CIIAP. IV. — DU MOUVEMENT D'UN SOLIDE

Si les cordes AA% BB' élaient éj^ales et parallèles, c'est par une translation que s'effectuerait la superposition de AB sur A'B'.

Théorème IV. — Tout déplacement d'un corps peut être ramené à deux rotations dont Vune autour d'un axe arbitraire.

En effet, excluons le cas où le corps serait animé d'une translation ; dans ce cas la distribution des vitesses serait la même que si le mouvement résultait d'un couple de rotations.

Puisque le mouvement du corps n'est pas une translation, les cordes AA', BB' des trajectoires de deux points quelconques du corps ne seront pas, en général, égales et parallèles.

Considérons alors le segment AB, on peut l'amener en A' B' par rotation autour d'un certain axe \. Imprimons cette rotation non seulement à AB, mais à tout le corps; le corps viendra dans une certaine position qui n'est pas celle qu'il doit occuper définitivement, mais le segment AB a bien sa position définitive A'B'. Pour achever de placer le corps dans sa position finale il faudra donc laisser A'B' immobile, et dès lors le corps n'aura plus qu'à tourner autour de A' B' . Gomme la droite A' B' a été prise arbitraire, le théorème est démontré.

Théorème V. — Tout déplacement d'un corps peut être regardé comme résultant d'une translation et d'une rotation autour d'un axe mené par un point arbitraire du corps.

Soient, en effet, A un point arbitraire du corps, A' la position voisine. Imprimons à tout le corps une translation rectiligne égale à A A' ; le corps n'a pas ainsi la position finale qu'il doit avoir, mais le point A est venu à sa position définitive; pour achever de placer le corps il faudra donc laisser A' immobile ; le corps n'aura plus qu'à tourner autour de A' ; il suffira, par conséquent, d'après le théorème II (second corollaire), de faire tourner le corps autour d'un axe A issu du point A'.

En y supposant infiniment petits les déplacements considérés, les théorèmes précédents donnent les propositions relatives à la distribution de la vitesse que nous avons données plus haut. Les théorèmes III et IV donnent lieu, dans le cas limité, à une remarque intéressante.

Cinématique. S

Lorsque Ton supposera le segment A' B' infiniment voisin de AB, ne pourra-t-il pas arriver que les segments ABj, A'B', deviennent nuls? S'il en est ainsi, c'est que le plan z est à la limite normal au segment AB; les cordes BB', AA' sont normales à ce segment, qui se trouve ainsi être normal aux trajectoires des points A et B. S'il en est ainsi, le raisonnement ne peut plus être étendu à l'état limite de la figure. Les propositions qui vont suivre montrent sous un autre jour la raison de cette exception.

Relations entre la théorie des complexes linéaires et le déplacement d'un corps solide.

37. Nous avons vu que dans un corps solide en mouvement, le moment résultant du système de segments S de coordonnées p, q, r, ç, r,, Z, représentait en chaque point la vitesse de ce point.

Soit M un point, MV sa vitesse. et A un axe issu de M. La pro^ jection MV'' de MV sur A est, comme on sait, le moment résultant du système de segments 2 par rapport à cet axe. Prenons un second point M, sur l'axe A, soit M, V^ sa vitesse et MjVJ la projection de MjVj sur A; il est clair que les segments M V et MjVJ sont égaux, puisqu'ils représentent tous deux le moment résultant du système 2i par rapport à l'axe A. De là ce théorème :

.Théorè.me L — Soient M, }ii^ deux.pomts d'un corps solide en mouvement ; M V, Mj \\ leurs vitesses; les projections de ces vitesses sur la droite MM^ qui les joint sont deux segments égaux et de même sens.

