement de réduire un système de segments à un segment unique et à un couple.
Soient X, Y, Z, L, M, N les coordonnées du segment S et 0, 0, 0, L', M', N' celles du couple G'.
%, %, Z, ^, dh, % désignant comme précédemment les coordonnées du système de segments, on aura, d'après les conditions d'équivalence,
'Ji=:L + L', .11, =' M + M', 'r(. = N + N'. Cinëmalique. .3
On voit d'abord que X, Y, Z sont déterminés. Donc la longueur et la direction du segment S sont déterminées indépendamment du couple G'.
L M N doivent vérifier la relation
LX + MY + NZ=:0, donc
ou
Le couple G' étant choisi arbitrairement parmi ceux qui vérifient la relation précédente, le segment S, qu'il faudra lui adjoindre pour former un système équivalent au système proposé, sera entièrement déterminé; ses coordonnées sont, en effet,
X=%, ¥=0), Z = S, L = i£-L', M=Jlo-M', N=:%-N'.
Nous allons interpréter la relation à laquelle doivent satisfaire les coordonnéas du couple G' . Nous avons posé
et, comme ^ est différent de zéro, le système n'étant pas un couple, on peut écrire
Cette équation exprime que la projection du moment du couple G' sur la résultante de translation du système Z a une valeur déter-
minée — ? ou si l'on veut que le moment du couple G' par rapport a
tout axe qui a la direction de la résultante de translation a une valeur donnée.
On pourra donc se donner arbitrairement le plan du couple, c'està-dire les cosinus directeurs de l'axe du couple auxquels L', M', N' sont proportionnels; la lons^ueur du moment du couple se trouve déterminée. Observons toutefois que le plan du couple ne saurait être parallèle à la résultante de translation.
Nous avons ainsi réalisé la réduction à un segment et à un couple
d'un système de segments en nous donnant le couple; proposonsnous au contraire, étant donné le segment lui-même, de déterminer le couple qu'il fliudra lui adjoindre. Le segment, dont nous connaissons les projections, sera déterminé si l'on se donne un point de la droite qui le porte.
Soient x, y, z les coordonnées d'un point P par où passe le segment S.
Les coordonnées du segment S sont
Zy-'\)z, %z-Zx, y
Le moment du système au point P se réduit au moment du couple G', puisque le segment passe par P; or, on a vu que le moment d'un système en un point P a pour projections :
'I + ^}z-Zy,^ M + %x~ %z,
% + %y qj^.
Ces expressions représentent donc les projections du moment du couple au point P; et, comme le moment d'un couple est le même en tous les points de l'espace, ce sont les projections du moment du couple. On a donc
h' = X + qj z - Zy,
M' =M, + kx-%z,
Ces formules résolvent complètement le problème proposé.
Ainsi l'on peut se donner soit la position du segment S dont la longueur et la direction sont données, soit le plan du couple, à la condition qu'il ne soit pas parallèle à la résultante de translation.
Entre tous les choix que l'on peut faire pour le plan du couple, il en est un particulièrement remarquable, c'est celui d'un plan normal à la direction de la résultante de translation.
On prendra dans ce cas L', M', N' proportionnels à %, ^, %.
Cherchons alors à déterminer le segment S, ou plutôt sa ligne d'action, nous avons
c'est-à-dire
iC -*- ajc — Zy Ah + %x- %y ^%-^%y- <\j,x
^ "^ ïf ~ ~^ ~'
Multiplions les deux termes de chaque rapport respectivement par 9S '^ 3 et ajoutons, il vient pour la valeur commune de ces rapports :
î.% + Àh'i} + %Z __^
et par suite, on a
Zy — ^lz= ^ -h%, %z—Zx=âh-h'\j, '\}x-%y=%-hZ',
ce qui détermine la ligne d'action du segment S. On appelle cette droite Vaxe central.
Les coordonnées'du segment porté par l'axe central sont
%, Ij, Z, 1£ - h%, .11. — /t^j, % - hZ,
et celles du[|couple correspondant
0, 0, 0, h%, h%j, HZ.
Le moment de ce couple a donc la direction même de la résultante de translation si h >- 0, ce qui revient à <1C :> 0, et la direction opposée si h <; 0, c'est-à-dire si (% <; 0.
Il est bon de faire remarquer que si le système est réductible à un segment unique, 5^ est nul et l'axe central devient la droite qui porte le segment unique équivalent au système.
