Si au lieu de comparer un point mobile M à un système
invariable ^ on le compare à un autre, Sj, on sera conduit à une
nouvelle notion du mouvement de M ; on aura à considérer d'autres
éléments géométriques et mécaniques. Les éléments primitifs et les
nouveaux ne sont pas indépendants; proposons-nous de passer des
uns aux autres.
louverncnt Soient T^ un trièdre trirectangle lié invariablement à 2j, T un
lun système trièdre trirectangle lié invariablement à i. Soient, à l'époque t, a,
. h, c, les coordonnées de l'origine de T par rapport à T^, et
le tableau des cosinus directeurs des axes du trièdre T par rapport à ceux du trièdre Tj ; appelons P^ le point lié à Tj avec lequel le point mobile M coïncide à l'époque l; P le' point lié à T avec lequel M coïncide au même instant; ce,, y,, z, les coordonnées de P, par rapport à Tj, X, y, z celles de P par rapport à T. Puisque P et P, coïncident à l'époque t, on a
/ X, = a + OLX -i- cl' y -V- a"z,
Si le point mobile M est fixe par rapport au trièdre T, les coordonnées X, 1/, z sont invariables; a, b, c, a, P, -(, a , ^' , y', a", ^", Y sont fonctions du temps, et les formules précédentes fournissent à chaque instant t la position de n'importe quel point de l'espace E lié au système i: dans l'espace E, lié au système l^■, elles définissent donc, quand on fait varier t, un mouvement de l'espace E dans l'espace E^.
Nous arrivons ainsi à définir avec précision le mouvement d'un système invariable Z par rapport à un autre Zi-
Notion de la composition des vitesses.
Proposons-nous maintenant de résoudre la question suivante : on connaît 1° le mouvement de 2 par rapport à i, (c'est-à-dire les quantités a, b, c, a, i^, Y, a', ^'. ïS «% ^\ ï" en fonction du temps); 2» le mouvement d'un mobile M par rapport au système Z; trouver la vitesse de M dans son mouvement relativement au système Sf
Différentions les équations (1) par rapport au temps, nous avons
dt
dx, Fda dx do.' dx ~\
dt dt dt ^ dt ]
~ dx 'J^ dy dz'l
J'Tt^^Tt -^^^dt}
dy^rdh ^^ ^ ^
'dt~[dt '^ dt'''^ dt '-^ ^ dt
-^[^Tt-^^' Tt-"-^ dïj
dz, rdc dy dy' dy' H
r dx , dy dz'l
Vitesse Rappelons que nous avons désigné par M le mobile et par P le
d'entraîné- point du système Z avec lequel M coïncide à l'époque T. Dans le mouvement d'ensemble de 2 par rapport à l^, le point P a une certaine vitesse V^, que l'on appelle la vitesse d'entraînement; désignons par
ment.
ClIAP. III. — DU CHANGEMENT DE SYSTÈME DE COMPARAISON. 81
V la vitesse de M dans son mouvement relativement au système 1 ; enfin, soit \^ sa vitesse par rapport au système I^.
Les coordonnées de P par rapport àT sont invariables et égales aux valeurs actuelles x, y, z des coordonnées du point M. Les projections de \\, sur les axes 0^x^, O^y^, 0^z^ du trièdre T^ sont donc
Ve,
i^ri ^
da dJ
da dt
da' dt^
da"
Vt —^
db dt
dt ""
-dt^
d^' dt
Ve,
de dt
dy
di dt'J
projections
de V
sur
les
; axes
de T sont
dy
dz
dt dt dt'
les projections de V sur les axes du trièdre T, sont donc
- dx , dy ,, dz
dt dt dt
/#\ 7 -rr r. dx „ , d ?/ „„ dS
^ dx , dy , dz
Enfin les projections de Vj sur les axes de T^ sont
^'-'-■dF' ^'-'--dl' ^'"^--Jt
Il vient donc, en comparant les formules (2), (3) et (4), (5) V,.. = V,,., + V.., V,„ = Ve„. + V,., V,.. = V.,.. + V... Ces équations sont équivalentes à l'équation géométrique unique.
lelat on entre rv i ' i-ux ' , De la ce théorème
la
itesse absolue, Quand OU passe du mouvement d'un point M par rapport à un
la vitesse système 2 au mouvement par rapport à un autre système 1., la relative et la j. j. m.
itesse d'entraî- '^^^(^sse de M par rapport à Sj est la somme géométrique de sa nement. vitesse par rapport à Z et de la vitesse d'entrainement, c'est-à-dire Cinématique. 9
de la vitesse par rapport à 2, du point VdeZ avec lequel coïncide le mobile à l'époque considérée.
