II-O

dx dy dz

dY dZ ^ dZ dX ^ dX dY ^ dz dy dx dz dy dx

Ces trois dernières équations nous permettent de poser

dZ dY

dz ~

dY dx

dX dy

où p, q, r sont des fonctions à déterminer,

CIIAP. IV. — DU MOUVEMENT d'uN SOLIDE. 109

On peut écrire, en conséquence,

dY__ , ^^ — 0 ^^ —

dx ' dij ' dz

dZ Ô'L dZ ^

rx = -'^^ Jy=^'^ Tz=^'

Puisque — - = 0, on a —- := : — r- = 0:

dx dx dydx

dY ^ dr d'Y

puisque -T— = 0, on a — - = ^r — r- = 0, à y dy dxdy

donc)* ne peut dépendre que de -; de même ^^ et q ne peuvent dépendre respectivement que de x et de y. Mais on a

^'X dr <?»X dq

dydz

dz dzdy dy

d'où

dr dq

dz dy^

on a aussi

d'Y dxdz

dr d-Y dp dz dzdx dx

donc

dr dp dq dz dx dy

Or, d'un autre côté on a

d'Z dq d'Z dp

dxdy dy dydx dx donc

dp dq

dx dy

égalité qui, rapprochée des précédentes, nous prouve que

Ip dq dr

Ix dy dz

dp dq dr

Méthode géométrique de Chasles.

Ainsi p, q, r sont dos constantes, et l'on a ç, y;, Ç désignant trois autres constantes

X = ^^ + qz — ry, Y = r, + rx — 2JZ, '1 = '^ + py — qx.

On s'assurera, du reste, bien aisément que ces expressions de X, Y, Z vérifient l'équation

(x X,) (X - XJ + {y- y,) (Y - YJ + (c - r,) (Z - ZJ = 0.

Ainsi un déplacenaent infiniment petit d'un corps est la transformation infinitésimale qui laisse invariable la distance de deux points quelconques du corps. En prenant, au lieu de la distance, toute autre fonction des coordonnées de deux points, on arrive à généraliser l'idée de mouvement et, par là, la notion même des propriétés métriques des figures géométriques.

36. Indiquons maintenant les principes de la méthode qui a servi à Chasles pour établir les propriétés du déplacement infiniment petit d'un corps, méthode qui a été reprise depuis par divers géomètres et dont l'ouvrage récent de M. Schœnfliess contient l'entier développement.

Théorème I. — Soit un segment de droite AB qui se déplace dans un 'plan et soit A'B' la position voisine de AB, 07i peut en général amener AB en A'B' par une rotation autour d'un axe normal au plan.

Soit a le milieu de A A', p celui de BB' et aO, ^0 les perpendicu- Q laires élevées en ces points aux cordes

^,^ respectives AA', BB'; soit 0 le point -->g' de rencontre de ces perpendiculaires. Les triangles A OB, A' OB'sontégaux, car leurs côtés OA et OA', AB et A'B', OB et OB' sont égaux chacun à chacun. Les angles AOB et A' OB' sont donc égaux. H en résulte que si par une rotation autour de l'axe A normal en 0 au plan on amène OA sur OA', le triangle AOB, entraîné dans ce mouvement, viendra se superposer au triangle A' Ob'.

On pourrait objecter que les perpendiculaires considérées peurent

Fïg. 42.

ClIAt'. IV. — DtJ MOUVEMENT d'UN SOUDE. ill

être parallèles. Les cordes AA' et BB' le sont aussi dans ce cas, et la figure A A' B'B est alors, soit un parallélogramme, soit un trapèze B B' isocèle.

// Dans le premier cas, les segments A A' et BB' sont / égaux et une translation amène alors AB en A'B'. / Dans le second cas, soit I le point de rencontre des

../, droites AB et A'B'. Les triangles lAA', IBB' sont Firj. 43. isocèles et une rotation autour de l'axe A, élevée en I perpendiculairement au plan, amènera AB sur A'B'.

Ainsi, sauf le cas de la translation, le théorème est vrai. Encore

B' B pourrait-on alléguer que la translation correspond

\ / au cas où l'axe de rotation se serait éloigné à

Vl l'infini.

/ \ Corollaire. — Le déplacement d'une figure

/ \ plane dans son plan peut s'eifectuer par une rota-

^- A, tion autour d'un axe normal au plan. On peut,

Fig. 44. en effet, regarder la figure plane comme liée

invariablement à un segment AB et entraînée par lui dans son mouvement. Le théorème étant vrai pour le segment est vrai pour la figure plane.

Théorème IL — Tout déplacement d'un arc de grand cercle AB sur une sphère peut être obtenu par rotatio7i autour d'un diamètre de cette sphère,

La démonstration est la même que précédemment. Soit A'B' la position voisine de l'arc AB, et A A' BB' deux arcs de grands cercles, dont a, ^ sont les milieux ; élevons en ces points les arcs de grands cercles perpendiculaires à AA', BB' respectivement. Soit 0 un des points de rencontre de ces deux grands cercles. Les triangles sphériques OAB, OA'B' sont égaux, car les côtés OA et OA', AB et A'B', OB et OB' sont égaux. Une rotation autour du diamètre A qui passe en 0 amène OA sur OA' ; le triangle AOB, entraîné dans ce mouvement,' vient se superposer au triangle A' OB'.

Le raisonnement est en défaut si les grands cercles perpendiculaires à AA', BB' en leurs milieux coïncident.

Appelons t: le plan de ce grand cercle unique F perpendiculaire aux arcs A A', BB' en leurs milieux. Il est clair que les arcs AB^ A'B' sont symétriques par rapport au plan ::; prolongés ils se cou-

pent donc en deux points 0, 0' situés dans ce plan, c'est-à-dire sur le grand cercle F. II suffira, dès lors, d'une rotation autour du diamètre 00' pour amener AB en A'B'.

Corollaire I. — Tout déplacement d'une figure sphérique de forme invariable sur sa sphère peut être obtenu par rotation autour d'un diamètre. Il suffit, en effet, de considérer un arc de grand cercle AB lié invariablement à la figure. Puisque tout déplacement de AB peut être obtenu par une rotation autour d'un diamètre, il en est de même pour la figure sphérique entraînée par l'arc AB.

Corollaire II. — Tout déplacement d'un corps qui a un point fixe G peut être obtenu par une rotation autour d'un axe issu du point C.

En effet, considérons les points du corps situés sur une sphère I de centre G. Ces points forment une figure sphérique F, qui, dans le mouvement du corps, glisse sur la sphère il. On peut guider le mouvement du corps par celui de cette figure sphérique F qui lui est invariablement liée.

Or, tout déplacement de F peut être obtenu par une rotation autour d'une droite issue de C ; cette rotation permettra donc d'effectuer en même temps le déplacement du corps tout entier.

Théorème III. — Tout déplacement d'un segment AB dans Vespace peut s'obtenir, en général, par une rotation autour d'un axe.

Soient AB, A' B' deux positions voisines du segment; menons par la droite AA' un plan :: parallèle à la droite BB' et projetons AB,

BB' et A'B' en AB„ B,B;, A' Bî sur ce plan. Les triangles rectangles ABBj, A'B'Bj sont égaux, car les hypoténuses AB, A'B', ainsi que les côtés BB,, B'B[ sont égaux. Donc les côtés AB, et A'BÎ sont égaux. Il existera donc un axe A normal au plan TT tel qu'une rotation autour de A amène AB, sur A' B[ ; dans celte rotation le point B reste à une distance invariable du plan t. et vient se superposer au point B'; AB vient donc sur A' B'.