Vis. Considérons un système de segments qui soit unitaire, c'est-à-dire
dont la résultante de translation ait la longueur 1. Un tel système a reçu le nom de vis. La considération en a été introduite par M. Bail. Soient a, h, c, i, m, n les coordonnées d'une vis, on a
a^ + b' -t- c" = 1, et l'invariant ^ se réduit à
h =z al + h m -^ en , c'est-à-dire au paramètre qui s'appelle aussi le pas de la vis.
Il y a deux sortes de vis : les vis dextrorsum pour lesquelles /( >» 0, les vis sinistrorsum pour lesquelles /i -<: 0.
Si h = 0, les coordonnées a, h, c, l, m, n deviennent celles d'un segment unitaire, c'est-à-dire d'un axe. Ainsi une vis dégénère en un axe, de même qu'un système de segments dégénère en un segment.
Considérons maintenant un système de segments
%, "{}, S, i£, Jll, %;
il est clair que si l'on multiplie ou divise par un même nombre positif tous les segments qui le composent, ses coordonnées sont multipliées ou divisées par ce nombre.
Divisons, en particulier, par Kt)j* + %^ -t- S* = iR, ou par le module du système de segments, comme on dit quelquefois; les coordonnées du système deviendront
^' 0l' 0l' ih' 01 ' ^R'
Ce sont les coordonnées d'une vis.
Ainsi, en divisant par Jl les longueurs de tous les segments, le système de segments devient une vis. On peut énoncer ce fait en disant que tout système de segments résulte du produit d'une vis par un nombre positif.
Cette proposition est à rapprocher de la suivante : Tout segment est le produit d'un segment unitaire (un axe) par un nombre positif.
Nous dirons de la vis qu'elle porte le système de segments qu'on peut en déduire par multiplication.
Les équations qui donnent l'axe central contenant %, •)! , S, ^, âh, % sous forme homogène, l'axe central du système est l'axe même de la vis qui le porte; le pas de la vis /< a pour expression
^^ 4- .lia). -h%Z^
c'est donc le paramètre du système de segments.
Le système est dextrorsum ou sijiistrorsum selon que la vis qui
le porte est dextrorsum ou sinistrorsum, c'est-à-dire selon que tW est positif ou négatif.
On a été amené à donner le nom de vis aux systèmes particuliers que nous venons d'étudier par la considération suivante :
Supposons que les segments soient des forces agissant sur un système de points géométriques invariablement liés entre eux et de masses nulles.
Représentons-nous le système réduit au segment 'J{ et à un couple d dont le plan soit normal à 01. Si i}C> >- 0, le moment du couple (î a le sens de ;R, et pour un observateur traversé des pieds à la tête par 'J{, l'effet du système de forces se compose d'une traction de bas en haut et d'un mouvement de rotation de gauche à droite. Les points du corps mobile décrivent donc des arcs d'hélices de même pas; l'effet des forces sera d'imprimer au corps un mouvement de torsion analogue à celui d'une vis dans son écrou, la vis étant dextrorsum.
Si (W <; 0 la rotation est de droite à gauche; la vis directrice du mouvement est sinistrorsum.
Toreeur L'utilité de la considération des vis apparaîtra encore plus claire-
et dynamc. nient lorsque nous aj)pliquerons les propriétés des segments à la théorie du déplacement d'un corps solide. Qu'il nous suffise de rappeler que Bail a appelé torseur et Plucker dyname l'ensemble des forces appliquées à un corps solide.
La théorie des segments interprétés comme des forces devient celle des torseurs ou des dynames, dont les principes remontent au célèbre traité de statique de Poinsot.
Équation Nous avons eu l'occasion de parler plus haut des axes de moment
des axes de j^j relatifs à un système de segments. Ces axes sont définis par l'équation
Introduisons les coordonnées du segment S de la réduction canonique, porté par l'axe central
%, 'IJ, S, l£-h%, Ah-hij, %-h:Z,
on pourra écrire ainsi l'équation précédente
moment nul.