. Ce théorème si simple a une grande importance. On peut le démontrer directement comme il suit ;

Soient x, y, z les coordonnées du point M; a;,, y^, z^ celles du point Mj, et

la distance MMj, la vitesse de M projetée sur MMj est égale à

• . x^^-^^xdx y^ — y dy t^ — z dz

r dt r dt r dt '

CUAP. IV. — DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE. liS

et celle de Mj à

x^ — X dx^ ijy — y dy^ z^ — - dz^ r dt r dt r dt ^

il faut vérifier l'égalité de ces expressions : ■

3Cj — X dx y, — y dy z^^^ z dz

r dt r dt r dt :

x^ — X dx^ y^ — y dy^ z^ — z dz^

' "" r dt r dt r dt

ou encore ;

égalité évidente puisque

d \{x, - xy + (y, - yY + (z, - zY\= 0, •; ' ■ ;

la distance MMj étant invariable.

tJroites Un cas particulier de ce théorème a joué un rôle important dans un

normales aux intéressant mémoire de M. Mannhein, inséré au tome XX des Savants rajectoires de , ^ , i • . i • ,• i i ., ,,

leurs poinis. étrangers. Ce cas est celui ou la projection de la vitesse sur Taxe A

est nidle. Si ce fait a lieu pour un point M de l'axe A, il aura lieu

pour tout autre point M^ de cet axe.

Or, pour que la projection de la vitesse soit nulle, il faut et il suffit,

la vitesse n'étant pas nulle, que la tangente à la trajectoire soit

normale à l'axe A. De là ce théorème :

Théorème II. — Si dans un solide en mouvement une droite ffst normale à la trajectoire d'un de ses points, elle est normale à la trajectoire de tous ses points.

Ces droites remarquables normales aux trajectoires de tous leurs points sont les droites de moment nul relativement au système de segments Z; elles forment donc le complexe linéaire attaché à ce système 2.

Le plan normal à la trajectoire d'un point M est le plan mené en M perpendiculairement à la vitesse MV, c'est-à-dire perpendiculairement au moment du système 2i au point M; c'est donc le plan polaire de M dans le complexe. De là ce théorème :

'Théorème III. — Le plan normal à la trajectoire d'un point M est le plan polaire de ce point.

Réciproquement, tout plan d'une fijrure de forme invariable est à chaque instant normal à la trajectoire d'un de ses points, à savoir, son pôle dans le complexe linéaire.

Les droites conjuguées ont aussi un rôle intéressant; elles donnent lieu tout d'abord à la proposition suivante :

Théorème IV. — Les plans normaux aux trajectoires des différents points d'une droite B passent tous par une droite A, conjuguée de D dans le complexe.

Gela tient] précisément à ce que chaque plan normal est le plan polaire du point mobile considéré.

Le lecteur trouvera aisément plusieurs autres propositions analogues à la précédente qui résultent toutes de ce fait que les droites normales aux trajectoires des points du corps forment un complexe linéaire.

Il est clair que si l'on réduit à deux le système des rotations du corps mobile, les droites D, A, autour desquelles elles ont lieu, sont deux droites conjuguées dans le complexe linéaire. On peut se donner arbitrairement la droite D, pourvu qu'elle ne fasse pas partie du complexe. Nous retrouvons ainsi le théorème IV du n^ 36 et l'exception que nous avions signalée.

Taiigenles aux 38. Los droites conjuguées rectangulaires offrent dos particula-

trajoctoires ^Wè?, importantes. Nous avons vu au n» 17 (p. 52) que toute droite D des points dun , . . , , ^• n • .i x i

solide en rectangulaire avec sa conjuguée peut se deimir comme étant normale

mouvement, au plan polaire d'un de ses points. Appelons M ce point, la droite D sera ainsi tangente à la trajectoire du point M. Réciproquement, toute droite D tangente à la trajectoire d'un de ses points M est normale au plan polaire de ce point. On peut donc énoncer ce théorème :

Théorème V. — Les droites tangentes aux trajectoires des points d'un corps en mouvement forment à chaque insta7it l'ensemble des droites rectangulaires avec leurs conjuguées. Propri.té On peut donner une autre interprétation cinématique de ces

cinéma iqiie droites.

