CHAPITRE VI

Mouvement d'une figure plane dans son plan.

Forniuliîs

(le la vitesse

dans le cas

(lu glissement

I d'un plan

I îur lui-même.

40. Parmi les divers mouvements d'un corps solide, il en est deux particulièrement importants que nous allons étudier en détail. Le premier est celui dans lequel un plan du corps glisse sur lui-même; le second celui dans lequel une splière du corps glisse sur elle-même, ou, ce qui revient au même, dans lequel le corps a un point fixe.

Examinons d'abord le premier mouvement. Appelons :: le plan du corps qui glisse sur lui-même; tout plan du corps parallèle au plan :: glisse lui aussi sur lui-même, en sorte que tout point M du corps décrit une courbe tracée dans un plan paiallèle au plan -::; on peut ajouter que si M^ est la projection du point M sur le plan ::, le point Mq décrit dans le plan sur lequel glisse le plan t. la même courbe plane que le point M décrit dans l'espace.

On peut donc se borner à étudier le mouvement des points situés dans le plan z et l'on est alors ramené au problème du mouvement d'une figure plane qui glisse dans son plan.

Prenons le plan :: pour plan xOy; tout point pris dans le plan x a sa vitesse dans ce plan, par bypothèse, donc la projection v\ de cette vitesse sur 0^ est nulle identiquement; comme on a

py - qoc,

il faut que î^ r= ]> =r: ^y ^ 0. Posons alors o) = r et nous trouvons que j)Oiir tout point du corps on a

Si (0 était nul, le corps serait animé d'une translation instantanée;

cp ras exclu, on peut poser

Les expressions précédentes deviennent alors

V,. — — M(y — y,), V,, = lù {x — X,), r, = 0;

elles nous prouvent que le corps est animé d'une rotation instantanée (1) autour d'un axe A parallèle à 0 z et issu du point I du plan :: dont (^o> î/o) ^o^t les coordonnées.

Conformément à la remarque déjà faite, nous nous bornerons à étudier le mouvement du plan :: sur lui-même, et nous pourrons dire alors que la distribution des vitesses dans le j^lan ::, dans son mouvement de glissement sur lui-même, est la même que s'il tournait Centre avec la vitesse w autour du point I, qui a reçu le nom de centre xiistantnne. instantané de rotation.

Un point M du plan 7: décrit dans ce mouvement une courbe dont la tangente porte la vitesse du point M. Cette vitesse est normale, d'après le tbéorème précédent, à la droite IM et égale au produit de IM par 0). On peut on conclure que IM est la normale à la trajectoire du point M.

De là ce théorème :

Propriété Les normales aux trajectoires de tous les points du plan mobile

des normales. ^.^^^^ toutes passer au centre instantané de rotation.

Courbes Considérons une courbe C liée au plan ::; cette courbe en enve-

enveloppos. iQppg ^^^^ ^^^^ç. (^q). Soit P le point où la courbe C touche (G). Ce point P varie en général sur la courbe C ; cette courbe est sa trajectoire relative dans le plan ::; la courbe (G) est sa trajectoire absolue. Par hypothèse G et (G) sont tangentes en P; donc la vitesse absolue et la vitesse relative de P sont portées par une même droite PT tangente commune à C et à (C). La vitesse d'entraînement de P, qui est la différence géométrique entre ces deux vitesses, est donc portée aussi par PT; mais cette vitesse d'entraînement est normale à la droite IP; donc IP doit être normale à la courbe G au point P. Donc, au point P où G touche son enveloppe, la normale à G va passer au centre instantané.

Réciproquement, soit P un quelconque des pieds de normales issues à la courbe G du centre instantané L Le point P est variable sur

CHAP. VI. — MOUVEMENT d'uNE FIGURE PLANE. 139

la courbe C avec le temps; sa vitesse relative et sa vitesse d'entraînement sont tontes deux portées par la tangente PI à la courbe G. Sa vitesse absolue, somme géométrique de ces vitesses, est donc portée par la tangente PT. Mais alors PT est tangente à la trajectoire absolue (C) du point P, et dès lors la courbe (G) est une courbe fixe à laquelle la courbe G reste tangente; cette courbe (G) est une branche de l'enveloppe de la courbe G.

