DU MOUVEMENT D UN SOLIDE

Mouvement hélicoïdal.

ifouvement liélicoïdal continu.

33. Il y a un mouvement continu très simple qui réalise cette distribution des vitesses; c'est le mouvement hélicoïdal. Voici en quoi il consiste :

Soit Oj, Xj, y^, z un trièdre Tj, auquel on rapporte le mouvement. Un second trièdre T (0, x, y, z) a son axe Oz confondu avec l'axe

O^z du premier, et un point A de l'axe Ox décrit une hélice (H) ayant 0^z pour axe. Le trièdre T et un corps qui lui est invariablement lié sont dits, dans ces conditions, animés d'un mouvement hélicoïdal continu; il est, de plus, uniforme si le mouvement du point A est uniforme.

Fig.'H. Soient u la distance ûjO

affectée de son signe; 0 l'angle dont le plan z0^x^ doit tourner autour de Oz dans le sens direct pour coïncider avec le plan zOx. Si 11 est le pas de l'hélice (H), on a, comme on sait,

Soit maintenant un point M lié invariablement au trièdre T et appelons r, o, z ses coordonnées cylindro-polaires par rapport au trièdre T; ces coordonnées sont constantes. Appelons r, Çp z^ les coordonnées cylindro-polaires de M relatives au trièdre T^, on a évidemment

d'où, puisque tt = /iO, l'équation

Zi — 2 = h (cpi — ^).

i04 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

Cette équation prouve que le point M décrit une hélice de même pas h que l'hélice (H).

Puisque le mouvement du point A est uniforme, la vitesse w = —

de 0, qui est aussi celle do Sp est constante. La vitesse du point M apparaît comme la somme géométrique d'une vitesse rw tangente

au parallèle et d'une vitesse -~ parallèle à Or. Mais ~ est égal

à hiii.

La vitesse de tout point du corps est donc la même que si le corps était animé à la fois d'une rotation w autour de Oz, et d'une translation /iw suivant Or.

Tout se passe donc à chaque instant comme si le corps était animé à la fois de la rotation w autour de Oz et de la translation /iw suivant Oz.

On peut observer que si ]i :> 0, le segment qui représente la translation a le sens du segment représentatif de la rotation. L'hélice décrite par chaque point du corps est dextrorsum .

Si 11 était négatif, l'inverse aurait lieu ; les hélices seraient sinistrorsum.

Vis. Ce mouvement hélicoïdal est réalisé par l'écrou qui se meut sur sa

vis. De là le nom de vis donné à l'ensemble de toutes les hélices que décrivent les points d'un corps animé d'un mouvement hélicoïdal continu. Pour définir une vis il faut connaître son axe et son pas h. La vis est dextrorsum ou sinistrorsum selon que h est po^^itif ou négatif.

Dans la théorie des segments nous avons appelé vis un système de segments dont la résultante de translation est égale à l'unité. Un tel système de segments est défini si l'on se donne son axe central et son paramètre ou pas h. Cette notion coïncide entièrement avec celle de la vis telle qu'elle vient d'être définie. Supposons, en effet, que les segments du système considéré soient des rotations; ces rotations auront pour efi'et d'imprimer aux points du corps des vitesses que l'on pourra regarder comme résultant d'une rotation égale à l'unité autour de l'axe central et d'une translation h le long de cet axe. L'effet de ce système de rotations sera donc de faire décrire à tous points du corps des arcs d'hélices de la vis qui a même axe et même pas que le système de segments unitaire considéré.

CIIAP. IV. — DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE. 105

Nous avons vu que dans tout mouvement d'un corps la distriliution des vitesses est la même que si le corps tournait avec une certaine vitesse autour d'un axe \, tout en glissant avec une certaine vitesse de translation le long de cet axe, et que tout se passe comme si le mouvement était un mouvement hélicoïdal autour de l'axe \ ; c'est ce qu'exprime le théorème suivant :

Il y a à chaque instant xm 7nonvement hélicoïdal tangent au mouve7nent dhin corps.

De sorte que, pendant l'intervalle de temps dt, tous les points du corps décrivent de petits arcs d'hélice d'une certaine vis.

Les formules que nous avons données pour l'axe central permettent de trouver les éléments du mouvement hélicoïdal. La rotation autour de l'axe central a pour grandeur w = Kja' + g* + r% et la translation suivant cet axe est égale à

p^ -h q-q 4- rZ

= hi

par suite le pas de la vis instantanée sur laquelle se meut le corps est

On observera qu'en général il n'y a pas de point du corps dont la vitesse soit nulle. Il faudrait pour cela que l'on pût avoir en même temps

^ + qz — ry = 0, r^ + rx — pz = 0, Ç -h py — qxz=0, ce qui exige

pq + qtt + r^=zO.

Dans ce cas le système des rotations est réductible à une rotation unique et tous les points de l'axe de rotation ont une vitesse nulle.

Ce cas est le seul où un point du corps puisse avoir à l'époque considérée une vitesse nulle.

Si p, q, r étaient nuls, le système des rotations formerait un couple et le corps serait animé d'une simple translation instantanée.

Démonstrations directes des résultats précédents.

Démonstration

a priori

de la forme

hélicoïdale

de tout

déplacement

inQniment

petit.