Appelons absolus les mouvements rapportés à un trièdre déterminé Ti, arbitrairement choisi, du reste; appelons vitesse, accélération, trajectoires absolues les éléments relatifs à de tels mouvements. Alors V^ est la vitesse absolue, V qui est la vitesse par rapport au trièdre T s'appellera si l'on veut la vitesse relative, et à l'aide de ces définitions on peut énoncer le théorème précédent en disant que la vitesse absolue est la somme géométrique de la vitesse relative et de la vitesse d'entrainemeiit. Mais il ne faut attribuer à ces termes absolu, relatif qu'un sens purement conventionnel, car le mouvement par rapport à T^ n'est ni plus absolu, ni moins relatif que le mouvement par rapport au trièdre T.
On donne quelquefois au trièdre T le nom de trièdre mobile; bien que T et T^ soient également mobiles l'un et l'autre, leur mouvement ayant été défini comme un changement de leurs positions relatives.
Il n'est pas mauvais cependant de rompre la symétrie de langage en vue des applications ultérieures.
t>rojection3 26. C'est encore en vue de ces applications que nous mettrons les
de la vitesse formules précédentes sous une autre forme, en projetant la vitesse
sur les axes ^^^^^^^ ^r j^ vitesse d'entraînement V, et la vitesse relative V, sur mobiles. "'
les axes mobiles. On a trouvé
donc, en projetant sur les axes du trièdre T, V = V -4- V,. .,
Va, y ^^^ *e, 2/ + * r,y) V„,, = Ve,. + V,,,.
6n a vu que les projections sur les axes de T^ du segment V, sont : da dfx d% dct."
''■"^Tt^Tt^^-dïy-^-âï'' de dr dy' d^
CttAP. III. — DU CHANGEMENT DE SYSTEME DE COMPARAISON. ^3
la projection de V,, sur Ox est, par suite,
- — / da ^ dh dc\
"'■'=[' Tt ^ ^ di ^ '< Tt)
\ dt ^ dt ^ dtj l da' „ dû' dy'X
^V-di^^—t-^^iï)'^
( da' d^' di'\
^K-di-^^iTt^^^ii)''
Nous poserons :
da r, dh de ^
"Tt-*-^ dê + Y dï = ^'
, da ^, db , de
" dl+^dl + f 37 = "'
da dh ^^ de
et observant que
^« -\- Y* = 1, «'« + 3"î + y'2 — 1^ «"! + ^n ^ Y' = 1, aa' + Pli' + yy' =0, aa" + P[i" 4- Yï' —0, a'a"+ P'^' + y'/^O,
on aura
da - d3 dY ^ , da' „, d^' , dy' ^
^dê^^dl-^^dl-^' ^1^-^^ dl-^-^ dî==^'
di ^ '^ dt ^ ^ dt "" ' / da' ^ d3' dY'\ / , da „, ct^ , dyX
/ „ da „, d3 , dY\ / da" , dp* dy'X ^
Ces équations nous permettent de poser :
i" "rfi^^ dF^' <<(;- y- dt^^ dt^^ dt) ^'
et nous aurons ainsi :
un calcul tout pareil donnera
Ve.i, = '0 + rx — pzj Ve,.-= !;+;'!/ — gœ; on a, du reste
do; dy . dz
Formules il vient donc en définitive : fondamentales. ,
dx \a.x — ^ + qz — ry + -;^'
dy
\„,y = 'ri + rx—pz + — >
formules fondamentales d'où se déduit très aisément toute la cinématique géométrique.