CllAP. I. — THÉORIE DES SEGMENTS. 39
On voit que
représente le moment par rapport à l'axe A considéré du segment S; d'un autre côté, %x + 11^ + Sy, c'est la projection de ce même segment S sur l'axe A; la condition pour qu'un axe A soit de moment nul peut donc s'écrire :
moment (S, AJ + h proj. (S, a) =: 0,
équation qui ne contient plus explicitement les coordonnées. Appelons A,, l'axe central, si l'on observe que
moment (S, Aj = moment (A^, A) X longueur S; proj. (s, a) = proj. {\, A) X longueur S, on a
moment (A^, A) + ^ proj. (Ao, A) ^= 0,
formule où les axes \, A entrent symétriquement.
La théorie des axes de moment nul touche de très près à l'importante théorie des complexes.
Théorie de la droite.
1 4. Nous avons vu que X, Y, Z, L, M, N, liés par la relation
LX + MY + NZr=0,
constituent les coordonnées d'un segment porté par une droite représentée par les équations
1 Zy-Yz=L, l Xz — Zas =: M,
( Yx — Xt/=N.
Supposons que l'on fasse varier la longueur, et si l'on veut le sens de ce segment, alors X, Y, Z, L, M, N sont multipliés par un môme nombre positif ou négatif; les trois équations précédentes ne chau-
gent pas, la ligne qui porte le segment est la même. Dans ces conditions, on peut regarder
comme les coordonnées homogènes d'une droite; ce sont les coordonnées d'un segment de longueur et de sens indéterminés porté par cette droite. On voit comment de la notion des coordonnées d'un segment se déduit la notion des coordonnées d'une droite. Entre ces six coordonnées existe la relation quadrati({ue
LX + MY + NZ = 0;
de plus, ces coordonnées sont définies à un facteur constant près, elles ne constituent, en conséquence, qu'un ensemble de 4 paramètres.
Une droite est donc déte.i-minée dans l'espace par quatre conditions se traduisant chacune par une équation.
Série réglée. Si l'on donne trois conditions seulement, un paramètre reste arbitraire, on a une série réglée : le lieu des droites d'une série réglée est en général une surface gauche ou développable. Cependant les tangentes d'une courbe plnne, les droites d'un faisceau plan constituent des séries réglées sans former pour cela des surfaces à proprement parler. Par contre, une quadrique ou un plan sont le lieu de plusieurs séries réglées.
Congiucnces. Les droites qui ne vérifient que deux conditions dépendent de deux paramètres; elles forment ce que l'on appelle une congruence. Exemples : les tangentes communes à deux surfaces, les cordes d'une courbe gauche, les droites qui coupent deux courbes données, les normales à une surface. On démontre que toute congruence est en général formée de droites tangentes à deux surfaces appelées surfaces focales. Ces surfaces focales peuvent dégénérer en des courbes.
Par exemple, les droites qui coupent deux droites données forment ce que l'on appelle une congruence linéaire.
Il existe des surfaces pour lesquelles la congruence des normales admet comme surfaces focales, au lieu de surfaces proprement dites, deux courbes, ce sont les surfaces cyclides. Leurs normales coupent constamment une ellipse et une hyperbole focales l'une de l'autre.
Uordre d'une congruence est le nombre des droites de cette
GHAP. I. — TilÉOUIE DES SEGMENTS. 41
congruence issues d'un point; la classe est le nombre de ces droites situées dans un plan.
Les droites qui sont assujetties à une seule condition forment un complexe.
Les droites d'un complexe issues d'un point P forment un cône; les droites d'un complexe situées dans un plan :: enveloppent une courbe.
On appelle ordre d'un complexe le nombre des droites de ce complexe qui, issues d'un point P, sont situées dans un plan t: mené par ce point.
L'ordre d'un complexe est égal au degré du cône relatif à un point et à la classe de la courbe relative à un plan.
En effet, pour avoir les droites du complexe issues du point P dans le plan t:, on peut considérer le cône de sommet P et le couper par le plan T. issu de P, le nombre de ces droites est le degré du cône; on peut aussi mener du point P les tangentes à la courbe enveloppe dans le plan t., le nombre de ces droites est la classe de la courbe enveloppe.
Les tangentes à une surface, les droites qui rencontrent une courbe forment des complexes, mais des complexes singuliers; un complexe n'est pas en général formé des tangentes d'une surface ou des sécantes d'une courbe. En un mot, les droites d'un complexe n'ont, en général, pas d'enveloppe.
Un complexe singulier remarquable est celui des droites de longueur nulle, c'est-à-dire des droites qui coupent le cercle de l'infini. Ce complexe joue un rôle très important dans certaines transformations géométriques.
jomploxe linéaire.
