CIIAP. II. — MOUVEMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION
La nature du mouvement de P^ est remarquable. 11 est périodique, car cos ç variant de + 1 à — i, x varie de + R à — R, et le point Pj oscille de A à A'.
Lorsque le point P décrit la circonférence, il passe par deux positions pour lesquelles sa projection est en Pj , le point P et le point P' symétrique du précédent par rapport à AA'.
Les valeurs de 9 correspondantes sont, à un multiple de 2?: près, égales et de signes contraires; il en résulte que les vitesses de Pj relatives à deux passa- Fig. 34. ges consécutifs sont aussi égales et
de signes contraires puisque
dx
= — Ro) sin (S.
La durée d'une oscillation complète est — " = T, en sorte qu'en
remplaçant w par sa valeur tirée de cette équation, on peut écrire
a; = R cos
Les mouvements de cette forme se présentent souvent en physique; T a reçu le nom de période.
Considérons encore une hélice ayant OZ pour axe. Supposons que par un tour complet, de gauche à droite, pour un observateur traversé par OZ des pieds à la tête, le point P s'élève de la quantité 27;/i; a est le rayon du cercle de base.
Les équations qui représentent l'hélice sont
!£c = a cos 6, y = a sin 0, z = /lO.
Cherchons à représenter le mouvement uniforme d'un point sur cette hélice.
On a d'abord
dx" + dy' + dz* = (a' -\- h') d6% d'où v' = (a' -+- /i*) U J ;
donc, si la vitesse est constante, -r- est constant. Posons
de
— - :r= 0) = constante:
dt
on a
6 = to e + Oo,
où Go est la valeur de 6 pour t := 0. Il vient
/ X ■= a cos {wt + 6o), I y = a sin ((,)i + Oo), ( z =h {lût + Oo),
-,— = — a(ô sin (o)t + 0^),
dy
■-,— = ao) cos (wt + GJ,
dt
On voit d'abord que la projection du mobile sur l'axe est animée d'un mouvement uniforme. Pareillement sa projection sur le cercle de base a pour coordonnées x, y, 0, et la vitesse de cette projection est é'''ale à
d'où
elle est constante.
L'accélération se calcule sans peine; on trouve
— — — aw^ cos {lût + 6o), ^ = — aw'' sin (wt + Go) -^ = 0 ;
elle est dirigée suivant la perpendiculaire à OZ issue du point P; on sait, en effet, que cette perpendiculaire est la normale principale de l'bélice; de plus elle a pour valeur aw*; elle est égale aussi à
En égalant ces deux expressions on trouve
CHAP. II. — MOUVEiMENT, VITESSE, ACCÉLÉRATION. 77
ce qui est l'expression connue du rayon de courbure de l'hélice
circulaire.
Mouvement Parmi les mouvements non uniformes, les plus simples sont les
ireciiligno mouvements rectilignes uniformément variés. Pour ces mouve- ■lifoi'inéinent i i> ■\- i- • , , ■ > ,
varié ments, 1 accélération, qui se réduit a la composante tangentielle, est
constante en grandeur et direction.
Si le mobile se meut dans le sens de l'accélération le mouvement est uniformément accéléré; il est uniformément retardé dans le cas contraire.
Rappelons que l'espace x est lié au temps par la formule
où Y est la valeur constante de l'accélération, v^, x^ les valeurs de la vitesse et de x pour t = 0.
En effet, on a par hypothèse, y désignant l'a .célération constante,
d'où par intégrations successives
dx 1 ,
— = Yf + Vo> x = -^t^ + v,t -{- X,.
On voit que dans ce mouvement la vitesse varie de quantités égales dans des temps égaux quelconques.
Ce mouvement joue un rôle important dans la théorie de la pesanteur.