..... Soil s une surff.ce liée au corps en mouvement; cette surface en

caractenst' ,ue ' '

dune surface enveloppe une autre (S), qu'elle touche suivant une courbe C ; prenons i).ol)ile. un point M sur cette couibe, la vitesse absolue de M est tangente à la

CHAP. IV. — DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE. 117

surface (S); sa vitesse relative est tangente à la surface S. Mais S et (S) sont tangentes au point M, donc la vitesse relative et la vitesse absolue du point M sont tangentes à la surface S. On en peut conclure que la vitesse d'entraînement du point M, qui est la différence géométrique des deux autres, est tangente au point M, à la surface S. La courbe C est donc le lieu des points de la surface S dont la vitesse d'entraînement est tangente à cette surface. La normale à la surface S en M est, dés lors, normale à la trajectoire d'un de ses points; elle fait partie du complexe des droites normales aux trajectoires de leurs points. On a donc ce théorème : -

Théorème VL — On a la courbe de contact d'une surface S

avec son enveloppe en cherchant sur S les points M dont la

vitesse d'entraînement est tangente à la surface, ou encore tels

que la normale en M à la surface S fasse partie du complexe

linéaire.

Autre Appliquons au cas d'un plan z :

interprétation gojt j) j^ normale élevée à ce plan en son pôle; toute normale au

(fcs droites reciano^ulaires P^^" ^"^ ^^^* partie du complexe linéaire doit couper la polaire A

avec leurs de D, car elle coupe D à l'infini; et comme A est dans le plan z, conjuguées. ^ gg^ ]g ]jg^j (jgg pieds des normales du plan qui font partie du complexe. Ainsi A est la courbe de contact du plan avec son enveloppe. Nous pouvons donc énoncer ce théorème :

Théorème VIL — Les caractéristiques (* ) des plans d'un corps

en mouvement constituent à chaque instant l'ensemble des droites

rectangulaires avec leurs conjuguées.

Normales Considérons encore une courbe G du corps mobile, un point M de

à la surface cette courbe, et cherchons la normale en M à la surface décrite par la décritf*

, courbe C. Cette normale MN est normale à la tangente M T de la •ar une courbe *'

du corps courbe C et à la vitesse M V du point M. Elle résulte donc de l'intermobile. section du plan P normal en M à la courbe C avec le plan polaire du point M ; elle fait donc partie du complexe. Puisqu'elle coupe la tangente MT en M à la courbe C, elle coupe aussi la conjuguée A de MT; elle passe donc au point N où A perce le plan P. De là ce théorème:

(*) On sait que, dans une surface variable, on appelle caractéristique la courbe de contact de cette surface avec la surface qu'elle enveloppe.

Théorème VIII. — Pour avoir la normale en un point M à la surface engendrée j)a>' une courbe G du corps mobile, on prendra le point N de rencontre du plan normal en M à la courbe C avec ia conjuguées, de^la tangente MT; on joindra le point M au point N, MN est la normale.

Supposons, en particulier, que la courbe C se réduise à une droite D, elle engendre vine surface réglée, et les normales à cette surface en tous les points de D forment un paraboloïde; d'après le théorème précédent, la droite A conjuguée de I) est une. directrice de ce paraboloïde. Donc : . .' . *. .". . .

Théorème IX. — Si l'on envisage une droite D du corps, le paraboloïde des normales relatif à la surface engendrée par la droite D s'obtiendra en menant les perpendiculaires à la droite D par tous les points de sa conjuguée 1. Lieu des points Les formules fondamentales . .

dont la vitesse ^ „

passe par un V,,. = ^ + qz — rij, v,,, = r, + rx - p z, ty, = 1^ -]- pij - qx

poin ixe. g^ prêtent, il est bon de l'indiquer dès à présent, à la démonstration la plus simple de toutes les propriétés géométriques qui accompagnent le mouvement d'un corps. Cherchons, par exemple, les points du corps dont la vitesse est à ur^ wême instant t dirigée vers un point déterminé du corps (cc^, y^y Zç,).

