CII.\P. II. — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION
unifoi'me. Ce cas exclu, le point U est mobile; la courbe qu'il décrit est appelée Yhodographe.
La vitesse avec laquelle le point U décrit l'hodographe s'appelle
V accélération. On appelle plus exactement accélération le segment PJ yj équipollent à la vitesse UW du point U sur l'hodographe.
Théorème I. — Il résulte immédiatement de cette définition que l'accélération est dans le plan osculateur en P à la trajectoire.
En effet, la droite OU engendre le cône directeur des tangentes à la trajectoire; l'hodographe est tracée sur ce cône; donc le plan OUW qui contient la génération 0 LF et la tangente UW à l'iiodographe est le plan tangent à ce cône. Le plan mené par P parallèlement à ce plan tangent est par définilion le plan osculaleur. Le plan osculateur est donc le plan J PV.
On complète habituellement ce théorème par deux autres que nous démontrerons.
Cherchons auparavant les coordonnées du segment accélération. Les coordonnées du point U sont évidemment
Kg. 30.
dx dt
dy dt
dz dt
donc les projections de UW seront dx' d^x „ dy'
dt
dt^
(Py dt^'
dz' "dt
d'-z 'dt'
Nous obtenons ainsi les projections de l'accélération. Prenons le point P,, projection du point P sur Ox, les coordonnées de Pj sont
les projections de son accélération sont donc
L'accélération du point Pj est, par suite, un segment que l'on peut CinéniaUque.
Accélérations
de divers ordres.
obtenir en projetant sur Ox l'accélération du point P. De là ce théorème :
Théorème II. — U accélération d'un 'point P se projette sur MU axe fixe suivajit un segment qui représente V accélération dans le mouvement sur l'axe de la projection P^ du point P sur cet axe.
Le même théorème s'applique à la projection de l'accélération sur un plan.
Cherchons les expressions des moments du segment accélération.
Le segment PJ étant issu de P {x, y, z) et ayant x', y" , z" pour projections, ses moments seront
yz' — zy', zx' — xz", xy" — yx", ou encore
d(yz'—zy') d (zx' — xz') d (xy' — yx'
dt dt
Ainsi, tandis que
x',y',z', yz' — zy', z
xz
dt
xy'
yx
sont les coordonnées du segment vilesso PV, les coordonnées du segment accélération sont
dx^ dt
d£ dt
d iyz' — zy') d (zx' — xz') d (xy' — yx')
dt
dt
dt
Les coordonnées du segment accélération sont les dérivées par rapport au temps des coordonnées du segment vitesse.
Menons par 0 un segment 0 Uj équipoUent à PJ, la vitesse du point Uj est un segment qui, transporté en M (en MJJ, a reçu le nom d'accélération du second ordre; on peut continuer en menant O U, équipollent à MJj, la vitesse de Qj, transportée au point M, est un segment MJ, qui a reçu le nom d'accélération du troisième ordre, et ainsi de suite. Ces accélérations n'ont qu'un intérêt théorique, elles interviennent rarement. Il est à remarquer que pour elles le théorème que nous venons de démontrer n'a plus lieu. Les coordonnées de l'accélération d'ordre n no sont pas les dérivées de celles
