CHAP. VI. — MOUVEMENT P'UNE FIGURE PLANE
On pourrait, au contraire, supposer que c'est la courbe I^- qui a été réduite à la droite 0.x, alors !,„ sera réductible à un cercle dont le centre sera le point K' symétrique du point K. Dans ce cas 0/ est à l'intini sur Oy, 0,„ est en K' ; pour construire le point [j, joignons le point mobile M au point K', prenons le point de rencontre H de MK' avec
FUj. 48.
la perpendiculaire en 0 à OM et menons H[j. pai-allèle à Oi/, le point [j. où cette parallèle coupe OM est le centre de courbure cherché.
La correspondance des points M, [j. sur la droite A est une homographie; mais c'est une homographie d'espèce particulière, car les deux points doubles propres à toute division homographique sur une droite sont ici confondus et confondus avec le point 0 (}).
(') Pans le plan la transformation qui fait passer du point M au point [x est une transformation hi-rationneUe quadratique. Désignons par x, y les coordonnées de M, par Ç, r, celles de [j., on a
kyw et l'on en déduit, en résolvant en x, y, '^~"~5'+ V — Ar,
fi =
i52 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.
Au point de vue métrique il y a dans toute homographie entre les points d'une droite deux points remarquables, celui qui correspond au point à l'infini de la droite et celui auquel correspond le point à l'infini.
Cercle des inflexions.
Sans de la concavilé.
Centres de
courbure
des enveloppes
de dioites.
52. Cherchons d'abord le point M pour lequel le point [x est à l'infini; la trajectoire du point M ayant son centre de courbure à l'infini, ce point M sera un point d'inflexion sur sa trajectoire.
La troisième construction du point [j. nous prouve que le point [jl sera à l'infini lorsque la parallèle H;x à 0?/ sera elle-même à l'infini; K'H doit donc être paiallôle à A' ou perpendiculaire à A. On voit ainsi que l'angle OMK' doit être droit et le lieu du point M, quand A tourne autour de 0, est le cercle décrit sur OK' comme diamètre. Ce cercle a reçu le nom de cercle des inflexions; il est le lieu des points de la figure qui, à l'instant considéré, sont des points d'inflexion sur leurs trajectoires.
Soit A le point autre que le point 0 où l'axe A coupe le cercle des inflexions; désignons par r^ la valeur correspondante de r\ puisque p = X pour r = i\, on a
'W >V ~ h sin O'
donc pour un couple quelconque de points M, ;j. on peut écrire
p r k sin 6 /•,
ou encore
K* on voit ainsi que les segments
Firj. 49. M;a et MA ont toujours le
même sens; autrement dit, la concavité de la trajectoire d'un
point M est toujours tournée vers le poiiit A où la normale à la
trajectoire coupe le cercle des inflexions.
Cherchons maintenant (juelle est la limite du point \j. lorsque M s'éloigne à l'infini sur l'uxe A. Nous devrons faii-e r = x ; soit c„ la
CIIAP. VI. — MOUVEMENT u'UNE FIGURE PLANE. 153
valeur correspondante, et ^ le point correspondant sur A; on a 11 1
p« k sin 6 r„
ce qui prouve que [3 est le symétrique du point A par rapport au centre instantané 0. Le lieu du point [3 est le cercle symétrique du cercle des inflexions; il est décrit sur OK comme diamètre.
Ce cercle possède une propriété importante qu'on peut énoncer comme il suit :
Le cercle décrit sur OK comme diamètre est le lieu des centres de courbure des eiiveloppes des droites de la figure mobile.
Soit, en effet, D une droite de la figure mobile et (D) son enveloppe.
Menons un axe A par le point 0 normalement à D; le point P où A coupe la droite D est le point de contact de la droite D avec son enveloppe (D).
Or, pour avoir le centre de courbure \>. de cette courbe enveloppe, il faudra chercber le centre de courbure de la trajectoire du centre de courbure de D; comme ce dernier est à l'infini sur A, il faut en conclure que le point [j. cherché est le point ^ qui correspond à l'infini sur la droite A. Le théorème est donc démontré.
