CHAP. II. — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION
La projection de raccélération sur la normale principale s'appelle l'accélération normale.
On observera que cette dernière accélération ^ est essentiellement
positive; elle est donc toujours dirigée vers le centre de courbure. De là cette remarque importante :
L'accélération totale est toujours du même côté de la tangente que le centre de courbure.
•- Si, en effet, le segment PJ et le centre de courbure G étaient de
I' part et d'autre de la tangente, la projection de P J sur la normale prin-
^ cipale serait de sens contraire à la direction du segment PC.
Projociious 23. On peut, en ce qui concerne l'accélération, se poser un pro-
*^^ blême analogue à celui que nous avons traité pour la vitesse et cber-
sur lés ^^^^ ®^^ projections sur les tangentes aux courbes des coordonnées
tangentes supposées quelconques.
ux courbes de Reprenons les notations du n» 20. La projection sur la tangente A. îoordonnées. / i, ,., ,.
de 1 accélération aura pour expression
d^x d^y d^z 1 /dxd^x dyd^y âz d*z\
"' d? '^ ^'1?'^ ^''dt}~y^ \dq, 'dt^ '^ Jq.'dt' '^ Jq, dt*)'
Calculons la quantité entre parenthèses; on a identiquement
àx d^x ây d^y âz d*z
âÇi dt' ôq^ dt^ dqy dt*
d /âx dx dy dy âz dz\
dt \dq^ dt àqi dt âq^ dt/
(dx d âx dq d dy dz d âz\ dt dt àq^ dt dt ^q^ dt dt dqj'
mais la quantité
dx dx ây dy âz dz âq^ dt âq^ dt âq^ dt
a été déjà calculée à propos de la vitesse et trouvée égale à ——,. Reste
le terme soustractif; pour le calculer considérons l'expression
^rr. ,. ,, ,o . f , dx , dy , dz\
on a
àT , âx' , ârj' , àz'
àq, àq, dq, dq^
d'autre part,
d'où
dx , àx , âx , àq^ àq,' dq.
dx' __ d^x , â^x , â^x
àq, ~àql'^''^ à^, àq, ^^ "^ âq, âq
expression qui peut s'écrire aussi
on a donc
d /dx\,
^di\â^J'
àx' , ây' , âz'
àqi àq^ ây^
dx d /dx\ dy d /ày\ dz d /àz\ âT
dt dt \àqj dt dt \OqJ dt dt \àqj dqy
D'où finalement cette expression de la projection de l'accélération sur l'axe Aj,
yYydtXdq'J dqj
et deux expressions analogues pour les projections sur les deux autres tangentes A,, A3.
Ce qu'il faut remarquer dans cette expression, c'est qu'elle ne met en jeu que la forme du ds* de l'espace rapporté aux, coordonnées <?i, q^^ qr
Applications. — Appliquons aux coordonnées polaires dans le plan.
on a donc pour expression des projections de la vitesse sur le rayon vecteur et la tangente au cercle coordonné
dr' \ d
-]- — rO'' = r" - rO'^ - ^ (r'O')dt r dt
ClIAP. II. — xMOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION. 71
Pareillement en coordonnées polaires dans Vespace, on trouve
2T=r:r'* + r'O'* + r' sin'85'% et pour les projections de l'accélération
sur Al : r" — r (0'' + sin^ 0»'')
sur Aj : - — (r'O') — r' sin 0 cos 0 9",
sur A, : — : — ; -r- ()•' sin* ô ©'). r sm 6 a t
En coordonnées cylindro-polaires on a
les tangentes sont : A, le rayon vecteur, A, la tangente au cercle coordonné, A3 la parallèle à Oz.
Les projections de l'accélération ont pour expressions
sur Aj :
r' — rO'%
sur Aj :
sur Ao :
