CHAPITRE VII

Exemples et développements sur le mouvement d une figure plane.

56. Pour définir le mouvement d'une figure plane dans son plan on peut se donner les deux courbes If, l„ qui roulent l'une sur l'autre sans glissement ainsi que la vilesse propre au centre instantané, ou, ce qui revient au même, la vitesse angulaire oj.

Le cas le plus célèbre est celui du mouvement cycloïdal dans lequel un cercle roule sans glisser sur une droite donnée.

Un point quelconque de la circonférence de ce cercle décrit alors

une cycloïde. Le centre instantané 0 est le point de contact actuel de la droite et du cercle, et OM est la normale à la cycloïde engendrée par le point M. Ici R^est infini, et R,„ est égal au rayon a du cercle roulant; en sorte que le point K' est le centre 0,„ de ce cercle.

^' Le cercle décrit sur

00,„ comme diamètre est le cercle des inflexions.

Pour avoir le centre de courbure ;j, de la cycloïde il est naturel Cinématique. 11

d'appliquer la troisième construction de la formule de Savary. Le point H où M0,„ vient couper la normale en 0 au rayon vecteur OM est évidemment le point diamétralement opposé à M dans le cercle roulant. Ainsi, H est lié au cercle C comme le point M lui-même et décrit comme lui une cycloïde.

Maintenant, pour construire le point [x il suffit de mener H[j, parallèle à 0„,0 et de prendre l'intersection avec MO. Comme 0,„ est le milieu de M H, 0 est le milieu de Mij, et l'on voit ainsi que u. est symétrique de M par rapport au centre instantané 0.

En outre, Hjj. est le double de 0,„0 et est égal au diamètre OOi du cercle roulant. Le lieu du point [x résulte donc de celui du point H par une simple translation égale et parallèle à OiO. Si G' est le cercle symétrique de G par rapport au point 0, le point [j, est lié invariablement à ce cercle qui roule sur la droite O'BJ parallèle à AB. Le lieu du point \j. est une cycloïde superposable à la première. La cycloïde se trouve ainsi être une solution de ce problème général traité par M. Puiseux : trouver une courbe superposable à sa développée. Cycloïdes Si l'on prend le point décrivant M à l'intérieur du cercle roulant G,

raccourcies et la trajectoire n'est plus

une cycloïde propre- ~ ment dite, mais bien ^^^- ^^- une cycloïde raccour-

cie, courbe qui n'a pas de rebroussemenfs, mais qui possède des j)oints d'inflexion et qui serpente entre deux droites parallèles en se reproduisant périodiquement comme la cycloïde.

Si le point décrivant est, au contraire, extérieur au cercle, on

obtient une cycloïde allon-

^ ^<Ç ^C^ ^^ gée. Cette courbe, qui se

' ■ "*" reproduit périodiquement,

^^3- <J^- est dépourvue de rebrousse-

menls et d'inflexions; mais elle forme une suite de boucles comprises entre deux droites parallèles et ces boucles donnent lieu à des points doubles.

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer le théorème suivant :

Si un cercle C roule sur une droite A d'tin mouvement uniforme

allongées.

et si A glisse sur elle-même, en même temps, d'un mouvement uniforme, un point de la circonférence du cercle G décrit une cycloïde raccourcie si A glisse dans le sens où roule le cercle, et une cycloïde allongée dans le cas contraire.

57. Au lieu de faire rouler un cercle sur une droite, faisons rouler une droite A sur un cercle C, nous aurons le mouvement inverse du mouvement cycloïdal; un point quelconque de la droite A décrit alors une développante de cercle. Par contre, un point quelconque lié invariablement à la droite A décrira la courbe que Ton obtient en portant une longueur constante à partir du point de contact sur la tangente à une développante du cercle.

Ces courbes : développante du cercle, cycloïde et cycloïdes allongées ou raccourcies, sont comprises dans une famille générale de courbes, à savoir celles que l'on obtient dans le mouvement épicycloïda^ général.