Supposons, comme nous le ferons souvent pour faciliter l'interprétation des résultats, que l'axe Oz soit l'axe du mouvement hélicoïdal tangent, il faudra que p, q, ^, y; soient nuls, et il reste

... . Ve^^ = — riJ, Ve,y = rX, Ve,. = Ç.

; Exprimons que la vitesse du point (ce, y, z) est dirigée vers le point ^0' y (il ^0» '^o^is aurons .'.....:

^ — ^0 y—Vo ^ — ^o

— ryrx Ç

Ces équations en x, y, z représentent le lieu des points dont les vitesses passent par le point fixe P (x^, y^, z^). Ce lieu est une cubique gauche faisant partie de l'intersection du cylindre de révolution défini par l'équation

. ■ ... gg — Xq 3/ — j/o

. —rg r^ .,

CHAP. IV.. — DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE.

et çiu paraboloïde hyperbolique

Ce? dewx surfaces ont en commun la droite x =iO, y = y^. Le cylindre a ses génératrices parallèles kOz; sa section droite est un cercle tracé sur PQ comme diamètre, Q étant la projection de P sur Oz.LsL cubique passe au point P; l'axe du mouvement hélicoïdal est une asymptote de cette courbe; elle coupe en deux points le cercle de l'infini.

Détermination du mouvement continu quand on connaît les rotations.

Indétermination du problème.

39. Soit un trièdre de référence T^ et a, h, c, a, (3, y, a', [î', y'? a", fi", y" les coordonnées de l'origine et les cosinus directeurs des axes d'un second trièdre T par rapport au trièdre T^.

Si ces douze quantités sont des fonctions connues du temps, un certain mouvement du trièdre T par rapport au trièdre T^ se trouve défini.

On a vu plus haut comment on peut calculer alors les six fonctions Pj (]■, '>'■> ^? 'Oj Kf qui déterminent la distribution des vitesses à chaque époque du mouvement.

On peut se proposer le problème inverse : Six fonctions p, q, r, ^, •/), Z, étant données, trouver un mouvement continu du trièdre T par. rapport à loi trièdre Tj tel que ces six fonctions soient celles qui donnent à chaque instant la distribution des vitesses.

Le problème n'est pas entièrement déterminé. Prenons, en effet, deux triédres Tj, T[ liés invariablement entre eux, et supposons le trièdre T animé par rapport à Tj d'un mouvement continu tel que P) ^1 ^% Çi *';> 'Q soient justement les six fonctions données a priori. Le trièdre T sera animé par rapport à T{ d'un mouvement différent de celui dont il est animé par rapport à T,, car les douze fonctions du temps a, h, c, a, P, y, a', ^', y' , a", ^", y" ne sont pas les mêmes dans les deux cas. Cependant il est visible que la distribution des vitesses est la même.

Mais à celte indétermination près du trièdre de référence fixe, le problème est déterminé.

En effet : soient Tj, T^ deux trièdres mobiles ou non, l'un par rapport à l'autre, mais tels qu'un même trièdre T soit mobile à la fois par rapport à ces deux trièdres, avec cette particularité que dans les deux mouvements la distribution de la vitesse d'entraînement soit à chaque instant la même; je dis que les trièdres Tj, T[ sont liés invariablement l'un à l'autre.

On peut, en effet, concevoir le mouvement du trièdre T par rapport à TJ comme la superposition du mouvement de T par rapport à Tj et de celui de T^ par rapport à T[.

Soient v' la vitesse d'entraînement d'un point M du trièdre T dans le mouvement par rapport à TJ et v la vitesse du point M dans le mouvement d'entraînement de T par rapport à Tj. Enfin, P étant le point de T^ avec lequel coïncide M à l'instant considéré, appelons u la vitesse de P dans le mouvement d'entraînement de T^ par rapport à TJ, on a

Mais, par hypothèse v' = v, donc u est nul. Tous les points du trièdre T, ont ainsi une vitesse nulle à chaque instant par rapport au trièdre TJ. Cela signifie que le trièdre Tj est lié invariablement au trièdre TJ.