On reconnaît que le même point ^ correspond à toutes les enveloppes des droites parallèles à la droite D et qui font partie de \a figure mobile. Cela n'est pas surprenant, car il est évident que deux droites parallèles qui restent à une distance invariable l'une de l'autre ne peuvent qu'envelopper des courbes parallèles. Cerc'e Considérons en particulier celle des parallèles à la droite D qui
es Fiibrousse- passe par le point ^, appelons D' cette parallèle. Le point ^ est tout à la fois le point où D' touche son enveloppe (D') et le centre de courbure de (D'); c'est dire que la courbe enveloppe (D') a un point de rebroussement au point ,8.
On ne manquera pas d'observer que la droite D' passe au point K; on a donc ce théorème :
Les droites de la figure qui, à Vinstant considéré, touchent leur enveloppe en un point de rebroussement concourent toutes au point K, et le lieu des points de rebroussement relatifs à ces diverses droites est le cercle décrit sur OK comme diamètre.
Pour, ce motif on donne à ce cerc'e le nom de cercle des rehroussements.
Étude 53. Comme application des méthodes que ncus avons suivies
des tiajectoires jusqu'ici, je vais montrer comment on peut étudier les trajectoires voisinage ^^^ points de la figure mobile dans le voisinage d'une position partidun point. culière.
Nous avons défini au n» 21 les accélérations d'ordre supérieur. Les formules de Bour peuvent être étendues au cas des accélérations d'ordre quelconque.
Soient, en efTet, J„ ,., ia,yy ia,z les projections sur les axes mobiles de l'accélération absolue du premier ordre. Menons par un point fixe {x^, 1/j, z^ un segment équipollent à l'accélération du premier ordre; soit U l'extrémité de ce segment. La vitesse absolue du point IJ est l'accélération du second ordre. En appliquant les formules générales relatives aux vitesses et tenant compte de la fixité du point ■''n Vi^ ^ii Oïl trouvera, par le même procédé qui a donné les équations de Bour, les projections de l'accélération du second ordre :
dt dt
d Ja, z dt
On pourrait généraliser et étendre aux accélérations des autres ordres.
Montrons comment on peut ainsi parvenir à une première étude des points de rebroussement dans les trajectoires. On aura ici, en s'en tenant à l'accélération d'entraînement,
"e,x W Jf,j/ +
Jf,!/ + (t) ^e,x ~H
et «e, X
dt
Or, on a trouvé avant toute simplification due au choix des axes ... Je,x = ç' — wr, — 0)' y — G)' ce,
J^,, rr: r/ + (0 H -h MX — t.)^ ?/,
CHAP. VI. — MOUVEMENT d'uNE FIGURE PLANE. 155
d'où se déduisent sans peine pour Jf,x, Je,-/ les valeurs :. ... .. . . .
J,'^ = 1" — 2c.)Tr)' — co'r, -r- G)'^ — 3(1)0) '£c — (lo' — («>')y, ' j;,, = -q" + 2w;' + a)'ç ^ w'y) ^ 3ww'i/ 4- (w" — {ù^)x.
Introduisons ici l'hypothèse que l'origine est le centre instantané et Orc la tangente aux courbes I„„ I, ; on a vu que
Il vient alors
Jg 3. = — (,)' y — lù^x, Je, y =^ 'I]' + m' X — w'î/j
j;', - (f - 2a)Y]') - ^wo)'.^ - (o)" - 0)^) y,
j;, =: t; — 3(0 0)' y + {m" — tù')x. " " ■
Rapportons les courbes trajectoires à des axes fixes qui, à l'instant considéré, coïncident avec les axes mobiles Ox, Oy. On aura, en appelant X, Y les coordonnées du point M au bout du temps t,
Xr=Xo + x;t+x:^-4-X2'^' + xt* + ...^ ■
Or, on a
Yo = y, X ~ — <^y,
Yq = lôx,
Xp =: J,,,^.,
Y" — T yw T'
il vient donc
o)y.t + J,,^- + j;^- + Xt*
Y rrr (y + WCC.t 4- Je,« 7L + Je,» t: + [Jtf 4- '•'2 b
Posons alors
Y^ = -y{X-x) + xiY- ?/), il viendra
Y, =Gi + D^ + E^' + ;/<* + ...
