CHAPITRE IV
Mouvement d'un corps solide.
29. Nous avons parlé dans les paragraphes précédents du mouvement d'un système invariable par rapport à un autre ; nous allons analyser en détail la nature de ce mouvement.
Commençons par le cas simple des rotations.
Soit un axe A; concevons un observateur traversé des pieds à la tête par cet axe; il y a deux sens possibles de rotations autour de cet axe, on appelle direct celui qui s'effectue de gauche à droite pour cet observateur.
On fait quelquefois la convention opposée.
Soit untrièdre T^ {Ox^y^z) et un second trièdre T (Oxyz) ayant avec le premier l'axe Oz commun.
Nous supposons qu'une rotation directe autour de Oz d'amplitude
TU
~ amène Ox sur Oy et Ox, sur Oj/j. Soit 9 l'angle dont il faudrait
faire tourner dans le sens direct Ox^ autour de Oz pour l'appliquer sur Ox. Après cette rotation, il est clair que le trièdre T^ coïncide avec le trièdre T. Gela posé, imaginons un corps lié invariablement au trièdre T, et faisons varier d'une façon continue l'angle 6, le trièdre T et le corps seront, par rapport au trièdre Tj, animés d'un mouvement de rotation continu autour de l'axe Oz. La dérivée
w = — de 6 par rapport au temps s'appelle la vitesse angulaire. Si
celle vilesse est positive, 0 croit avec le temps, le mouvement s'effectue à l'instant t dans le sens direct autour de Oz; il a lieu dans le sens inverse si w est négatif.
Soit un point M dont les coordonnées cylindro-polaires par rapport au trièdre mobile T seront r, ç, z; ses coordonnées cylindro-polaires par rapport au trièdre fixe Tj seront r, ç + G, z.
Soit N le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur l'axe 0', MM' la perpendiculaire au plan mené par Oz et le point M prise dans un sens dextrorsum par rapport à Oz, et enfin MM' la parallèle à Oz issue de M.
La vitesse du point M se projette sur NM, MM', MM" suivant des segments qui ont les expressions (n^ 20) :
dr
dt'
'* dt '
dt'
dans la théorie des rotations.
lesquelles dans le cas où M est lié invariablement au trièdre T se réduisent aux valeurs
0, wr, 0.
A-insi la vitesse de tout point M du corps dans le mouvement de rotation autour de Oz est un segment issu de M, normal au plan mené par Oz et M, dextrorsum avec Oz si m est positif et sinistrorsum avec Os si w est négatif, et dont la longueur est égale à la valeur absolue de wr.
Emploi Of' peut donner à ce théorème un énoncé plus simple en faisant
des moments usage des moments. Portons sur l'axe Oz un segment Q mesuré sur cet axe par le nombre w; pour construire le moment de ce segment Q par rapport à M il faudra élever en M une perpendiculaire au plan mené par M et Oz et construire un segment MV dextrorsum avec Q et de longueur égale au produit de la distance r par la longueur de Q. Ce segment MV sera donc mesuré par wr sur l'axe issu de M normal au plan MOZ et dextrorsum, avec OZ; on voit (ju'il n'est autre que le segment qui représente la vitesse du point M dans le mouvement de rotation.
On a donc ce théorème :
Si un corps est animé d'un mouvement de rolatio7i autour d'un nxe A, et si à l'instant t w est la vitesse angulaire de rotation, la vitesse de tout point M du corps se représente par le momc7it, pris par rapport au point M, du segment Q mesuré par le nombre w sur l'axe A.
CIIAP. IV, — DU MOUVEMENT d'uN SOLIDE. 97
La notion suivante nous permettra d'énoncer avec plus de précision les propriétés du mouvement d'un corps solide.
Nous dirons de deux mouvements différents imprimés à un corps solide qu'ils sont tangents à une époque donnée t, si, à cet instant, ils produisent dans le corps la même distribution des vitesses d'entraînement; si, en un mot, tout point du corps a, à l'instant considéré, la même vitesse dans les deux mouvements.
Supposons, par exemple, qu'à un moment donné la distribution des vitesses s'obtienne en prenant les moments d'un segment il par rapport aux divers points du corps. A ce moment tout se passe, en ce qui concerne les vitesses, comme si le corps était animé d'une rotation continue autour d'un axe A portant le segment ïh Le mouvement du corps possède à cet instant une rotation continue ta7igente.
C'est là ce que nous entendrons encore en disant qu'à l'époque t le corps est animé d'une vitesse de rotation ou, pour abréger, d'une rotation co, bien qu'il puisse ne pas posséder en réalité un mouvement de rotation continu. Pour distinguer les simples rotations qui n'interviennent pour ainsi dire qu'à un instant du mouvement pour donner à cet instant la distribution des vitesses, on les appelle quelquefois rotations instantanées.
30. L'introduction des moments dans la représentation des vitesses d'un mouvement de rotation est delà plus liante importance; elle établit un lien étroit entre la théorie des segments et des moments et celle du déplacement d'un corps solide.
Concevons qu'un système invariable soit animé à la fois de plusieurs rotations; cela signifie que par rapport à un système Z, le système i est animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe A^ avec la vitesse wp tandis que Z, est animé d'une rotation de vitesse o)^ autour d'un axe A, par rapport^à un autre système Z^ et ainsi de suite. Considérons les segments S^, S„ ... qui représentent ces rotations ; la vitesse d'un point quelconque M du système 2] par rapport au dernier système de comparaison est la somme géométrique des moments dos segments S^, S,, ... par rapport au point M.