Parmi tous ces trièdres T^, Tj, ..., liés invariablement les uns aux autres, il en est un avec lequel le trièdre mobile T coïncide à une époque déterminée f = 0, par exemple; désignons par T^ ce trièdre. Ce trièdre T^ et le mouvement de T par rapport à T^ sont parfaitement déterminés; on a donc ce théorème :

La comiaissance des quantités ^, yj, Ç, p, q, r en fonction du temps permet de définir complètement le mouvem.ent du trièdre T par rapport à un trièdre T^ avec lequel il coïncide à une époque donnée t =: 0. Le mouvement le plus général qui donne naissance aux fonctions ^, r„ ^, p, q, r données, s'obtient en rapportant le mouvement précédent à un trièdre quelconque Tj lié invariablement au trièdre T^.

On aurait pu dire encore que le mouvement du trièdre T par rapport au trièdre T, est complètement déterminé dès que l'on connaît la position initiale T,, du trièdre T,

CIIAP. IV. — DU MOUVEMENT d'uN SOLIDE. 121

Indiquons comment le calcul conduit aux formules finies du mouvement continu quand on se donne les quantités ^, y;, ^, p, q, r.

40. Soit M un point fixe et x, y, z ses coordonnées par rapport au trièdre mobile T. En exprimant que la vitesse absolue du point M est nulle, nous avons

[ ^ + qz — ry -^ ~=0, n + rx — pz + -~ = 0, ■^ . dz f.

C + py — qx + r=o.

dt

Réciproquement, si {x, y, z) est un système de solution des équations (1), les fonctions x, y, z seront les coordonnées par rapport au trièdre T d'un point M qui est au repos absolu, puisque sa vitesse absolue est constamment nulle.

Les équations (1) sont linéaires; pour les intégrer, considérons un système particulier de solutions x^, y^, z^ correspondant à un certain point fixe M^, et posons

(2) as = ajj, -f- X, y = y^ + Y, 2 = z^ + Z,

on voit que X, Y, Z sont les projections du segment fixe M,, M sur les axes du trièdre mobile T. En substituant dans (i) ces expressions de X, y, z, nous avons, après réductions

\'^) \ rJ7

Désignons par (Xo, Y^, Z^) (X;, Y;, Z;) (XJ, YJ, Z;) trois systèmes de solutions linéairement indépendants des équations (3) ; le système le plus généi'al do solutions de ces équations sera

i x = cXo + G'x;4-G'x;,

(4) Y=rCY, -hG'Y; + G"Y2,

( Z = GZq + g Zq H- G Zq,

où G, G', G" sont les trois constantes d'intégration.

Les expressions X^, Y^, Z^ sont les projections d'un segment fixe M(,No, et de même X;, Y^, Z;, X;, YJ, Y; seront les projections de

OF THK

TJNIVERSITY

deux segnaents fixes ^oNi, M^NÔ; ces trpis segments forment autour

de M^ ui) trièdre.

Les expressions

sont les carrés des longueurs de ces trois segments, elles sont donc constantes. C'est ce que l'on vérifie aisément au moyen des équations dif|erentielles,

On vérifie de même que les expressions

B =XgXo + YqYq 4- Z(,ZJ,

• B'=r:X;Xo + Y;Yo + Z^Z„,

■' * • B'r^XoXi+Y.Y^ + Z.Z;

sont constantes. Si l'on forme alors l'expression X* + Y^ + Z*, les formules (4) donneront :

+ 2B.C'C" + aB'.CC + 2B\GG' =: ç (G, G', G"), - • ■•

expression constante, ce qu'il était facile de prévoir, puisque X* + Y* + Z* est le carré de la longueur du segment M^M. , Posons alors

a = iXo+wX; + 7iX;, p = iYo+mY; + 7iY;, y=lZg + m2'^+fiZl, a' = l'Xo+w'X;-t.n'X;, ^' = rYo+m'Y; + n'Y:, Y=l%+m'Z', + n'Zl, a"=irXo4-m'X; + n'XS, ^'=zrY,+ m''Y', + n''Yl, Y"=rZo+m"Z; + n7.;,

où l, m, n, V , m' , n', V, m", n' sont des constantes, et choisissons ces constantes de façon à avoir

X5) ^{l,m,n) — i, <f{l',m',n')=zi, <p (f, w', n') = 1.