Interprétation On peut faire dès à présent une remarque importante concernant
des projections ,g mouvement d'un système invariable. La vitesse d'entraînement de lîi vitp^sG
d'entraîné- ^^'"'^ P^^"^ ^ (^' ?/' ") ^^^ donnée par les formules ment.
1Vc,x = ^ + qz — fy, Ve,, = î; 4- Tpy — qx;
considérons le système de segment S, ayant pour coordonnée^
Pj <Z» ^, ?j 'Ij ?'
On voit que Ve,^, Ve,y, Ye,z sont les projections du moment résultant de S au point P.
On peut donc énoncer ce théorème :
Dans tout système invariable en mouvement il y a à chaque instant un système de segments S dont le moment résultant en un 'point quelconque représente la vitesse d'entraînement.
Le théorème est un résultat de calcul ; aussi restera-t-il purement formel tant que nous n'aurons pas découvert la iiature des segments qui peuvent constituer ce système S.
Nous ne le pourrons qu'après avoir exposé la théorie des rotations.
Faisons auparavant quelques remarques sur le théorème de la composition des vitesses que nous venons de démontrer.
Supposons que l'on ait plusieurs systèmes invariables S^, 2j, Z3, 2„ en mouvement, les uns par rapport aux autres, et soit M un point mobile par rapport à Zj. A l'époque t considérée, le mobile M coïncide avec un point Pj de 2^, avec un point P^ de 2j, ... avec un point P„i de In-i'
Désignons par v^ la vitesse du mobile par rapport au système Sj, par ^2 la vitesse du point P^ de Ej dans le mouvement relatif de Zj par rapport à Zj, par v^ la vitesse du point P^ de 2^ dans le mouve« ment relatif de Ej par rapport à Zj, ..., par v^ la vitesse du point Pi i de 2,i dans le mouvement de 2<i par rapport à 2^ ... et finalement par v„ la vitesse du point P„i de 2„i dans le mouvement de 2„i par rapport à 2„.
Nous avons appelé v^ la vitesse de M par rapport au système 2j ; appelons vl la vitesse du mobile M par rapport au système 2^. On a, par application du premier théorème
qui exprime que la vitesse de M par rapport à 2„ est la somme géométrique de sa vitesse K i par rapport à 2„i et de la vitesse d'entraînement i'„.
On aura de même, en appliquant ce théorème au mouvement de M par rapport à 2„2 et 2„i,
V'n^l = y;,2 + Vn-l
et ainsi de suite
et finalement
d'où, par addition,
Ainsi la vitesse de M par rapport au système 2„ est la somme géométrique de la vitesse du point M par rapport à 2, et des vitesses d'entraînement consécutives de l^ par rapport à 2j, de 2j par rapport à Ijy ..., de 2„i par rapport à 2„.
Nous sommes actuellement en mesure de parler de la composition des vitesses et d'expliquer ce que l'on entend quand on parle d'un mobile animé à la fois de plusieurs vitesses. Cette locution signifie toujours que le point matériel se trouve d'abord rapporté à un système 2, mobile par rapport à un autre 2j, ... jusqu'à un système 2„ auquel on veut rapporter finalement le mouvement du point M.
Exemples. I. Soit un point mobile M dans un plan, soit A la parallèle k Ox
menée par le point M. On peut regarder le mouvement du point M dans le plan xOy comme résultant du mouvement de M sur A, tandis que A se déplace en restant parallèle k Ox, pendant que son point 0' glisse sur Oy.
La vitesse de M par rapport au système
d'axes xOy sera la somme géométrique
de sa vitesse u, sur A et de la vitesse
d'entraînement v^ de M, c'est-à-dire de la
vitesse du point P de A, avec lequel M coïncide à l'instant considéré.