Nous pouvons ainsi énoncer ce théorème :

Les jpoints où une courhc G, entraînée par Je plan mobile, touùhe son enveloppe, sont les pieds des normales issues du point I (centre instantané) à la courbe C.

Soient x, y les coordonnées du point de contact P; la vitesse rela-

^. , . r. • • dx dy

tive du point l* a pour projections — — > -— ; cette vitesse étant nor-

Cv t ce '

maie à la droite IP, d'après ce qui précède on est en droit de poser,

où A est une fonction auxiliaire.

Lsl vitesse relative du point P a pour valeur

V, = \ V{x — x,Y -A- {y — yj et la vitesse d'entraînement,

v, = iù \/{x — x,f + {y — y,y en sorte que la vitesse absolue a pour expression

Va = (X + w) y{x — x^y 4- {y — y, y .

Soient sur les courbes C et (G), A et A' deux points correspondants, c'est-à-dire les points où les courbes C, (C) sont en contact à une certaine époque. Désignons par s, s' les arcs AP, A'P comptés sur les courbes G et (G), on a

— = V, = k Vix — x,y 4- {y — y, y,

~=v^={oi + K)y{x — x,y + (y — y, y,

d'où résulte

d (s' — s) ds' ds .y- -T -r

Glissemont. La diftërence (s' — s) représente le glissement des courbes C et (C) l'une sur l'autre.

Courbes 47. Le lieu des points de la figure mobile avec lesquels vient suc-

rouleites. cessivement coïncider le centre instantané de rotation est une courbe que je désignerai par I„,. Le point I vient aussi coïncider successivement avec divers points de la figure fixe; soit I,- le lieu de ces points. La courbe I,„ est la trajectoire relative du centre instantané; la courbe I, est sa trajectoire absolue.

Les courbes I„, et I, s'appellent roulettes.

Soit Y la vitesse 'du point! sur sa trajectoire relative; la vitesse

absolue de I est égale à la somme géométrique de la vitesse relative

V et de la vitesse d'entraînement; or, celle-ci est nulle. Donc, la

v'tïesse absolue et la vitesse relative du centre instantané sont

Vilesîc propro constamment égales. Nous donnerons à cette vitesse V le nom de

au cauti-e vitesse propre au centre instantané.

lastantané. r\ • i i i

On tire de l'égalité de la vitesse relative et de la vitesse absolue du

centre instantané une double conclusion :

l» La courbe 1„, reste constamment tangente à la courbe fixe I^.

En effet, la vitesse absolue de I est tangente à I, , sa vitesse relative à I„, ; puisque ces deux vitesses coïncident J,„ et I, ont même tangente au point I ;

2» La courbe I^ est ainsi une brancbe de l'enveloppe de la courbe !„,. Je dis que le glissement est constamment nul.

Reprenons, en effet, les notations précédentes, où I„, est la courbe C, I,- la courbe (C) et I le point P. Soient encore A, A' deux points correspo'ndants sur I,„ et I,- et appelons s, s' les arcs AI, A'I sur les courbes I„, et I,-, la formule

—Jl = w \/{x — xj- -+- {y — y^f ,

nous donne, puisque x = Xq, y = y^, d (s' — s)

ou, puisque s et s' s'annvdent en môme temps quand I vient en A et A',

ipralité roulement

sans lissemjiit.

CIIAP. VI. — MOUVKMENT l/UNE FIGURE PLANE. 1 il

Les arcs AI, A' I sont constamment égaux, et la courbe I„, roule sur la courbe I, sans glisser.