Le mouvement épicycloïdal général se réalise en faisant rouler sans glissement un cercle sur un autre; appelons C^, Gy ces deux cercles. Si G^ et G„, deviennent séparément des droites, on obtient les deux mouvements précédents.

Les mouvements épicycloïdaux se distinguent les uns des autres par la position relative des deux cercles roulants.

Si les deux cercles roulants se touchent extérieurement, on a le mouvement épicycloïdal proprement dit.

S'ils se touchent intérieurement, on a le mouvement hypocycloïdal.

Quelques auteurs appellent aussi mouvement épicycloïdal extérieur celui que nous appelons épicycloïdal, et mouvement épicycloïdal intérieur le mouvement hypocycloïdal.

On appelle épicycloïdes les courbes décrites par les points de la circonférence du cercle roulant dans le cas du mouvement épicycloïdal. Les points intérieurs au cercle roulant décrivent des épicycloïdes raccourcies et les points extérieurs des épicycloïdes allongées.

On appelle hypocycloïdes les courbes décrites par les points de la circonférence du cercle roulant dans le cas du mouvement hypocycloïdal; les points intérieurs au cercle roulant décrivent des hypocycloïdes raccourcies et les points extérieurs décrivent des hypocycloïdes allongées.

reliroussements.

Les épi- et hypocycloïdes, les épi- et hypocycloïdes allongées ou raccourcies sont généralement des courbes périodiques non fermées et transcendantes; mais si le rapport des rayons des circonférences fixe et mobile est un nombre commensurable, ces courbes deviennent algébriques et fermées.

Quelques cas particuliers sont célèbres.

Signalons tout d'abord deux cas remarquables du mouvement

hypocycloïdal : ceux où le cercle intérieur roulant a un rayon égal à

la moitié ou au tiers du rayon du cercle fixe.

Ilypocycloïde Si le cercle roulant C,„ a pour rayon le tiers du cercle fixe, un point

à trois jjg lJ^ circonférence du cercle G„, décrit une courbe algébrique célèbre

du quatrième ordre et de la troisième classe, l'hypocycloïde à trois

points de rebroussement. Les rebrousse-

ments se produisent, conformément à ce

que nous savons, chaque fois que le centre

instantané vient en coïncidence avec le point

décrivant.

L'iiypocycloïde à trois points de rebrous-

'^^ .-,'■>' / sèment possède de nombreuses propriétés

~~ ''' métriques; en outre toute courbe du qua-

Tig. 53. trième ordre à trois rebroussements est la

perspective conique d'une hypocycloïde à trois rebroussements. Ellipsograplie. Lorsque le cercle intérieur roulant a un rayon moitié de celui

du cercle fixe, un point quelconque

de la circonférence du cercle roulant

engendre un diamètre du cercle fixe.

En effet, 0 étant le centre instantané,

OM est la normale à la trajectoire du

point M; donc MOy est la tangente à

celte trajectoire; elle passe par un point

fixe Oy, ce qui prouve qu'elle se réduit

à une droite MO,- issue de ce point. On

pourrait encore faire observer que le

^''f- ^^*- point A où MO,- coupe le cercle fixe est

fixe, en remarquant que les arcs OA et OM des cercles fixe et

mobile sont égaux et que A est le point où vient le point M sur

le cercle fixe quand il devient centre instantané.

Deux points diamétralement opposés de la circonférence du cercle

mobile décrivent évidemment deux diamètres rectangulaires du cercle

fixe.

Prenons actuellement un point P quelconque dans la figure mobile, joignons P au centre 0,„ du cercle mobile et soient M, M' les points

où la droite 0,„P coupe le cercle mobile. Les points M, M' vont décrire deux droites rectangulaires, en sorte que nous sommes conduits au lieu suivant : Un segment MM'

-p- M ^ — glisse sur deux droites rcctangu-

Ylg 55, laires, trouver le lieu décrit par

un point P pris sur ce segment ou sur son prolongement. Ce lieu est une ellipse. Soit, en effet,

M'P = a, VU=h, M'PP' = a.