La vitesse v^ est le segment M V^ mesuré par — où x est le nombre
qui mesure O'P, De même, il est clair que dans le temps dt tous les points de A décrivent des segments égaux infiniment petits parallèles à Oy, la vitesse d'entraînement est donc la vitesse du point 0' sur
Ow, c'est-à-dire ~ -
La vitesse de M dans le plan est la somme géométrique de deux ■ —^ ■ — doc du
segmentsMVj, M V^ parallèles à Occ,0?/ et mesurés par— -» —: nous
dt dt interprétons ainsi d'une nouvelle manière les projections de la vitesse
sur les axes de coordonnées.
Fig. 3â
II. Appliquons le même raisonnement au cas du mouvement d'un point dans l'espace.
Soit x' 0' y' le plan parallèle à .tO^
mené par le mobile M ; soit A la parallèle à
Ox menée par M dans ce plan. On peut
regarder le mouvement de M par rapport
au trièdre Oxyz comme résultant du
mouvement de M sur A, tandis que A se
déplace en restant parallèle à 0' x' dans
le plan x' 0' y' et que le plan lui-même se
déplace en restant parallèle au plan xOy.
Nous aurons ici à considérer trois
F'^9- SG. vitesses :
4° La vitesse de M sur A dirigé suivant A, c'est-à-dire parallèledx ment à 0.t et égale à — -; ai
2° La vitesse d'entraînement de M dans le mouvement de A dans
dv le plan x' 0' y', vitesse que nous savons déjà être égale à — et parallèle à O'y' (ou à Oy);
3° La vitesse d'entraînement de M dans le mouvement du plan
dz x' Oy' ; cette vitesse est évidemment égale à — et dirigée parallèlement à Oz.
dx du dz ^ ^ . , ,
Les projections -—5 — -> -— de la vitesse sur les axes peuvent donc ^ '' dt dt dt ^
être considérées comme les vitesses dans trois mouvements particuliers dont la composition donne le mouvement du point M par rapport au trièdre Oxyz.
III. Prenons encore les coordonnées polaires dans le plan. On peut regarder le mobile M comme se mouvant sur le rayon vecteur, tandis que celui-ci tourne autour de l'origine.
La vitesse du mobile sur le rayon vecteur est d'abord — - et est
dirigée suivant ce rayon. La vitesse d'entraînement est celle d'un
point sur un cercle; elle est égale évidemment à r — - et portée par
la tangente au cercle des coordonnées. On retrouve ainsi la vitesse d'élongation et la vitesse de circulation.
IV. L'application aux coordonnée.^ polaires dans l'espace se fait de
dr
même sans difficulté; on retrouve encore une vitesse — portée par le
de
rayon vecteur, une vitesse r — suivant la tangente au méridien,
r sin ô — suivant la tangente au parallèle. at
Applications géométriques. — Théorèmes de Poinsot et de Roberval.
Théo ome 27. On doit à Poinsot un théorème intéressant qui se rattache
de I^insot. d'une manière simple aux considérations précédentes.
Soit une surface S et une normale NN' en un point N de cette surface; prenons la longueur NN' constante, on sait que le point N' décrit une seconde surface S' admettant également NN' comme * normale. Cette seconde surface est dite parallèle à la surface S. Cela posé, soit M un point mobile dans l'espace et MN une normale issue de M à la surface S, soit N le pied de cette normale; on peut regarder tout mouvement de M comme résultant d'un glissement de M sur la normale dont le pied N se déplace en même temps sur la surface S; la vitesse relative est dirigée suivant la normale M N
et égale k—^r désignant la distance MN;
la vitesse d'entraînement est, d'après la remar-
Fig. 57. que qui précède, tangente à la surface parallèle
à la surface S qui passe au point M ; elle est donc rectangulaire avec
MN. On peut conclure de là que la projection de la vitesse du point
M sur la normale est égale à — • Ce résultat généralise tout d'abord
la notion de la vitesse d'élongation.
Montrons maintenant comment il donne le théorème de Poinsot (*).
Soient plusieurs surfaces S, S', S', ..., et un point M; soient r, r', r", ..., les longueurs des normales menées de M à S, S', S' ..., et supposons qu'on assujettisse ces longueurs à vérifier une équation
(') Journal de V École polytechnique, t. VJ.
