CIIAP. II. — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION
Ceci posé, si \t tend vers zéro, la corde PP' Q tend vers la tangente Q à la trajectoire au point P; et la limile du
segment PQ est un segment P V^ porté par celle tangente et dirigé dans le sens du mouvement. La longueur de PV est la limite du rapport
longueur PP'
\t qui est égale à la limite de
lonerueur arc PP'
Fig. 24. ^^
ds c'est-à-dire à la valeur absolue de — = v.
dt
Ainsi le segment PQ a pour limite un segment PV dirigé dans le sens du mouvement sur la tangenie à la trajecloire et dont la longueur est égale à la valeur absolue de la vitesse.
Ce segment PV est la vitesse géométrique du point M.
Supposons que l'on ait choisi sur la trajectoire un sens positif pour les arcs, et soit A l'axe qui, sur celle tangente, a le sens des arcs croissants. Si le mouvement a lieu dans le sens des arcs croissants, V a une valeur positive, et l'axe A est dirigé dans le sens du mouvement; le segment PV a donc le sens de l'axe A et v est justement le nombre qui le mesure sur cet axe.
Supposons, au contraire, que le mouvement ait lieu en sens inverse des arcs croissants, alors v <: 0, et de plus le segment PV a un sens opposé à celui de l'axe A; le nombre qui le mesure a pour valeur absolue la valeur absolue de v et il est négatif, donc puisque v <; 0, la valeur de v est ce nombre lui-môme. On peut dire :
-Sur Vaxe choisi sur la tangente à la trajectoire dans Je sen^ des
arcs croissants, le segment vitesse PV est mesuré par la valeur
ds algébrique de la vitesse v = — •
l'injection de 20. On peut en conclure que si a, [i, y sont les cosinus directeurs
la vitesse en jg |j^ tangente à la trajectoire menée dans le sens des arcs croissants, coordonnées , . . , , .' tttï
rectangulaires. ^^^ projections de la v*lesse PV auront pour expressions
Mais on sait que
dx ds
dy ds
dz ds'
les projections de la vitesse sont donc
dx dx ds dx
et de même
ds
^' = Tt
ds dt dt^
dz
•./Il — •
' dt
Projetons à chaque instant le mobile M en M' sur l'axe Ox; nous
obtenons ainsi un mobile M' qui a 0,x comme trajectoire; l'arc de cette trajectoire est précisément a;; la vitesse P' V du mobile M' (P' est la projection de P) est portée par Ox et est
d X mesurée par
Fig. 25.
dt
ce seofment
P' V est donc la projection de PV sur l'axe Oa;. De là ce théorème :
Le segment qui est la projectio7i de la vitesse PV d'un nwhile M sur un axe est aussi la vitesse P' V du point M', projec-lion du mobile M sur cet axe.
La même démonstration s'applique à la projection sur un plan. En effet, soit M' la projection du mobile M sur le plan des xy. Les coordonnées de la position P' occupée par le mobile M' à l'époque t sont évidemment x, y, 0; les projections de sa vitesse P' V sont donc
dx 'di
dy
lu
il en résulte bien que P' V est la projection du segment PV sur le plan des xy.
Gomme application, cherchons l'expression de la vitesse d'un point mobile dont les coordonnées sont des fonctions connues du te«ips.
CdAP. II. — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION. 59
dx dij dz —
Puisque jT' ^' J7 sont les projections du segment PV sur les
axes rectangulaires, on a évidemment
longueur PV
= \/fë)"-(f)'-©'
d'où
on choisit le signe + ou le signe — selon que le mouvement a lieu ou non dans le sens des arcs croissants.
Au lieu de coordonnées rectangulaires rectil ignés, on peut faire usage de tout autre système de coordonnées pourvu que les bases de ces coordonnées soient invariablement liées au système invariable considéré.
Supposons que l'on ait pris des coordonnées curvilignes quelconques définies par les formules de transformation
Si l'on ne fîut varier que 7^ on a une courbe Ci; de même en faisant varier isolément q^, puis g,, on aura deux autres courbes Cj, C3: ce sont les courbes de coordonnées. Les tangentes à ces courbes, prises dans le sens des paramètres croissants, forment en chaque point de l'espace un trièdre; appelons A,, Aj' -^3 ^^^ ^'^'J- ^^- tangentes. Efi'ectuons un déplace-
ment suivant A,, dont les projections dx, dy, dz sur les axes fixes Oa-, 0^, Oz seront données par les formules
dx = — — dq,, d)i =z - — dq,, dx = - — dq, ; àqi dq^ ^ ôq^ ^
la longueur du déplacement a pour expression, dq^ étant positif,
^^^^^^^^-v^nhm'^i^)'-^-
60 LEÇONS DE C[NÉMATIQUE.
On en déduit, pour les cosinus directeurs de ^^,
i dx ^ à\i 1 dz
Pi —
-^'-vm-(w
où l'on a posé
KàqJ On aura de môme les cosinus directeurs de A^ et de A3
i âx ^ ài) __ 1 t?z
\ dx p ^ '^'J 1- dz
en [)osant
Observons que si l'on calcule l'expression dx^ -+- dij- + dz^ pour un déplacement quelconque, on trouve
ds' = dx^ + dy^ + dz^ = l\^dq] + A^dr/^ + A^c/gl
-H 2B, dq^ dq^ + SB^ '^'îfa ^?i + ^^a ^'/l ^1ïi où l'on a
dx dx d ij d y dz dz
dq^dq, dq^dq^ àq^dq,
dx dx dy dy dz dz
^^dq.dq^ dq.dq^ dq.dq,' dx dx dy d y dz dz
'~dq^dq^ dq^dq, dq^dq,^
Les quantités Bj, B^, B3 sont nulles si las tangentes A,, Aj, A3 forment un trièdre trirectangle; les coordonnées sont alors triplement orthogonales.