Si l'on traite pour un instant l, m, n, l' , m' , n' , l", m\ n" comme les coordonnées rectangulaires de trois points représentatifs P, P', P", ces équations expriment que ces trois points sont sur un certain ellipsoïde (E). Elles' expriment aussi que a, (3, y? a', ^', y', a", ^", y" sont les cosinus directeurs de trois axes fixes issus du point M,,, cosinus directeurs pris par rapport au Irièdre mobile.

Cherchons la condition que doivent remplir l, m, n, V , n}' , n' , l\ m\ n" pour que ces trois axes soient rectangulaires.

CHAP. IV. — DU MOUVEMENT D'uN SOLIDE. 123

En remplaçant a, [3, v, a', ^' , y' par leurs valeurs, la condition d'orthogonalité peut s'écrire :

ac' + pp' H- -a' = 5 (^j V + ^M'+p. n') = 0, 2 \dl dm dn J

ce qui exprime que P, P' sont sur l'ellipsoïde (E) les extrémités de deux diamètres conjugués. En appliquant la même remarque aux deux autres conditions d'orthogonalité,

aa" + (3^" + yy' = 0, «' a" + ^' ^" + y'y" = 0; .;

on voit que P, P', P" devront, sur l'ellipsoïde (E), être les extrémités de trois diamètres conjugués.

Supposons l, m, n, V , m', n' , l", m", n" ainsi choisis. Alors a, P, Y? a'> t^', yS «% P% ï" sont les cosinus directeurs des axes d'un trièdre trirectangle fixe Tj, cosinus pris par rapport aux axes mobiles'.

Il est clair que (a,. 3, y) (a', ^', y') (a", ^" , y") sont trois systèmes de solutions linéaipement indépendants des équations (3), et au Keu des forntiules intégrales (4), nous pouvons prendre ....

alors les solutions générales des équations (1) s'écrivent, d'après les formules (2)

( xirrcCo + G.a + C'.a' + C".a%

On voit ainsi que G, G', G" sont les coordonnées constantes par rapport au trièdre fixe Ti du point fixe M, dont x, y, z sont les coordonnées par rapport au trièdre T, et les formules (6) constituent la transformation de coordonnées qui définit le mouvement continu du trièdre T par rapport au trièdre T,.

Le problème qui vient d'étie résolu a été traité par M. Darboux avec détail au début de ses Leçons sur la théorie des surfaces. M. Darboux a rattaché à cette question plusieurs problèmes de géométrie infinitésimale, et montré tout le parti que l'on peut tirer de l'emploi d'un trièdre de référence mobile dans J'étude de telles

Application

aux courbes

gauches.

questions que compliquerait beaucoup l'emploi des coordonnées habituelles.

Je ne rapporterai ici que ce qui concerne l'application à la géométi'ie des courbes gauches.

41. Soit une courbe gauche C; 0 un de ses points; menons à celle courbe la tangente Ox dans un sens fixé a priori, soit Oj/ la normale principale dirigée vers le centre de courbure eiOz la bi-normale prise dans un sens tel qu'une rotation directe de 90° autour de 0; amène Ox sur Oij. Nous disons que le mouvement du trièdre T ainsi construit est dirigé par la courbe.

Cherchons les éléments ^, t„ l„ p, q, r relatifs à ce trièdre T en supposant que le point 0 décrive la courbe G avec une vitesse égale à l'unité. Gomme ^, tj, X, sont les projections sur Oa?, Oi/, Oz de la vitesse d'entraînement de l'origine du trièdre, nous aurons ici

Désignons par R, T les rayons de courbure et de torsion.