Appelons x, y les coordonnées de P, on a (dans les triangles M' PP' etMPP')

X = a cos a, y = h s'm et;

on reconnaît en même temps que a est l'angle excentrique du

point P.

Il n'est pas nécessaire que Ox, Og soient rectangulaires, car au

lieu.de mener par P un diamètre du cercle mobile on aurait pu

mener une corde arbitraire, PMM' dont les extrémités MM'

auraient décrit deux diamètres non rectangulaires du cercle fixe.

On a construit d'après ces remarques un appareil destiné à décrire

Q l'ellipse et appelé ellipsographe ou

compas elliptique.

Il est assurément très digne d'intérêt qu'une des trois sections coniques, l'ellipse, fasse partie de la famille des hypocycloïdes.

Considérons le mouvement inverse du précédent, c'est-à-dire faisons rouler un cercle sur un cercle intérieur fixe de rirj, 56. rayon moitié. Tout diamètre A0„, du

cercle mobile va couper le cercle fixe en un point fixe A, cela résulte du raisonnement inverse de celui qui a été fait plus baut. Le lieu

d'un point P sera donc une conchoïde du cercle fixe relative au point fixe A où P0„, coupe ce cercle.

Podaires de Parmi les courbes remarquables auxquelles donne lieu le moucercle, vement épicycloïdal on doit citer les podaires de cercles.

On obtient ces courbes en faisant rouler extérieurement sur un cercle G ' un cercle égal G; tout point lié au cercle G engendre une podaire de cercle.

Description 58. Ce résultat peut être généralisé. Gonsidérons, en effet, deux

générale courbes G, G' tangentes en un point et symétriques l'une de l'autre des poiaires. .^ . i , - • .

par rapport a la tangente en ce pomt.

Si l'on fait rouler sans glisser G sur G', il est visible que, à chaque instant, la courbe G est la symétrique de la courbe G' par rapport à la tangente A en leur point de contact; de là résulte que toute figure F entraînée par la courbe C est à tout instant la symétrique par rapport à la tangente A d'une figure fixe F' liée à la courbe fixe G'.

En particulier, un point M lié à la courbe G sera à chaque instant symétrique par rapport à la tangente A à la courbe G' d'un point fixe M'. Donc, les trajectoires des points liés à la courbe G sont les lieux des symétriques des divers points M' du plan fixe par rapport aux tangentes de la courbe G' . Or, il est visible que ce lieu est la podaire par rapport au point M' de la courbe G' transformée homothétiquement dans le rapport 2, M' étant le pôle d'homothétie. Généraiion Considérons une courbe T liée à la courbe G et entraînée par elle;

des caustiques, jj^ courbe F est la symétrique d'une courbe fixe F', par rapport à la tangente A, à la courbe G', au centre instantané 0,

Abaissons de ce centre O la normale OM sur la courbe F; le pied M de cette normale est un point où la courbe F touche son enveloppe. Or, le cercle qui a pour centre le point 0 et qui passe en M sera tangent à F; il sera aussi tangent à la courbe F' au point M' symétrique de M par rapport à A. L'enveloppe de la courbe F peut donc se définir comme branche de l'enveloppe des cercles dont le centre décHt la courbe G' et qui sont tangents à la courbe F'.

Si la courbe F se réduit à un cercle, son enveloppe est une développante de la caustique par réflexion sur la courbe G' du contre du cercle qui constitue alors la courbe F'.

A l'occasion des systèmes articulés nous aurons à examiner un cas

particulier des mouvements précédents, celui du roulement d'une conique sur une conique symétrique.

59. Dans tous les exemples qui précèdent nous avons pris pour point de départ les courbes roulantes fixe et mobile. On peut varier à l'infini les données du mouvement.

Nous en donnerons quelques exemples.