Cherchons les expressions des projections de la vitesse d'un point mobile M sur les tangentes au point M aux 3 courbes de coordonnées.
CIIAP. II. — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION. Cl
La projection sur l^ est
dx dij dz
"■^-dt-^^^tt-^^'^^dV
c'est-à dire
\ (dx dx du du dz dz\ — ^- j 1 ; •'- ^ j.
y h \^'^li ^^^ dq^dt dq^dtj
Posons
ou g, = — ; on a dt
dx dx , dx , dx ,
dt ^ J7i ^' "^ ^. ^' "^ àq, ^" dy dy , dy , di) ,
dz
dz
Ji
àqi
àq^
àq.
d'où
dxdx dy dy dz dz / dx^ dx^ dy^ dy dz dz\ ,
dq'i'dt^dqidt dq^dt~\dq^ dq^ àq^dq^ àq^dqj^
(dx dx* dy dy dz dz\ ,
dq, dq, dq^dq, dq.dqj^^
(dx dx du dii dz àz\ ,
àqt àq, dq.dq, dq.dqj '
= k,q[ + B,q'^ + B,q[ dT ~àq['
donc la projection de la vitesse sur l^ est
de même les projections de la vitesse sur A^ et sur Aj sont 1 dT i dT
Ex mp'os. Coordonnées polaires dans le plan. — En coordonnées polaires
dans le plan l'expression du carré de la distance de deux points infiniment voisins est
ds*
dr^ + r^de».
On a 2T = r'~ -+- r^ G'^; les lignes de coordonnées sont les cercles ayant l'origine pour centre, et les droites passant par l'origine.
Soit OM le rayon vecteur, la projection de
"' la vitesse sur OM est — - = )■' = — On dr' dt
donne à celte expression le nom de vitesse
d'élongation. La tangente à la seconde courbe de coordonnées est la tangente MT au cercle menée dans le sens des 6 croissants, la projection de la vitesse sur MT est
Fig. 27.
âf)'
de
Cette projection de la vitesse porte le nom de vitesse de circulation.
Coordonnées 'polaires dans l'espace. — Étudions encore les coordonnées polaires dans l'espace; ds^ a pour expression
dx^ + dy^ + dz' = dr^ + r'dO' + r' sin* 0 do';
les courbes de coordonnées sont le rayon vecteur, les méridiens, les parallèles; appelons ^^, \, A3 les langentes à ces lignes prises dans le sens de r, 0, ç croissants.
On a
2T=r'^+ r'G'^+ r^ sin^ 0 ç'^
d'où pour les projections de la vitesse
Fuj. ?8.
sur Aj
, dr
r — -,- , dt
ClIAP. II. — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION. G3
sur A,: -X {r'%')=:r^' =r^,
sur A3 : ir= (»•' sin G 9') =: r sin 6 • — •
+ K)'- sin* 0 dt
Coordonnées cylindro-polaires. — Soient r, 0 les coordonnées polaires dans le plan des ce j/ de la projection du point M sur ce plan, et z la cote de M au-dessus de ce même plan. Les variables r, 6, z constituent le système de coordonnées cylindro-polaires. Les courbes de coordonnées sont la perpendiculaire MN abaissée de M sur Oz, l.i parallèle MM" à Oz et le cercle de centre N de rayon MN, qui est dans un plan parallèle à xOy. Les axes A^ A^, Aj, sont NM, la normale MM' en M au plan MOz, menée dans le sens dextrorsum avec OZ, et enfin MM". On a ici
ds' = dr^ 4- r" dO- + dz\
et l'on trouve pour les projections de la vitesse
sur NM:
dr
dt'
sur MM' :
de
' dt
sur MM' :
dz dt'
On a beaucoup étendu le sens du mot vitesse; chaque "fois qu'une qnantilé est variable avec le temps, sa dérivée par rapport au temps peut s'appeler sa vitesse. Un exemple important est fourni par la vitesse aréolaire.
Considérons un point M mobile dans un plan, et ^p' soit P la position qu'il occupe à l'époque t; prenons dans le plan un point fixe 0. Le vecteur OP balaie une aire qui, comptée à partir de la position OP^ relative à l'époque < ==0, a une certaine valeur J\) à l'époque t. Quand P vient en P', ..'b s'accroît d'une quantité A.1) :
\à) = POP' = \ OP.OP' . sin POP'.
OP = r, 0P'=r4-Ar, POP' = AO,
donc
et
Cette expression - r^ -r- a reçu le nom de vitesse areolaire. ^ 1 dt
Si au lieu des coordonnées polaires on introduit les coordonnées
rectangulaires x, y, on trouve aisément
d^h 1 / dy dx\
du segment vitesse.
La considération de la vitesse aréolaire est liie à celle des coordonnées du segment vitesse.
Moments Nous avons vu que les projections de la vitesse sur les axes ont
pour expressions
dx dy dz dt dt dt
Les moments du segment vitesse pris par rapport aux axes du trièdre T sont donc
dz du dx dz dy dx
•^ dt dt dt dt dt ^ dt
On reconnaît ainsi que les ^noments de la vitesse relatifs aux axes Ox, Oij, Oz sont les doubles des vitesses aréolaires des projections du mobile sur les plans normaux à ces axes.
Accélération,
Hodographe. 21. Considérons la position P d'un mobile M à l'époque t et soit PV sa vitesse; par un point fixeO menons OU équipollent à PV. Le point U est mobile sauf le cas où P V serait constant en grandeur et direction. Mais alors le mouvement du mobile aurait lieu sui- une droite avec une vitesse constante; le mouvement serait rectiligne et
ftDéfinition de
'accélération.
Coordonnées du segment accélération.