Par un point A fixe, dont £Cq, t/^, z^ seront les coordonnées relatives au trièdre mobile, menons un segment unitaire AB parallèle à Ox; les coordonnées relatives de B seront {x^ + 1, y^, z^), et

les projections de la vitesse absolue de B sur Ox, Oy, Oz seront,

ds puisque — = 1,

dx^ ds

= r{r, + i)-pz,-i-~L'

d Uo ds

Exprimons que la vitesse absolue du point A (x^, y^, z^) est nulle, il viendra

0 = 1-1- qr, -vy, + -^,

rx^

p'^-^-ir

dy c dt

et la vitesse absolue du point B se réduit aux expressions suivantes

CIIAP. IV. — DU MOUVEMENT d'uN SOLIDE. 123

Or, d'après la définition du rayon de courbure R, et puisque ds =^dt, cette vitesse est égale à - et dirigée suivant 0»/, on a donc

v„,y = r = ~, Va,, = — q = 0.

Menons maintenant par A un segnient parallèle à Oz, ÂC, de Ion-

gueur égale à l'unie, la vitesse absolue de C est encore diri'rée sui-

vant 0?/ et a pour valeur - où T est le rayon de torsion; on devra

donc avoir ici

qi^o

'Vo +

d.v^ dt '

rjTo -

dt

PUi>-

dt

expressions qui, en vertu de la fixité du point A, se réduisent à

0 = t^x — q, ^ = t\,j = —p, 0=1 Va,, = 0.

On trouve donc, indépendamment de 7 r=z 0, l'équation p =

T' ainsi, à côté des valeurs 1, 0, 0 de ç, y;, ^,', nous avons pour p, 7, r

les valeurs

On peut démontrer que, réciproquement, si un trièdre se meut de telle sorte que y;, 'Ç, q soient nuls, ce trièdre est formé par la tangente, la normale principale et la bi-normale d'une courbe gauche.

M. Darboux, à l'endroit cité, a donné de nombreuses applications des formules précédentes; nous ne donnerons ici que l'exemple suivant :

)évcloppablès Soit T le tnèdre dirigé par une courbe C, et OU une droite

menées par fssue du sommet de ce trièdre, comment doit varier OU pour une courbo "■auche engendrer une surface développahle?

donnée. g^.^ ^ l'angle de OU avec Oxcto l'angle deOy avec la trace sur

le plan normal yOz du plan mené par Oac et OU.

'Appelons l la distance au point 0 d'un point M pris sur OU, et X, yyZles coordonnées de ce point par rapport au trièdre mobile; on a

X = l cos 0, y ~ Tsin G cos 9, ^ = ï sin 0 sin 0.

Si la droite OU engendre une développable, le point M où elle touche l'arête de rebroussement a sa vitesse dirigée suivant la tangente à cette arête, c'est-à-dire suivant OU; pour ce point M on a donc

X y z ou, en supposant — - = 1,

1 dx X z du y dz

R^ ds R T ds__ T ds

Appelons \ la valeur commune à ces rapports, et remplaçons dî, iy, z par leurs valeurs en fonction de l, Oet 9. Il viendra, en considérant les deux derniers ra,pports, ■', "■'- ■ ■■"" •

cos 9 sin 0 sin ? d ,. ^ ^ [. dl\ .

-73 1 = — -^ + — (sin 0 cos ©) = A — -— - ) sm 0 cos ô

K T ds \ Ids/

sin 6 cos ç <^ / . . . s A dl\ .

T— + ds ^^'" ^ '''' ^) = [' - îdS) ^'" ^ ''" ?'

d'où, en multipliant par — sin ç, cOs 9 et ajoutant,

-, ' sin 6 sin 0 cos 6 . , ds ^ T T^ 4- sm 6 -^ = 0.

r 11 ds

Si, en particulier, on prend 0 = ^) on est dans le cas des dévelop-

pables engendrés par des normales, de sorte que la formule précédente généralise la théorie des développées. Cas où l'axe du Comme autre exemple je traiterai ce problème qui a une certaine

mouvement impoitance par ses applications.

hélicoïdal ^^ ,, . ,.,,...,,. ,. .

a une direction Supposons que taxe du mouvement hélicoïdal ait une direction

fixe dans le fixe dans le corps; alors on peut supposer que Oz est cette direction ; corps. p^ q goi^t jjuig^ Par un point fixe A de l'espace de Coordonnées relatives (Xg, y^, z„), menons \xn segment unitaire AB parallèle à 0«.