34. Il est bon de démontrer plus directement les propriétés que nous venons d'obtenir. Nous donnons plus loin les principes de la méthode employée par Chasles dans l'étude du mouvement d'un corps solide, mais nous allons auparavant donner une démonstration presque intuitive de la forme hélicoïdale de tout déplacement infiniment petit d'un corps. Cette raison est si simple qu'il est étonnant qu'elle ne soit pas répandue" dans l'enseignement.

ConBidérons un corps solide auquel on imprime un déplacement infiniment petit. Un point M pris arbitrairement dans le corps viendra occuper une position infiniment voisine M^ ; le point Mj, considéré comme position primitive d'un point du corps, viendra dans une position voisine M^; le point M^, considéré aussi comme un point du corps pris à l'instant initial, vient occuper une position voisine M3 et ainsi de suite; on définit ainsi dans la position primitive du corps une suite de points M, Mj, M^, ... qui, dans le mouvement, viennent M en Mj, Mj en M^, M^ en Mg, ... , en sorte que la courbe sur laquelle ils sont répartis subit un glissement infiniment petit sur elle-même au cours de ce déplacement.

Prenons un point P de cette courbe et soient R et T les rayons de courbure et de torsion en ce point ; dans le glissement, le point P vient en P' sur la courbe; la courbure et la torsion en ce point voisin P' doivent être encore II et T, puisque l'élément de courbe qui était en P est venu se superposer à l'élément qui entoure le point P'. Donc les dilTérentielles de R et de T sont nulles quand on se déplace sur la courbe; R et T sont constants. Or, les courbes dont les deux courbures sont constantes sont la droite, le cercle et l'hélice.

Dans le cas de l'hélice le mouvement infinitésimal du corps est tel qu'une certaine hélice glisse sur elle-même.

Ce mouvement est donc un mouvement hélicoïdal infiniment petit.

Dans le cas du cercle, le mouvement infiniment petit du corps est tel qu'un cercle du corps glisse sur lui-même; le mouvement est alors une rotation instantanée autour de l'axe du cercle.

I nalogie entre

la théorie ; précédente

et les ! transformations iîfinitésimales.

CHAP. IV, — DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE. 407

Reste le cas de la droite. Dans ce cas une droite du corps glisse infiniment peu sur elle-même; si le corps ne tourne pas en même temps autour de cette droite, nous avons une simple translation. Si le corps tourne autour de la droite, il faut combiner la translation avec la rotation et nous retrouvons un mouvement hélicoïdal infiniment petit.

35. On peut traduire en un autre langage et rattacher à un autre ordre d'idées la démonstration précédente qui repose, comme on a pu s'en rendre compte, sur la détermination d'une courbe qui reste inaltérée par la transformation infinitésimale qui constitue le déplacement.

Observons que tout mouvement infiniment petit d'un corps a pour effet de faire correspondre à tout point M du corps un point infiniment voisin M' . Il réalise donc ce que M. Sophus Lie a appelé une transformation infinitésimale ponctuelle, c'est-à-dire une transformation qui, à tout point M {x, y, z) de l'espace, en fait correspondre un autre M' (x' , y' , z') infiniment' voisin.

Puisque le point M' est infiniment voisin de M, on a

x'=x-^X^t, ij'=y + Y^t, z'=z + llt,

oix It est un coefficient infiniment petit et X, Y, Z des fonctions de X, y, z.

Nous définirons un déplacement comme une transformation qui laisse invariable une certaine fonction des coordonnées des deux points, à savoir la distance de ces points.

Ainsi (x, y, z) (j?i, y^^ z^) étant deux points, leur distance doit demeurer inaltérée par la transformation infinitésimale considérée. Cette distance a pour valeur

désignons par le symbole o les variations qui proviennent du passage d'un point à son transformé infiniment voisin. On a

G •X' ■ <Â^ " tX/ ■■■— ^ i\ ^ ** )

Bv = Yot, ^z = 7At,

et pareillement

àx.

x.af,

Sy, = Y,Bt, ?•> — 7 ?f

OÙ Xj, Yj, Zj sont les fonctions XYZ dans lesquelles on a remplacé xyz par x^y^z^.

Écrivons donc que

l V{x - x,f + {y- y,f + (z - z,f rrz 0; .

il viendra

{x-x,){lx->x,)-\-{y-y,)(>.y-ly,) + {z-z,){lz-lz,)=0,

ou encore

{X - X,) (X - XJ + {y- y,) (Y - Y,) + {z - z,) (Z - Z,) =0.

Cette équation doit avoir lieu quels que soient a?, y, z, ccj, i/j, z^. Supposons en particulier a?j, y^^ Zj infiniment voisin de a?, y, z, en sorte que

x^:=zx -\- dx, y^ — y + dy, z^=zz -h dz,

l'équation devient

d^dx + dYdy + dZdz = 0

ou

dx* + —dx dy

aA , , oi . . dZ ^ . (dX dZ\ ^ ^ -^ dx* + ^- dy* -\- -— dz* + \^- + —-] dydz dz \dz dy)

(dZ aX\ , ^ /^X dX\^^

\i, \- -^\dzdx -\- \- H-r-j dxdy — 0.

\dx dz/ \d y dx)

Ceci devant avoir lieu quels que soient x, y, z, dx, dy, dz, on a