15. Le plus simple de tous les complexes est le complexe linéaire ou d'ordre 1. Il est représenté par une équation linéaire et homogène en X, Y, Z, L, M, N.
Exprimons, en effet, que la droite, dont X, Y, Z, L, M, N sont les coordonnées, joint deux points x, j/, z, ce', y' , z', nous avons
h = lrf -\-J =lg-\z, M = X2' — Zcc'=X- — Ix,
N —Yx' —Ky'
^UiriVBRSIT
et par suite
x' — x y —y z' — z yz' — zy' zx'—xz' xy' —yx'
Soit
l'équation homogène qui représente le complexe linéaire. On peut écrire cette équation sous la forme
f{x'—x, y' — y, z' — z, yz' — zy', zoc' — xz', xy' —yx') = 0.
Si l'on se donne x, y, z, le point x' , y', z' décrit le cône dont X, y, z est le sommet; ce cône de degré \, puisque le complexe est linéaire, est ici un plan; cette équation est donc du premier degré en x' , y' , z' . Pareillement elle est du premier degré en x, y, z; elle doit donc avoir la forme
(Xx -f- Bî/ + Ce + D) a,' + (Ajcc + B,y + CjZ + Di) y' + (Ajcc + B^y + C^z + Dj,)-' + A^x + B.y + C^z + D3 = 0.
De plus, pour x' = x, y' = y, "' = z, elle doit être vérifiée identiquement.
Or, on a, en faisant x' = x, y' =: y, z' = z,
Ace' + (B 4- Aj) xy + (G -h A^) xz + (D + A3) x + B^y» + (G, + B,) yz + (D, + B3) y + C,z' + {G, + D,)z + D3=:0.
Donc
A = 0, Al = — B, A^ = — G, A3 = — D,
et l'on a alors
(By 4- Gz + D) x' + (— Bec + C,z + D,) y'
+ {—Cx — G,y + D,) z' +{—\)x — Djy — D,z) = 0, ou
D (X-' - x) + Di (y' - y) + D, {z' - z)
— C, {yz'—zy') + C{zx'~xz') — B(a:y'— yx') = 0.
ClIAP. I. — THÉORIE DES SEGMENTS. 43
Et, en rovenant aux quantités X, Y, Z, L, M, N, on a DX + D,Y + D,Z — GJ. + CM — BZ=0,
équation linéaire et homogène en X, Y, Z, L, M, N. lu polaire. Les droites d'un complexe linéaire issues d'un point P engendrent
un plan ■:: passant par le point P; 7: est le plan polaire ou plan
focal de P.
P5)^,^ Les droites tracées dans un plan -, y ont une enveloppe de classe 1;
elles passent par un point fixe P appelé le pôle ou foyer du plan ::.
11 est évident que le plan focal d'un point P admet ce point comme
foyer et que le pôle d'un plan 7: admet ce plan comme plan focal.
Théorème I. — Soient 0, 0' deux points, :: et rJ leurs plans polaires. Si le plan 7;' passe par le point 0, le plan r, passe aussi par le point 0'.
En effet, menons la droite 00' ; le point 0' est déjà dans le plan ::', si 0 est aussi dans ce plan, la droite 00' est tout entière dans le plan 7:'; elle passe au pôle 0' de ce plan, elle fait partie du complexe; donc, puisqu'elle passe au point 0, elle doit être contenue dans le plan 7: polaire de 0. Les plans ~ et 7:' se coupent ainsi suivant la droite 00', et par suite 0' est bien dans le plan 7:.
Droites 16. Soient deux points quelconques 0, 0' et 7:, -' leurs plans
njuguées. polaires. Appelons D la droite 0 0' et A la droite d'inter.^ection des
plans 7: et 7ï'. La droite A est ainsi définie comme intersection des
plans polaires de deux points de D. Prenons deux points arbitraires
Oj, OJ sur A, je vais prouver que D peut être définie comme l'inlersection des plans polaires 7:j, t.[ de Oj et 0\.
Prouvons d'abord que tout plan mené par D a son pôle sur A. Soit, par exemple, le plan 0 0^ 0', où Oj est un point quelconque de A. La droite 0 0^ issue de 0 ^ dans le plan 0 0^ 0[ (ou 7:) fait partie du complexe; de même la droite O'O^ issue de 0' dans le plan 0' OjO| (ou 7:') fait aussi partie du complexe. Donc 0^ est le point du plan OOjO' où se croisent les droites du complexe tracés dans ce plan; Oj est le pôle de ce plan.