CHAP. IV. — i)U MOUVEMENT d'uN SOLIDE. 1^7

Les coordonnées de B sont .. . -

sa vitesse absolue a dès lors, comme projections sur les axes mobiles,

Mais d'un antre côté, si l'on cherche la vitesse absolue de A (qui est nulle par hypothèse), on trouve les mêmes expressions; ces expressions sont donc toutes les trois nulles et B est fixe. Donc Oz a une direction fixe aussi dans l'espace. De là ce théorème fonda-mental:

Si l'axe du mouvement hélicoïdal a une direction fixe dans le corps, il a aussi une direction fixe dans Vespace.

Du mouvement inverse.

42. Considérons deux trièdres T, Tj mobiles l'un par rapport à l'autre, le mouvement de Tj par rapport à T est dit l'inverse du mouvement de T par rapport à Tj. \. '.. vite se dans Soit P un point lié au trièdre T et Pj le point lié au tfièdre ^^ avec lequel coïncide le point P à l'époque considérée ; on a ce théorème :

La vitesse d'entraînement de P dans le mouvement de T pat rapport à Tj est égale et opposée à la vitesse d'e^itraînement de P^ dans le mouvement inverse.

Considérons, en effet, un point M mobile par rapport au trièdre T, et qui coïncide avec le point P à l'époque considérée. La vitesse Vj de M par rapport au trièdre Tj est la somme géométrique de la vitesse d'entraînement u de P par rapport à T, et de la vitesse relative v' de M par rapport à T ;

Mais supposons le point M toujours coïncidant avec le point P^; alors la vitesse v^ est nulle et les vitesses v et v' sont égales et opposées. Or V est la vitesse de P par rapport au trièdre T, et v' est la vitesse du point M, ou Pj, par rapport au trièdre T. Le théorème est donc démontréi

inouveniout inverse.

Application. Soient Sj, 2j deux systèmes invariables en mouvement l'un par l'autre. Dans certains cas il y aura avantage à prendre comme trièdre de coordonnées non pas un trièdre lié soit à 2j, soit à 2^, mais un trièdre T mobile à la fois par rapport à chacun de ces systèmes invariables.

Désignons par (p», q,, i\, S,, r,^, Uj) (p^, q^, r^, ^„ v;,, Q les coordonnées des deux systèmes de rotations instantanés qui se rapportent respectivement au mouvement du trièdre T par rapport au système 'l^ et au mouvement du trièdre T par rapport au système Z^. Le mouvement de Z, par rapport à 1^ peut être considéré comme résultant du mouvement de T par rapport à I, et du mouvement de S, par rapport à T, lequel est le mouvement inverse de celui de T par rapport à 2i; par application de la proposition précédente, la vitesse d'entraînement d'un point de 1i par rapport à Zj sera la difTérence géométrique entre la vitesse provenant de l'entraînement de T par rapport à 2, et celle provenant de l'entraînement par rapport à ^1 du même trièdre T. En projetant sur les axes de ce trièdre et désignant par x, y, z les coordonnées du point entraîné, on aura donc

^x = ^, — ?i + ('/, - 9,) 2 — {'-t — >•,) y, Vj/ = T^j — -^i + O'î — »',) X — (p, —PO z, V, = r, — Ç, -^ (Pj — p,) y — (q^ — g,) x

et v^, V;„ v^ seront, répétons-le, les projections sur les axes du trièdre T de la vitesse du point dont x, y, z sont les coordonnées actuelles, lié au système 2,, dans le mouvement d'entraînement de 2, par rapport à 2,.

Ces formules, extrêmement commodes, trouveront plus lard une application dans l'étude du roulement des courbes.

CHAP. V, — DE L'ACCÉLÉRAnON DANS LE MOUVEMENT. 129