CHAPITRE V
De raccéléralion dans le mouvement relatif.
Formules fondamentales.
43. Nous étudierons uUérieurement en détail divers cas de mouvement d'un corps, mais nous devons auparavant compléter, en ce qui concerne les accélérations, le problème, déjà traité pour les vitesses, du changement de système de comparaison.
Un point M se meut par rapport à un trièdre T, lequel à son tour est mobile par rapport à un second trièdre Tj, il s'agit de trouver l'accélération du point M dans son mouvement par rapport au second trièdre.
Soient x, y, z les coordonnées du point P du trièdre T avec lequel coïncide le mobile à l'époque t, nous avons trouvé que les projections de la vitesse absolue du point M avaient pour expressions
^ dx
du
V, — . r, + rx — pz + —,
dz
% — C +PV— qx + ^•
Pour obtenir Taccélération absolue, prenons un point A fixe (c'està-dire lié invariablement au trièdre T^ auquel est rapporté le mouvement dit absolu), et menons A V segment égal et parallèle à la vitesse absolue du point M. La vitesse absolue du point V est l'accélération absolue.
Appelons cCj, y,, z^ les coordonnées du point V par rapport au trièdre T mobile, et désignons par Ja,r, Jn^y, h,^ les projections do Cinémat'uine. 9
i30 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.
l'accélération absolue sur les axes de ce trièdre; on aura, puisque l'accélération absolue de M est la vitesse absolue de V,
Ja„r = ^ + q^i — ''Vi + -^'
dy.
Soient Xq, y^, z^ les coordonnées du point A par rapport aux axes mobiles, on a, Vj., Vy, v^ désignant toujours les projections de la vitesse absolue du point M,
X,=:X^-b t',,, ?/j = î/o + Vj„ Z^=ZQ-h V,,
d'où
"^ dt
dv„
ia.x = ; + g -0 — ry, + --jj \ + Q ^'■~.
r dzr[ dv,
J„„ = ^^ + py^- qx, + -^J + PV, - qv,.^ + — •
Formulas Or, le point A étant au repos absolu, sa vitesse absolue est nulle;
de Bour. on a donc
r, + rxo — pzo + "^ — ^'
et il reste
li.z=pv,,— qv^ +
dt\ dt'.
formules qui sont dues à Bour(i). Il suffira de les développer pour atteindre le but que nous nous sommes proposé.
(1) Journal dt Lioinille, 2"'« série, t* \III, 1863*
CHAP. V. — DE l'accélération DANS LE MOUVEMENT. 131
En transportant dans J„ .^ les valeurs de v,, v,,, v,, on trouve
les lettres accentuées désignant les dérivées prises par rapport au temps des variables correspondantes.
Posons, pour abréger,
^' + ^^ rr, = ^„ V + r^ - pi; = r,„ ^' + pt, -q% = t,, 2H =z {px + qy + r-y — (p* + ^' + r*) (x^ + ?/ + z^-),
on pourra écrire
^ , , âîl ^ / dz dij\ d^x
et, de même,
dhi . ( dx dz\ d'y
J..-.. + r'x-pz-^ — + 2 [r-^-Pj-^) + ^'
, , dU r^ / du dx\ d*z
Interprétation 44. Nous allons interpréter ces formules. Nous avons appelé P le des formulos. point lié au trièdre mobile avec lequel coïncide le point mobile M à l'époque t considérée. Si, dans les formules précédentes, on laissait à X, y, z leurs valeurs actuelles, mais en les considérant comme des constantes, on aurait évidemment l'accélération du point P entraîné par le Accélération trièdre mdbile, c'est-à-dire l'accélération d'entraînement. Désignons d'entraîné- par J, cette accélération et par J^^^;, 3e,y, Je, - ses projections sur les axes du trièdre mobile. J^ se déduit de J<, en y supposant x, y, z constants ; on a donc
, . , , an
Accclérntion complémentaire.
Théorème de Coriolis.
Je désigne par j^ le segment dont les projections sur les axes
mobiles sont
^ 1 dz dii\ - „ / dx dz\
'■' y dt dt) •' \ dt ^ dtj
r. ( du dx\
Knfin il est visible que —^^ -j^y -jj^ sont les projections sur les
Cl t Cl t tl V
axes mobiles de l'accélération relative J,. du point M dans son mouvement par rapport au trièdre T. Les formules qui donnent J„.^ s'écrivent alors
»n,x —— "(-..T ~t~ Jf,.r ~H "r,.rj '1(1,1/ ^^^^ J;-,i/ + J<,;/ 'I ''r,!/ ) 3„, = J,., -i- J,,, + Jc,r-
Ce qui exprime que J„ est la somme géoméiriquo des segments
Nous connaissons la signification de J,, J,, il est aisé d'interpréler
aussi J<..
Menons par le point M le segment <} dont les projections sont p, q, r sur les axes mobiles. On reconnaît dans ce segment la rotation qui, jointe à une vitesse de translation égale à la vitesse du point P du corps, produirait dans le corps la distribution de vitesse qui résulte de son déplacement effectif.
Menons aussi le segment MV^ qui représente la vitesse relative. On voit que J,. est le double du segment qui représente le moment du segment tî par rapport au point V,. Ce segment J, porte le nom d'accélération complémentaire ou de Coriolis.