Fi(j. iO.
Cela posé, en répétant la démonstration pour le plan 0 0' ()[, on voit que 0[ est le pôle de ce plan. La droite D est donc l'intersection des plans polaires 0 0, 0' et 0 0' 0[ (ou r.^ et 7:^) des points Oj et 0;.
Théorème IL — La droite D peut donc se déduire de A comme A a été déduite de D. On en conclut en particulier que, de même que A est le lieu des pôles des plans menés par D, à son tour U est le lieu des pôles des plans menés par A.
La correspondance entre les droites D, A est réciproque; on leui' donne le nom de droites conjuguées.
Théorème IIL — Toute droite qui coupe deux droites conjuguées fait partie du complexe et toute droite du complexe qui coupe une droite D coupe sa cotijuguée A.
En effet, soit X une droite qui coupe les droites D et A, le point 0 où elle coupe D est le pôle du plan 7: mené par 0 et A; la droite X, issue de 0 dans son plan polaire z, fait donc partie du complexe. Réciproquement, une droite du complexe ne peut couper une droite D sans couper sa conjuguée A; elle coupe, en effet, A au foyer du plan qu'elle détermine avec D.
Théorème IV. — Deux couples de droites conjuguées constituent quatre génératnces d'un même système d'une quadrique. En effet,
soient D, A, D', A' ces deux couples; toute droite coupant D, A, D' fait partie du complexe puisqu'elle coupe D, A; coupant D', elle doit couper A'. Donc les droites qui s'appuient sur D, A, D' s'appuient aussi sur A'.
Deux droites conjuguées D, A ne peuvent se couper à moins que D ne soit une droite du complexe; mais alors A coïncide avec D, car toute droite du complexe contient tous les pôles des plans qui la contiennent.
Les droites D, A, D' ne se coupent donc pas en général, sauf le cas où D' couperait D ou A. Mais, ce cas exclu, D, A, D' déterminent véritablement une quadrique et D, A, D', A' sont bien des génératrices
Fig. il.
cii.vr. T.
TIIliORIE DES SEGMENTS.
d'un même système, celles de l'autre système étant toutes des droitehi du complexe.
Théorème V. — On démontrera sans peine que toutes les droites D issues d'un point 0 ont pour conjuguées les droites A tracées dans le plan focal de 0. Cela tient à ce que la conjuguée d'une droite est contenue dans le plan focal de tout point de cette droite.
Si une droite D engendre une figure autour d'un point 0, sa conjuguée A engendre la figure corrélative dans le plan :: focal de 0.
A un trièdre de sommet 0 correspond un triangle dans le plan tz; à un cône, une courbe définie par ses tangentes. On a donc là un mode de transformation des figures par dualité.
Considérons plus généralement une figure géométrique polyédrale offrant par conséquent des faces, des arêtes, des sommets; il lui correspondra une autre figure polyédrale dont les sommets correspondront aux faces de la première, les arêtes aux arêtes, les faces aux sommets.
Ces deux figures polyédrales seront polaires réciproques l'une de l'autre.
Au lieu de figures polyédrales on pourrait considérer des surfaces et l'on verrait que le lieu des pôles des plans tangents d'une surface S est une surface Z qui est aussi l'enveloppe des plans polaires des points de S; les tangentes de 2 sont les conjuguées des tangentes de S. Cette transformation conserve les tangentes asymptotiques. Le caractère curieux de celte transformation, c'est que le plan polaire d'un point confient ce point.
Prenons par exemple un tétraèdre ABGD; appelons a, (3, y, S ses faces. Le tétraèdre conjugué de celui-là aura pour sommets les points A', B' C, D', foyers des plans a, (3, y, o et pour faces les plans focaux a', ^', y', s' des points A, B, G, D. Chacun de ces deux tétraèdres ^^ sera donc à la fois inscrit et circonscrit à l'autre.
Ils forment une configuration remarquable sur laquelle Mobius a, il y a longtemps, attiré l'attention.
C'est Chasles, qui, dans son Aperçu historique, a signalé pour la
Pôle du plan de l'infini.