La démonstration employée montre que la courbe I,„ est la seule qui roule sans glissement sur une des branches de son enveloppe. Nous avons trouvé, en effet,

cl (s' — s)

donc si s' — s est nul c'est que x =: x^^, y = y,^, ]c point P est donc le centre instantané, et la courlVo G ne peut être que I,„ et la courbe (G) ne peut èlre que I,-.

De là ce théorème fondamental :

l^out déplacement continu d'une figure plane dans son plan peut être obtenu, et d'une seule manière ^ par le roulement sans glissement d'une courbe \,„ sur une autre I,. Le point de contact des deux roulettes est le centre instantané de rotation.

Nous avons remarqué que si un corps se meut de sorte qu'un de £9S plans glisse sur lui-même, on peut se borner à étudier le glissement d'une figure tracée dans ce plan. Ce glissement résulte du roulement d'une courbe I,,, sur une courbe fixe I,-. Considérons alors les cylindres r„„ r,, dont ces courbes sont les sections droites^ il est clair que le mouvement du corps consistera simplement dans le roulement sans glissement du cylindre F,,, sur le cylindre ly X chaque instant il y aura un mouvement de rotation tangent dont l'axe sera la génératrice de contact des cylindres r„, et F^.

De l'accélération dans une figure plane en mouvement. — Courbures,

48. Lorsqu'une figure plane glisse dans son plan les formules générales relatives à l'accélération subissent de grandes simplifications. Dans ce cas l'axe de la rotation instantanée a une direction invariable normale au plan de la figure. De plus, puisque la figure glisse sur elle-même la quantité 'Ç, est nulle. Nous nous trouvons donc dans le cas examiné à la fin du n" 4G.

Nous allons, du reste^ reprendre les formules générales en y intro-

duisant les hypothèses qui caractérisent le mouvement considéré. Nous supposerons, pour plus de généralité, un point M {x, y) mobile par rapport aux axes mobiles Ox, Oy dans le plan xOy et nous allons chercher les expressions des projections Ja,x) Jo,y de son accélération absolue sur les axes Ox, Oy.

Les formules générales où l'on fait, comme plus haut,

nous donnent

J",.r = Çi — ta y — w'o- — 2w -77 + -— > ,., • at dr

T / 9 ^ dx iP y

J«,!/ = "Il + w X — w"*/ + iio) '7/ + -7—5

dt di-

on a, conformément aux noiations générales

'" =Tt' '^ = di~''''^ ^' = c^t -*" '^^

Choix Une simplification importante très commode pour l'interprétation

particulier ^j^g fy^^uies résulte du choix suivant des axes :

Nous supposons Ox, Oy pris de sorte qu'à l'époque particulière t que nous considérons le point 0 soit le cenfre instantané; Ox la tangente commune aux roulettes dans le sens du mouvement du centre instantané. Alors Oy est la normale commune aux deux loulettes.

D'après cette hypothèse, les coordonnées

du centre instantané sont nulles à l'époque considérée, on a donc à cet instant ^ = r^ = 0, et, par suite, Çj, r^ se réduisent à

des axes.

Cl)

^'~dt' ''''-Tt

d X dij Observons maintenant que -~^ -^ sont les projections sur Oar,

Oy de la vitesse propre au centre instantané; ces projections se

CIIAP. VI, — MOUVEMENT d'uNE FIGUIIE PLANE. 143

réduiront ici (puisque ^ = r, =z 0) à

dt 0) dt oj dt 0)

Or, par hypothèse, cette vitesse a le sens de Ox, en la désignant par V on aura donc

Ainsi on a simplement ;i :== 0, r,^ = — wV et les formules (i) deviennent

IT s I c^ dy d-x ut ut d X cJ^ II Ja,v — — wV — o)^y + w'a; + 2a) 1 -• dt dt^

Signalons que, par suite du choix particulier des axes, les formules relatives aux vitesses se réduisent à

f Va,y = + M.X + —■

\ ' dt

Si dans ces formules on suppose £c, y constants, on obtient la vitesse et l'accélération d'entraînement.