OÙ l'on aura
A = X 3,,^ + y 3,,y=:r/ . y — là* (x* -\- y^) = — hiY .y — tù\x* -h i/),
h =xi^,^+ y i^y ={ç,'' — ^iùri')x + t' y — diùiù' {x* + y^),
C = — yVe,^ + xVe,y = i>i(x* + y*),
D = — </ J<,,x + X Je,y = w' (x* + y*) + rî' a;,
E = — yi'e,,-hxr,,y = — {^' — 2iàr/)y + rjx + (w" — o)»)(x« + y').
Les quantités A, B, G, D, E n'étant pas nulles en général, on voit que les courbes seront tanj^entes chacune respectivement à la droite X, = 0. Si A := 0, on voit que la tangente Xj =: 0 a avec la trajectoire du point M un contact du second ordre; et en effet le point M (x, y) est alors sur le cercle des inflexions.
Si l'on suppose le point M pris justement au centre instantané, on trouve j
et l'on voit que, dans ce cas, le point M est un rebroussement de première espèce sur sa courbe trajectoire; Oy est la tangente de rebroussement, et, par rapport à Ox, la courbe est du même côté que le 'point K' , car le terme principal de Y est
Cherchons dans quelles conditions d'autres points de rebroussement pourront exister pour les trajectoires.
Il faudra "que G puisse s'annuler pour d'autres points que le centre
instantané, donc w = 0. Cette condition, jointe à celles de ^ =: 0,
Y] = 0, que l'on suppose déjà, exprime que la vitesse d'entraînement
est nulle dans toute la figure à l'instant considéré. La figure passe
par une position stationnaire, ~ est nul et les roulettes ont à cet
instant un contact du second ordre, car Ry = R,,,. Les équations du centre instantané
mXq + yj = 0, wj/o — * = Oj différentiées deux fois, donnent
lù'x^, + 2 ui' xl -f u)xl + r' = 0, (.)" //(, H- 2(j' >jl + (o */„ — "-" =0.
CHAP. VI. — MOUVEMENT d'uNE FIGURE PLANE. 157
Or, ici on a. q = -q =1 x^ = y^ =: yl, = 0, x'^ =. V, il en résulte (puisque w = 0)
On trouve alors
A = 0, B = — 2w' V. y, C :r= 0, D = w' (ce' + î/'), E = — 2w'V.a; + w' (as* + ?/), d'où
Dans ce cas, tous les points de la figure sont des points de rebroussement de première espèce sur leurs trajectoires. Mais si l'on suppose le point mobile pris sur la tangente 0.x aux courbes I,„, I^le terme en t' disparaît de X^, car y = 0, et l'on constate alors que la courbe présente un rebroussement de seconde espèce.
Voyons ce que donne le point qui coïncide avec le centre instantané dans ce cas. Les formules (0) où l'on fait w = 0, ^" = 0, ç' = Y)' = 0 se réduisent à
où X n'est pas nul ; on constate qu'il n*y a plus de rebroussement pour ce point.
Si d'autres singularités se présentaient, la méthode précédente s'y appliquerait encore avec facilité.
54. Dans certains cas on se donne un point et sa trajectoire ou une courbe G et son enveloppe. Le centre instantané une fois trouvé, la détermination des courbures dépend seulement de la connaissance soit du point K soit du point K' .
Le théorème suivant permet, dans plusieurs cas, d'arriver aisément à construire le point K' :
Théorème. — Le point K' a même puissance par rapport au cercle qui a pour centre un point M de la figura et qui passe au
centre instantané, et par rapport au cercle décrit sur le rayon de courbure M;;, comme diamètre.
En effet, le cercle de centre M, qui passe au point 0, a pour équation, X, y étant les coordonnées de M, .