On peut donc énoncer ce tliéorème :
L accélération absolue est la som7ne géométrique de trois segments :
i" L'accélération relative du point par rapport au système de comparaison mobile;
2" L'accélération d' ont raîiie ment, c'est-à-dire celle que possède le point du système de comparaison mobile avec lequel coïncide le mobile à l'époque considérée;
^0 L'accélération complémentaire ou de Coriolis, qui est le double du moment du segment Q qui représente la rotation ins-
CHAI'. V. — DE l'aCC.ÉLÉUATION DANS LE MOUVEMENT. 133
tanianée transportée au point M, par rapport à Vexlrêmitù de la vitesse relative.
Cette proposition est habituelleiuenl connue sous le nom de théorème de Goriolis.
L'accélération complémentaire est nulle dans trois cas. D'abord, bien évidemment, dans le cas du repos relatif, car alors le point V^ coïncide avec le point M; en second lieu si la vitesse relative est constamment parallèle à l'axe du mouvement hélicoïdal, car alors V,. est sur le segment 0; et enfin si le segment Q est nid, auquel cas il existe une translation tani^ente.
De la distribution de Taccélération dans un corps en mouvement.
45. Les expressions de J,, .c? h,,,, X',^ que nous avons trouvées, nous donnent la distribution de l'accélération dans un solide en mouvement. Ces formules, en posant
Jc',x = ^1 + q' z — r' y, J^',,, = r,^ -{- r' x — p' z,
ox dy az
peuvent s'écrire
Elles expriment que l'accélération d'entraînement est la somme de deux segments. L'un J^.' do projections J^r.x, J«',y) h'.-.-, l'autre J^,, de projections J,r, .j., J^r/ y, J^^ -. Le premier est le moment par rapport au point mobile M du système de segments li de coordonnées
P', q', ^'', ?p r,^, Çi-
Pour interpréter le second segment, menons par l'origine des coordonnées une parallèle OA à l'axe instantané de rotation, et soit Q le pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur cette droite. Les coordonnées x^, y^, z^ du point Q sont données par les formules
.r, 7/i Ti p^'.jj- Jfj/i-f-^i yx + qy -f- rz p q r p' -H g* -f- r* p- + q- ^- r*
Centre des accéléiations
Les projections du segment M Q sont donc
px-hqy-hrz p(px-hqy -i-rz) — (p^ + q^ + r-)x
a^j — à!=jL)
p +q -h r dîl 1
dx ' j)^ -\-q^ + r*' et de même
^i-2/ = XT
dy p^ + q^ + 1
dB 1
dz p^ + q^ + r
Considérons alors le segment MD égal au produit de MQ par p* 4- 'z' + r^ = w*; les projections de ce segment MD seront précisément
OU ÔH dU
(p2 4- (f + ,.î) (jc^ — x)z=
dx à y dz
Donc MD est le second segment cherché.
Contrairement à ce qui a lieu pour la vitesse, il y a toujours un point du système T mobile dont l'accélération est nulle. Ce point a reçu le nom de centre des accélérations.
Les coordonnées de ce point doivent vérifier les équations
J^x = Çi + g^ — »• 2/ + 3— = 0,
dx
ie,y = r^, + r'x—p'z + —=(),
nous obtenons ainsi trois équations linéaires dont le déterminant est
— {q^+T^)pq — r' pr + q' pq + r' — (r^+p^) qr — p' pr — q' qr + p' — (p'+g")
= -\(qr' -rq'y + (rp' -pr'Y + ipq' -qp'fl
=(pp'-hqq' + rr'y
Le déterminant n'est nul que si l'on a
Pi p
CIIAP. V. — DE l'accélération DANS LE MOUVEMENT. 135
donc, sauf cette exception, il y a toujours un centre des accélérations.
Supposons que l'excepiion précédente ait lieu à tout instant du mou-
P Q vement ; on voit que -> - sont constants, ce qui signifie que l'axe du
mouvement hélicoïdal tangent a une direction fixe dans le corps, et, par suite, aussi dans l'espace (p. 126).
Prenons alors Oz parallèle à cette direction, invariable à la fois dans le corps et dans l'espace ; p ei q seront nuls, ç,, r^, L^ se réduiront à
et l'on trouvera
Cas où il y a On voit alors qu'il n'y aura pas de centre des accélérations tant que
ine iaCnité .le ., ne sera pas nul.
centres des
accélérations. I' ^'^'^ facile d'interpréter cette condition X^ == 0. Elle exprime que
!^ est constant; or, dans le cas actuel, les formules qui donnent la
distribution de la vitesse se réduisent à
r., = ç — rj/, r„ = Yî + r.r, v, = Ç.
Le plan «0?/ a une orientation fixe dans l'espace, comme l'axe Oz auquel il est normal ; il se déplace donc en restant parallèle à luimême et la vitesse de ce déplacement est précisément ^.
Si X^ est constant, c'est que le mouvement de xOy est uniforme. Dans ce cas, il y a une infinité de points d'accélération nulle; ils sont répartis sur la droite
CIIAP. VI.
MOUVEMENT D UNE ElOURE PLANE.