49. Gomme application, cherchons le centre de courbure de la courbe (M) trajectoire d'un point M lié invariablement à la figure.

Pour définir le point M, nous supposerons que sur la droite 0 M on a choisi un sens définissant un axe A ; soit 0 l'angle dont doit tourner Ox dans le sens direct pour venir s'appliquer sur A, et soit r le nombre qui mesure le segment ÔM sur l'axe A. Les quantités r, ô définiront le point M.

Le centre de courbure ;j. de la trajectoire du point M est évidemment sur l'axe A, car cet axe est la normale en M à la courbe (M), 0 étant le centre instantané; il suffit donc de connaître le nombre p qui mesure le segment 0;x sur l'axe A pour déterminer complètement le point [A.

Appelons V la vitesse du point M, la projection de l'accélération de

M sur la normale A sera exprimée par

car p — r est le nombre qui mesure le rayon de courbure M;j, sur

l'axe A 0).

Or, d'un autre côté, la projection de l'accélération sur A a pour

expression

Jf,a. cos 9 + J<,,y sin 0,

on peut donc écrire

=; — (w'a; + w'i/) cos 0 — ((oV 4- or?/ — w'j^') sin 0,

et comme il viendra

On pose

X =i r cos 0, y = r sin 0, v^ = w'r-,

= — (o'r — o)V sin 0.

Fonriulo ct il vient alors de Savarv. il 1

^''^ p-r^/TThTô'

formule célèbre connue sous le nom de formule de Savary. On peut généraliser la formule de Savary.

Coiirbu.e des 50. Considérons une courbe C entraînée par la figure de forme enveloppes, invariable. Soit (C) sa courbe enveloppe, P le point de contact à l'instant considéré.

Il s'agit de trouver le centre de courbure de la courbe (G). Regardons le point P comme un point mobile dont C est la ti'ajectoire relative et (G) la trajectoire absolue.

Menons comme précédemment un axe A par le point 0 et par le point P; cet axe est normal à la fois aux courbes G et (G) ; soit encore

C) Si, sur la normale à la trajectoire d'un point mobile M, on ne s'astreint pas à prendre comme sens positif celui qui va de ^I au centre de courbure, le rayon de Courbure devient susceptible d'un signe. Si R est le nombre qui mesure le rayon de

courbure sur la normale, on voit facilement que — est encore le nombre qui mesure

la projection de l'accélération sur la normale.

CHAP. YI. — MOUVEMENT D'uNE FIGURE PLANE. 145

0 l'angle qui fixe l'orientation de cet axe autour de 0 ; appelons r, la distance OP prise avec son signe; appelons aussi r, p les distances OM, Ojj., où M est le centre de courbure de C, qui est connu, et jj. le centre de courbure de (G), que nous nous proposons de déterminer. En désignant par x, y les coordonnnées du point P de contact nous avons déjà vu qu'on pouvait poser

cix du

On en déduit par difTérentiation, en posant W =z — ,

dt-~ :\Tt~iû)~'' (y-vo),

^ . (dx dxA

dt^ - ''\Jt'"dt)-^ '' ^^' - ^o),

ou encore, en remplaçant — , ^ par leurs expressions, ^ = X« (a, X,) + A ^o - X' {y - yX ^ = - A* {y - y^) - A ~« + X' (X - X,). Introduisons maintenant les hypothèses

—0 — fO — '-'> ^

il viendra

^^«-^' it'-'\lr=o,

dx dy

rfî = -''•'- 37 = '-^'

— rrr-X'^CK-X'?/,

\ dr' = -'>'y + '^'x-\Y.

L'accélération normale du point P sur la courbe G aura cette valeur

/dxV /dyy

\dt) ^ [dt) __ x*rf

Ginémnt'ique.

Vitesse

du point de

contact.

i-|6 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

en la comptant sur l'axo normal A. Mais elle a aussi pour expression

' ' ' — r cos 0 -+- -TT sin 0 — — a' (x cos 0 + î/ sin 6)

— X' (y cos Ô — ce sin Ô) — XVsinO.