La puissance du point K' (0, — ' k) est donc égale à
k^ + 2ky.
Appelons ç, r, les coordonnées du point ;j., l'équation du cercle décrit sur M ;j, comme diamètre sera
X' + Y'-{q + x)X-(n+ y) Y +^çx + vj = 0;
la puissance du point K' par rapport à ce cercle est donc
Or, on a
x~ y~ r et
p r k sin 0 ' en se souvenant que x = r cos h, y = r sin 0, on en tire {^)
kxy /c?/
'— ;' fi
^.î 4 if + ky x^ + y^ + ky
11 en résulte ,
,.*•'■ fe^ + (r, +• y) k + ^x + r,y • •
7i. . 2fe?y(.cV+y* + fe?/)
• • • • =zk^ + 2ky^ ■ ■
ce qui démontre le théorème.
Contre des 55. Nous avons trouvé pour expressions réduites des projeCtîohs
accélérations, de l'accélération d'entraînement :
J^. = — w^a; — w'iy, Jy = — w*y + u)' x — wV.
(') Page 151, note.
CHAP. VI. — MOUVEMENT D'UNE FIGURE PLANE. do9
Si l'on cherche le centre des accélérations, c*est-à-dire le point dont l'accélération totale est nulle, on trouve
^"f*^!/=f)j — ^^ + -^ X ~ k =iO.
M Cl)"
La quantité k ne dépend que des éléments géométriques du mouvement, des rayons de courbure des courbes I/, I,„ et nullement de la rapidité avec laquelle on fait rouler ces courbes l'une sur l'autre; tout ce qui concerne les courbures des trajectoires est indépendant de la loi du mouvement, mais il n'en est plus de même du centre des
accélérations, il dépend de — ^ ? qui varie selon la rapidité du roule-
ment de I„, sur I,.
eu du centre Le centre des accélérations est toujours sur le cercle des inflexions. ^''^s Ce cercle est, en efTet, le lieu des points pour lesquels le centre de
ccsilératioiis , , , . . ,,,.„. , ...
landlaloidu courbure de la trajectoire est a linlmi; or, dans ces conditions, enips varie, l'accélération normale est nulle. Le cercle des inflexions est donc le lieu des points dont l'accélération normale est nulle. Pour le centre des accélérations, l'accélération totale est nulle; il en est donc de même de l'accélération normale, et, par suite, le centre des accélérations est sur le cercle des inflexions. Or, ce cercle est indépendant de
— ) c'est-à-dire de la loi du mouvement, donc si Von fait varier la
loi du mouvement^ le cercle des inflexions est le lieu du centre des accélérations.
C'est ce que l'on constate encore en éliminant —2 entre les équations
■ précédentes ; on trouve ainsi
oc« + 1/ + ky = 0.
lieu des points Oii vidnt de voir que le cercle des inflexions est le lieu des points
dont dont l'accélération normale est nulle; on trouvera facilement que le
'accélération ,
ingentielle est ^^"^^'^^ ,
n""<^- — (cc« + y') — k.c = 0
est le lieu des points dont l'accélération tangentielle est nulle.
Ce cercle passe au centre instantané et coupe à angle droit le cercld des inflexions; il dépend de la loi du temps. Le point autre que le
centre instantané où il coupe le cercle des inflexions est précisément le centre des accélérations (*).
Le lecteur prouvera de même que le lieu des points dont l'accélération totale a une valeur donnée est un cercle concentrique au centre des accélérations.
Notons enfin que si l'on transporte l'origine au centre des accélérations, les formules deviennent
J^ = — (0* X G)' i/, Jj, = w'y + w' 3C,
en sorte que :
Au point de vue des accélérations tout se passe comme si la figure plane tournait d'une façon contiyiue autour du centre des accélérations, avec la vitesse angidaire variable lo.
(1) Il est bon de faire remarquer que si la vitesse angulaire est constante, le lieu des points dont l'accélération tangentielle est nulle se réduit à l'axe Oy. LejioiniK' se trouve alors être le centre des accélérations.