Direction principale.
première fois la réciprocité remarquable qui résulle du complexe linéaire, auquel il a donné le nom de système focal.
On sait qu'en se plaçant au point de vue projectif les propriétés des points à l'infini des figures apparaissent comme exprimant la relation de ces figures avec une certain plan qui a reçu le nom de plan de l'infini. Par exemple, les droites d'un complexe linéaire situées à l'infini passent toutes par un point à l'infini, que nous appellerons le pôle du plan de Vinfini.
Gela signifie que pour qu'un plan coupe le plan de l'infini suivant une droite du complexe, il faut et il suffit qu'il passe par un certain point à l'infini, c'est-à-dire qu'il soit parallèle à une direction fixe de droites.
Appelons direction principale cette direction. Toutes les droites parallèles à cette direction coupent le plan de l'infini au pôle de ce plan, chacune de ces droites se trouve ainsi être la conjuguée d'une droite du plan de l'infini, et réciproquement toute droite D de l'infini a pour conjuguée une parallèle à la direction principale du complexe.
Toute droite parallèle à la direction principale s'appelle un diamètre. On peut dire, d'après ce qui précède, que tout diamètre est le lieu des foyers d'une famille de plans parallèles, et réciproquement, les foyers d'une famille de plans parallèles sont sur un diamètre.
De même, pour qu'un plan ait son pôle à l'infini, il faut et il suffit qu'il soit parallèle à la direction principale. Dans un tel plan les droites du complexe sont parallèles.
Théorème VI. — Le plan mené par une droite D parallèlement à sa conjuguée A est parallèle à la direction principale.
En effet, ce plan a son pôle à l'infini sur A; il contient donc le pôle du plan de l'infini.
Il en résulte immédiatement la proposition suivante :
Les projections de deux droites conjuguées sur un plan normal à la direction principale sont deux droites parallèles.
On appelle quelquefois plan principal tout plan normal à la direction principale. Le lieu des pôles des plans principaux est un dia- Axe central, mètre que l'on appelle Vaxe central du complexe.
Théorème VII. — Toute droite qui coupe à angle droit Vaxe central fait 'partie du complexe.
Diamètres.
Plans principaux
CIUP. I.
TIIKOPJE DES SEGMENTS.
Fig. i9.
En effet, le plan principal mené par cette droite a son pôle au point où cette droite coupe l'axe central.
Théorème VIII. — La perpendiculaire commune à deux droites conjuguées coupe à angle droit Vaxe central.
p En effet, soit A^ l'axe central et X la per-
pendiculaire commune à A,, et à une droite quelconque D; cette droite X fait partie du complexe d'après le théorème précédent; elle coupe donc la conjuguée A de D (théorème III). Le plan mené par D parallèlement à l'axe central est normal à la perpendiculaire X; or, d'après le théorème VI, ce plan est aussi paral- 4 lèle à A. Donc A qui coupe X, coupe cette droite à angle droit.
Nous avons déjà remarqué que les projections de deux droites conjuguées sur un plan principal sont parallèles. Soit, d'après cela, une pyramide Z de sommet 0 ayant pour base un polygone ABC DE dans un plan t:. La figure réciproque sera une pyramide Z' de sommet 0' et de base A'B' G' D'E' dans un plan ::'. Le plan ::' sera le plan polaire du point 0 et les droites A' B', B' C ... seront les conjuguées des arêtes de la pyramide 2 issues du sommet 0; le sommet 0' de 2' sera le pôle du plan r, et les arêtes de S' issues de 0' seront les conjuguées des droites AB, BG, ... Gela posé, projetons l'ensemble de ces deux pyramides sur un plan principal; nous obtiendrons d'abord deux polygones ahcde, a'h'c'd'e' et deux points 0, o' ; les droites oa, ob, oc, od, oe, projections des arêtes de Z, seront parallèles aux côtés a' b' , b' c' , ... du second polygone et les droites o' a' , o' b' , o' c' , ... seront parallèles aux côtés du premier polygone.
Nous obtenons donc dans le plan ces deux configurations réciproques remarquables qui résultent de la considération simultanée du polygone funiculaire et du polygone de Varignon, lorsque les forces agissantes sont dirigées vers un point fixe.
Cette remarque est l'origine d'une série d'importantes applications de la théorie des complexes linéaires à la statique graphique (').
C) L. Cremona, Les Figrires réciprorjnes en statique graphiste.