On a a; = r^ cos (i, y = r, sin 0, donc il vient

^ = — X-j'i —XV sin 6,

ce qui s'écrit encore

V, V sin 0

Dans celte formule, r, r^, V, 6 sont connus; elle nous donne a, et par suite nous fournit la vitesse relative du point de contact P sur la courbe enveloppée G.

Cherchons maintenant V accélération absolue du point 1'; celte accélération est donnée par les formules générales

, dy d^x

d X tl~ 1/ J«,!/ = — wV — 0)'?/ + oj'a; 4- 2a) — + -rpt'

,. . dx ^ dy ^ , , , d^x d^ u

Remplaçons — par — ly, — par kx et de même -— > — ^ [)ar

Cl V (J/ 1/ \À v (.1/ V

leurs valeurs (5); il vient

,I„ ,^ = — (o\x — lù' y — 2w 'kx — A^x — V y

= — (oj 4- Xfx — (o)' + V)y i„,y = — (oV — hi^y + w'x — 2w>wî/ — a'?/ + X' a; — XV

et l'on aura, pour la vitesse absolue,

dx 'Vn.x =: — toî/ + — = — (w

dy dt

La projection de l'accélération absolue sur l'axe A normal est égale

CIIAP. VI. — MOUVEMENT d'uNE FIGURE PLANE. 147

à" l'accélération normale prise avec son signe sur cet axe, ■ - ,

p — r^ p — Vi .

car p — »«! représente le nombre qui mesure sur l'axe A le rayon de courbure de la courbe enveloppe (G). On aura une seconde expression de la projection de l'accélération totale en projetant sur A les composantes J„,a., 3a, 1/ de cette accélération : .

J„,^ cos 0 + 3a,v sin 0 = — ((0 + 'kf r^ — (co + a) V. sin 0,

en tenant compte des relations •

j'i cos Q,

=z r, sin 0.

11 vient ainsi

Vsin

ou encore

sin 0

Retranchons membre

à membre

les

équations (6)

et (7),

viendra,

1 (.) puisque - = -,

p r k sin 0

Considérons le point M, centre de courbure de la courbe C; la formule que nous venons d'obtenir, rapprochée de la formule (4) nous prouve que le point \). que nous cherchions est le centre de courbure de la trajectoire du point M. De là ce beau théorème :

' Quand une coUrhe G se déplace dans son plan, lé cenU*e de courbure de son enveloppe coïncide avec le centre de courbure de la trajectoire du centre de courbure de la courbe G.

Gétte proposition, comme celles que nous avons déjà obtenues, peut s'établir par la géométrie ; mais la généralité des formules, on ce qui concerne les signes, exige alors certaines précautions qui l'endent la démonstration géométrique rigoureuse moins simple que celle à laquelle nous nous sommes arrêtés. .

La formule de Savary a, comme on vient de le voir, une grande portée puisqu'elle fournit à la fois les centres de courbure des ti'ajec* loires des points et ceux des courbes enveloppes.

Définition Nous allons chercher une interpréta» ion de la quantité k qui figure

géométrique dans cette formule.

^'' Appliquons au mouvement absolu du centre instantané les formules

paramètre A'. i r i

générales qui fournissent l'accélération.

Les formules fondamentales

dy drx

J„,, =: - ,,,'x - w' 7/ 2a) -ji +

dt dt* J„,, = -a>V-co'y+co'a. + 2col| + ^

nous donnent, en faisant x = .r<,, y = i/^,

dj'Q d^y^ Ja,,/ = — wV — (.)' f/o + w a^o + 2(.) — + -^, •

Mais on a

ûn„ = 0,?/o-0, — \, -^-0,

il reste donc

J„.. = ^" ' J.v = - '"'^ + 2co\ + -^ = co\ + — .