CIIAP. III. — DU CHANGEMENT DE SYfcTÈME DE COMPARAISON. 89
le point M décrit alors une surface 2; la normale à cette surface s'obtient d'après la règle suivante :
On porte sur les normales aux surfaces S, S', S", ..., à partir de
M des segments mesurés respectivement par les nombres — ^> — ^,»
df ' *
^— ^> ...; la somme géométrique de ces segments sera dirigée
suiva7it la normale à la surface 2.
Supposons le point M mobile sur la surface Z et désignons par v^, Vj,, V- les projections de la vitesse sur les axes de coordonnées; soient \, jj., v les cosinus directeurs de la normale à la surface S, X', ]x' , v' ceux de la normale à la surface S', ..., la projection de la vitesse sur la normale à la surface S sera
\v^ -H \t.Vy 4- vv, = —
et de même, en projetant sur les normales aux autres surfaces,
Multiplions par —^ -r-?' -c-?,' •••et ajoutons, il vient •^ ar or ar
\ dr dr' dr' )
{ àf , ôf \
f àf , df \ df ^
-^VTr-^'^'d?^ )'^ = d-t=''
On voit que les coefficients de v^., Vy, v^ sont les projections de la
résultante des segments — ^> — ^7 ... portés par les normales; l'équadr dr
tion précédente exprime donc que cette résultante est perpendiculaire à la vitesse du point M; ce résultat étant indépendant de h courbe
que le point M décrit sur la surface Z, on en conclut que la résultante est normale à cette surface»
Le théorème a lieu aussi dans le plan si aux surfaces S, S', ... on substitue des courbes.
Applications. — Prenons, par exemple, pour S, S' deux cercles infiniment petits de centre F, F', alors r, r' sont les distances de M à F, F', et la méthode de Poinsot nous donne la construction de la normale en coordonnées bi-polaires.
On appliquera sans difficulté cette méthoJe au cas de l'ellipse et de l'hyperbole par lesquelles on a
r ± r' = const.;
on reconnaît ainsi que pour l'ellipse la normale est bissectrice de l'angle F' M F, et pour l'hyperbole, bissectrice de l'angle supplémentaire.
Pour la parabole, il faudrait prendre pour S un cercle infiniment petit décrit autour du foyer et pour S' la directrice ; la propriété angulaire de la tangente se déduit encore de la règle générale de Poinsot.
Prenons encore la surface définie par l'équation
où r, r' , r' sont les distances du point M à trois points fixes F, F' , F"; on portera une même longueur sur MF, MF', MF" (cette dernière en sens inverse de MF"), la normale est la résultante des trois segments ainsi construits; elle est donc la bissectrice intérieure du trièdre formé par MF, MF' et la direction opposée à MF^
Méthode 28. Au même ordre d'idées se rattache encore la méthode de
de Roberval. construction des tangentes trouvée en 1636 par Roberval et communiquée par lui en 1640 à Fermât. L'exposition de cette méthode se trouve dans le tome VI des anciens mémoires de l'Académie des Sciences. Elle a donné lieu à plusieurs erreurs. L'énoncé donné par Roberval lui-même est inexact; en second lieu, Montucla, dans son Histoire des mathématiques, et Monge, dans sa Géométrie descriptive {^), ont [reproduit la même erreur et ont donné des applications
(') Page 91 de la 5« édition.
fautives que M. Duhamel a reclifiées dans un court et intéressant travail inséré au tome V des Savants étrangers.
Soient F, F', F" ... des points fixes, r, r' , r\ ... les distances d'un point M à ces points ; le point M décrivant une courbe, les projections
de la vitesse sur les rayons FM, FM', FM", ... sont — > — > — > •••
dt dt dt
Si donc on construit sur les rayons des segments MP, MP', MP", ...
, , dr dr' dr" proportionnels à -7) ——•, ——•> et si l'on mène en P, P', P", les dt dt dt
plans normaux à ces segments, ces plans se couperont en un
point Q de la direction de la vitesse; MQ sera la tangente (^).
On peut évidemment généraliser la construction de Roberval.
Supposons que S, S', S" ... soient des surfaces et r, r', r", ... les
longueurs des normales issues de M à ces surfaces. On a vu que dr dr' dr' , .