Si donc on considère le système de ces segments SJ, S^, ..., le moment résultant de ce système par rapport au point M représente la vitesse qui résulte pour M de toutes ces rotations.
Cinématique. 7
Les systèmes de segments trouvent ainsi une application directe dans la composition des rotations.
Supposons qu'il s'agisse de deux rotations 0)p Wj, dont les axes sont concourants ; tout se passera au point de vue des vitesses comme si on avait une rotation unique dont la vitesse serait la somme géométrique des segments cop (ù^. Cela tient à ce que le moment de cette somme géométrique en un point est la somme géométrique des moments des segments Wj et w^.
La même proposition s'applique au cas de plusieurs rotations concourantes. Nous parvenons ainsi à la composition des rotations autour d'axes concourants. Généralement, supposons un même corps soumis à deux systèmes de rotations dont les vitesses angulaires sont représentées par les segmentsSj, S^, ... d'une part, et S[, Sj, ... d'autre part. Si les deux systèmes de segments S^, S^, ... et SJ, SI, ... sont équivalents, la distribution des vitesses dans le corps est la même pour les deux systèmes de rotations. En effet, les deux systèmes de segments ont le même moment résultant en tous les points du corps.
Pour que le parallélisme entre la théorie des rotations et celle des segments soit parfait, il suffit d'interpréter le couple au point de vue des rotations.
Mouvement
de translation
continu.
31. Pour y parvenir, je vais d'abord définir une autre espèce de
mouvement d'un corps solide, le mouvement de translation continu.
Soit un trièdreTj (Oa?j 1/jC j) que nous regarderons comme immobile, et un autre trièdre T {Oxyz) dont les axes restent parallèles à ceux du premier, mais dont l'origine 0 décrit une courbe G. Ce se- F'^O- ^0. cond trièdre T est dit animé
par rapport au premier d'un mouvement de translation continu. La translation est rectiligne si la ligne C est une droite; elle est curviligne dans les autres cas.
Appelons a, h, c les coordonnées du point 0 par rapport au
ciiAP. IV. — DU ^îouvEME^'T d'un solide, ~Ô9
triédre T^, et x, y, z les coordonnées d'un point M par rapport au trièdre mobile; les coordonnées de M par rapport au triédre fixe seront
si donc le point M est lié invariablement au trièdre mobile, les projections de sa vitesse sur OjCCj, O^y^, 0^z^ seront
da db de dt dt dt
Ces expressions sont indépendantes du point M choisi ; donc :
Dans un mouvement de translation continu, les points du corps ont à chaque instant tous la même vitesse en grandeur et direction.
Si le mouvement du point 0 est rectiligne et uniforme, sa vitesse est constante en grandeur, direction et sens, et il en est de même de tout point du corps mobile. Ainsi, dans le mouvement de translation continu rectiligne et uniforme, tous les points du corps ont la même vitesse constante en grandeur et direction; ils sont tous animés d'un mouvement rectiligne et uniforme.
On reconnaît aisément qu'à chaque instant il existe un mouvement continu de translation rectiligne et uniforme tangent à un mouvement continu de translation curviligne donné. Il suffit de considérer le mouvement de translation continu rectiligne et uniforme qui a pour vifesse en grandeur et direction la vitesse actuelle commune à tous les points du corps dans le mouvement de translation curviligne proposé.
Les formules déjà écrites
prouvent que tous les points du corps décrivent des courbes égales à la courbe C.
Supposons que, réciproquement, un corps soit animé par rapport au trièdre T, d'un mouvement tel que à tout instant du mouvement la vitesse soit la même pour tous ses points; le corps est animé d'un mouvement de translation continu.
Soient, en efîet, 0 un point du corps et a, b, c ses coordonnées par
Trjnslatiou instantanée.
Couple (le rolalions.
rapport au trièdre Tj; regardons le point 0 comme l'origine d'un trièdre T dont les axes soient parallèles à ceux du trièdi-e Tj ; appelons M un point du corps et ce, y, z ses coordonnées par rapport au trièdre T, les coordonnées de M par rapport au trièdre T^ seront
c + Zy
d'où résulte
dx^ da dx
dt dt dt
dî/j dh dy dz^ de dz
dt
dt "^ dt
dt
dt dt
Mais puisque le point M a, par hypothèse, même vitesse que le point 0 à tout instant du moment, on a
dt
da dyi dh dzi de
~ dt^ dt ~ dt^ dt ~~ dt
d'où résulte
dx dy dz 'di~'dt ~Tt~ '
donc le point M est lié invariablement au trièdre T et le mouvement du corps est bien un mouvement de translation continu.
Considérons un corps en mouvement et supposons qu'à une époque t déterminée les vitesses de tous ses points soient toutes égales, parallèles et de même sens. Il existe un mouvement de translation continu uniforme qui, à l'instant considéré, se trouve tangent au mouvement du corps. Nous pouvons dire, en conséquence, qu'à cet instant le corps est animé d'une vitesse de translation, ou pjus simplement d'une translation. Mais cet état de distribution de vitesses peut varier avec le temps, et la translation considérée est appelée, pour cette rais>on, translation instantanée.
Une translation se représente par une famille de segments équipollents égaux et parallèles à la vitesse commune à tous les points du corps.
Il est très aisé de concevoir maintenant ce qu'est un couple de rotations. Par définition même du couple, le moment d'un tel système est le même en tous les points de l'espace. Donc un couple de rotations a pour effet d'attribuer à tous les points d'un corps la même vitesse en grandeur et en direction.