La première équation nous montre que l'accélération tangentiellc absolue et l'accélération tangentielle relative du centre instantané sont égales, co que nous savions déjà, car les vitesses absolue et relative

étant l'une et l'autre égales à V, — sera la valeur commune des deux

accélérations tangentielles.

Soient 0^, 0« les centres de courbure des courbes I^et I^ et Ry, R,„ les nombres qui mesurent les segments 00^ et 00„,; R/Ct R,„ sont les rayons de courbure de ly, I„ pris avec leurs signes sur l'axe Oy normal à la fois aux deux courbes et faisant avec O* un angle positif de 90°. La projection de l'accélération totale absolue sur Oy est

la projection de l'accélération relative est

dl^ R...

CHAP. VI. — MOUVEMENT d'uNE FIGURE PLANE.

L'équation 3a,y = wV + '^^-^ nous donnera donc

d'où

formule rigoureuseme^it générale, si l'on tient compte des signes conformément au^ conventions faîtes (^).

51. Il est aisé maintenant de construire la formule de Savary.

Si par rotation d'un angle G, Ox vient s'appliquer sur l'axe A, 0>/ vient en même temps s'appliquer sur un axe OA' rectangulaire avec A. Prenons OA, OA' pour axes de coordonnées et soient

(MOJ

Fig. 46. les équations des droites

M0„., [;,0y rapportées à ces axes. Les coordonnées de 0,„, O^- sont (R„, sin 6, R,„ cos G) (R^sin G, R,cos G), et en exprimant que ces coordonnées vérifient respectivement les équations précédentes, on trouvera

sin G cos G 1 sin G cos G 1

d'où, en retranchant membre à membre,

1 1 fe ~"R

1 /l 1\ . , /l \\ ^ = \ sm G + — cos G.

(') On pourrait être tenté de démontrer cette formule en appliquant aux couibes \,n et I/le théorème relatif aux enveloppes, puisque 1/ est une branche de l'enveloppe de I,„. Mais ce théorème a été déduit des formules (6), (7) qui supposent >■ différent de zéro. On pourrait donc émettre le doute qu'il soit applicable aux couibes I/, I,„. 11 n'en est rien sans doute, et ces couibes ne font pas exception; mais un raisonnement direct était nécessaire pour le démontrer.

Seconde

construction

de la formule

de Savary.

l^SQ I.EÇONS DE CINÉMATiaUE.

En rapprochant de la formule de Savary on voit que u' =;: u.

Aussi les droites M0,„, [j,Oyse coupent en un point H situé isur la perpendiculaire élevée en Q à la droite OM. De là, la construction suivante du centre de courbure de la trajectoire d'un point M lié à la figure mobile :

On joint M au centre instantané 0 et au centre de courbure de la roulette mobile 0„,, on prend le point H de rencontre de MO,,, avec la perpendiculaire en 0 à OM et l'on mène la droite HO,-; cette droite coupe OM au centre do courbure [jl de la trajectoire du point M.

Cette construction fait intervenir les centres 0^, Oy-; mais la formule de Savary ne contient cependant que la fonction

des rayons de courbure des roulettes.

Si l'on modifiait les deux courbes I„„ 1/ de sorte que j conservât

A; à l'instant considéré sa valeur, les centres de courbure des trajectoires resteraient les mêmes, du moins pour l'instant considéré.

Soit sur Oy \e point K dont k est l'ordonnée. Une première hypothèse consiste à supposer que la courbe I„, se réduit à la droite Ox, alors on pourra prendre pour ly le cercle dont K est le centre, comme

le prouve la formule

où l'on fait —-=0. Alors 0„,està

l'infini sur Oy et O^est en K, La construction précédente s'applique. Il faudra joindre le point mobile M à 0,„, c'est-à-dire mener M H parallèle kOy jusqu'au point de rencontre H avec la perpendiculaire en O à OM.

On joint ensuite le point H au f'ig- ^1- point 0/ ou K, et le point de

rencontre j;, <le cette droite HK avec OM est le centre de courbure

cherché.