CHAP. IV. — DU MOUVEMENT D UN SOLIDE

Un couple de rotations est ainsi équivalent à une translation. La famille de segments équipollents qui représente cette translation est précisément celle qui est engendrée par le moment du couple relatif à tous les points de l'espace.

La composition des couples correspondra naturellement à la composition des translations; si un corps est animé à la fois de plusieurs translations instantanées, la distribution des vitesses sera la même que s'il était animé d'une translation unique représentée par un segment égal en grandeur et direction à la somme géométrique des segments qui représentent les translations proposées.

Distribution des vitesses dans un solide en mouvement.

32. Maintenant que le parallélisme entre la composition des rotations et la théorie des segments est complètement établi, il reste à voir quel rôle les rotations, et par suite les segments, peuvent jouer dans le mouvement général d'un corps. Si tout mouvement d'un corps peut, au point de vue des vitesses, être regardé comme résultant de la composition de plusieurs rotations, la théorie des rotations comprend la théorie générale du déplacement d'un corps. Or, il est aisé de prouver qu'il en est effectivement ainsi.

Une première démonstration est immédiatement fournie par les formules^(F) du n° 26, qui donnent la distribution des vitesses dans un corps en mouvement :

v^=^ + q^ — ry,

Vy = T^ + rx — pz, % = '(^ +py — qx.

Nous avons fait remarquer à cet endroit que la vitesse de chaque point M du corps est le moment résultant en ce point d'un système de segments ayant les coordonnées

i5, î, r, ^, vi, ;;;

mais nous n'avions alors aucun élément qui nous permît d'interpréter sous une forme concrète les segments dont ce système était

i02 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

composé. Nous le pouvons maintenant. Concevons un ensemble de rotations représentées par des seg-ments Sj, Sg, ... dont le système ait pour coordonnées^, g, r, ^, y;, ^. Il est clair que la distribution des vitesses est la même que si le corps était animé à la fois de toutes ces rotations. Ainsi :

En ce qui concerne les vitesses, tout mouvement d'un corps peut être à chaque instant regardé comme résultant de plusieurs rotations.

En appliquant ici les tliéorèmes de la théorie des segments, on voit que l'on pourra énoncer les propositions suivantes :

Réduction à En ce qui concerne les vitesses, tout mouvement d'un corps peut deux roiatjons. ^^^^.^ ^^ chaque instant regardé comme résidtant de deux rotations dont l'une autour d'un axe arbitraire. (Cet axe ne pouvant toutefois être choisi parmi les axes de moment nul.)

Ce théorème correspond à la l'éduction à deux d'un système de segments.

Nous avons vu encore que l'on peut réduire tout système de segments à un segment unique issu dim point A arbitrairement choisi et à un couple; en appliquant ce théorème aux rotations, nous pourrons donc énoncer la proposition suivante :

RéducUon Eii ce qui concerne les vitesses, tout mouvement peut être regardé

a une rotation ^'^ chaque instant comme résultant d'une rotatio7i w autour d'un ol une translation. ^^^ ^^*^* d'un point arbitraire A, accompagnée d'une translation.

Nous avons vu que le segment unique issu du point A a une grandeur et une direction invariables (celles de la résultante de translation). Donc la i-otation w aura une grandeur indépendante du point A choisi et aura lieu autour d'un axe dont la direction est aussi indépendante de A.

Réduction On peut choisir le point A, de sorte que le moment du couple et le

a une rotation segment unique soient portés par une même droite. Le point A est translation ^'^'"^ "" P°"^^ quelconque de l'axe central. Interprétons ceci au point suivant l'axe de vue des rotations; nous voyons que, en ce, qui concerne les dciotation. vUesses, tout mouvement d'un corps peut être à chaque instant considéré comme résidtant d'une rotation autour d'un axe accompagné d'une translation suivant cet axe.