-TT' TT' -77 ' ••• sont les projections de la vitesse sur les normales: dt dt dt '
la construction précédente peut encore s'appliquer à ce cas. Traitons quelques exemples simples.
Les cas de l'ellipse et de l'hyperbole nous conduisent à deux segments égaux portés suivant MF, MF' pour l'hyperbole et suivant MF et F' M (opposé à MF') pour TeHipse; on a, en effet, dans le premier cas
dr dr'
Jt~~dt'
et dans le second — =
dt dt
On retrouve donc les propriétés angulaires bien connues des tangentes à ces courbes.
Mais au lieu de prendre deux foyers, on peut prendre un foyer et la directrice correspondante. Soient F et PD un foyer, et la directrice correspondante.
On a, en posant MF = r, MP = r' ,
r =rz er' ,
., , dr dr' . ,
d ou -— - =r e •— - 5 et par suite r, r sont Ftg.38. dt dt ^
(') Roberval proposait au contraire de faire la somme géométrique des segments MP, MP'.MP", ...
Autre exemple
de l'application
de la
composition
des vitesses
à la constiuction des taiii^rentes.
proportionnels à ^ — 5 — — ; on peut donc prendre pour segments à ^ *^ dt dt
porter sur les normales MF = 7', MP = r'; la normale en P à MP est la directrice; elle est coupée en Q par la normale au rayon FM ; ce point Q appartient à la tangente qui est donc MQ. On retrouve une propriété de la tangente qui est commune aux trois genres de coniques. Les règles de Roberval et de Poinsot ne sont pas les seules façons d'utiliser la composition des vitesses dans la construction des tangentes et des normales. Je vais en donner un exemple.
Tangentes aux conchoides. — Soient un point 0 et une courbe (A) / que décrit un point M,
menons OM et prenons MM' constant; le lieu de M' est une courbe (G) appelée la conchoide de (A).
Connaissant la tangente à \ ,,--'' (A), on peut construire la ''Q' tangente à (G).
Soient OP perpendiculaire au rayon vecteur, P le point où la normale MP Fig.30. à (A) coupe OP, menons
OKK' faisant un angle de 45° avec le rayon vecteur; élevons MK perpendiculaire au rayon vecteur, soit K le point de rencontre de cette droite avec OK, menons MT tangente à la courbe (A) et soit T le point où la parallèle KT au rayon vecteur coupe cette tangente.
On peut supposer la courbe (A) parcourue avec la vitesse MT, alors MK sera la vitesse de circulation et MQ =: KT sera la vitesse d'élongation.
Mais les triangles OPM et MTQ, qui sont rectangles, sont égaux,
car OM = MK = QT; donc OP = MQ. La vitesse de circulation
étant MK =r OM = r, on voit que notre hypothèse revient à
supposer que l'angle polaire 6 a une vitesse constante égale à l'unité.
Considérons de même la conchoide et faisons une construction
semblable; puisque — est égal à 1, la vitesse de circulation de M'
sera égale à OM' = M' K', et sa vitesse d'élongation M' Q' sera égale au segment que détermine sur 0 P la normale à la conchoide. Or,
CHAP. m. — DU CHANGEMENT DE SYSTÈME DE COMPARAISON. 93
puisque MM' est constant, M et M' ont môme vitesse d'élongation; donc M' Q' = MQ et, par conséquent, la normale en M' détermine sur OP le même seg-ment OP que la normale à la courbe (A). Donc la normale en M' à la conchoïde passe au point P, ce qui donne la construction classique de la normale aux conchoïdes.
On démontre aisément de même les propositions suivantes :
Les plans normaux à une courbe gauche (A) et à sa conchoïde (G) relative à un point 0 de l'espace se coupent suivant une droite contenue dans le plan normal en 0 au rayon vecteur.
Les normales à une surface et à sa conchoïde relative à un point 0 de l'espace se coupent dans le plan élevé en 0 perpendiculairement au rayon vecteur.
CHAP. IV. — DU MOUVEMENT d'uN SOLIDE. 95