Si l'on se donne les trajectoires (M), (N) de deux points M, N, les normales en M, N à ces courbes fournissent par leur rencontre le centre instantané de rotation 0. On peut en déduire souvent une définition géométrique simple des courbes roulantes I/, I,„. Mais il importe cependant d'avoir un procédé uniforme et régulier qui permette, dans tous les cas, de construire les éléments du second ordre. Pour cela, il suffit évidemment de connaître le point que nous avons appelé K'. Or, nous avons établi au sujet de ce point un théorème d'après lequel il a môme puissance par rapport au cercle de centre M qui passe au point 0, et par rapport au cercle décrit sur le rayon de courbure Mîj, de (M) comme diamètre. Le point K' est donc sur l'axe radical de ces cercles; il est aussi sur l'axe radical des cercles analogues relatifs au point N; le point K' se trouve ainsi déterminé. Alors OK' est la normale commune aux deux courbes roulantes, et de plus K' étant connu, on pourra appliquer la troisième construction de la formule de Savary pour trouver le centre de courbure de la trajectoire d'un point quelconque de la figure.

Le lecteur appliquera sans peine cette construction au cas d'un segment MN glissant sur deux droites ou bien sur deux cercles.

Il peut arriver aussi que l'on se donne l'enveloppe d'une courbe et la trajectoire d'un point.

La normale à l'enveloppée, en son point de contact avec l'enveloppe, et la normale à la trajectoire du point se coupent au centre instantané qui est ainsi déterminé.

Quant au point K', le point mobile nous fournira une droite, axe radical de deux cercles, sur laquelle le point K' doit se trouver. En second lieu le centre de courbure de l'enveloppe étant le centre de courbure de la trajectoire du centre de courbure de l'enveloppée, on se trouvera ramené au cas où l'or) se donnerait la trajectoire d'un second point de la figure. ~

De même si l'on se donnait les enveloppes de deux courbes de la figure. Les centres de courbure des deux enveloppes seraient les centres de courbure des trajectoires des centres de courbure des enveloppées ; on serait donc ramené au cas où l'on se donne les trajectoires de deux points.

Exemples. — 1° Étant donnés dans un plan fixe P' un cercle fixe C de centre 0 et un point fixe A sw la circonférence de cercle, on considère un plan P glissant sur P', de sorte qu'une droite D de ce plan passe constamment au point A, tandis qu'u7i point M de la droite D décrit le cercle G'. Trouver dans ce mouvement les deux courbes roulantes. (Licence, Paris 1883.)

Le centre instantané est le point I diamétralement opposé au

point M dans le cercle G'. En efTet, MOI est la normale à la trajectoire du point M, AI est la normale à l'enveloppe de la droite MA (ou D) cette enveloppe étant considérée comme un cercle de rayon infiniment petit de centre A).

La courbe I,est donc le cercle G'

lui-même.

Si l'on observe maintenant que,

Fig. 57. dans la figure mobile, le point I est

à la distance constante MI = SPi (R rayon du cercle G') du point M,

on voit que la courbe I„, n'est autre que le cercle de rayon 2R qui a

M pour centre.

Nous avons déjà vu plus haut que, dans ce mouvement, tout point du plan P décrit une conclioïde de cercle. On trouvera alors aisément,

soit par application de la formule — = -> soit par application

des constructions précédentes que K' est le symétrique de M par rapport au point I.

Le centre des accélérations sera fourni par les formules

^ + — s y = 0> — y -{- -^x — k=zO. Supposons par exemple que M déci-ive le cercle C d'un mouvement

uniforme. La vitesse de M est, puisque I est le centre instantané,

SRw;

si elle est constante, w est constant, co' est nul et les formules donnent

en sorte que le point K' est justement le centre des accélérations.

2° Un segment de droite AB de longueur invariable se meut en restant tangent à un cercle fixe C tandis que son extrémité A décrit une tangente fixe T de ce cercle. Trouver les courbes roulantes, etc. (Besançon, 1884.)

Soit M le point où AB touche le cercle, le centre instantané I est sur la normale OM; il est aussi sur la normale AI en A à la droite ï

Fig. 58.

que décrit le point A. Cela posé, on remarque que le triangle 01 A est isocèle; en effet,

angle I AO r= ^ — angle 0 AT = ^ — angle OAM.

Or, l'angle MO A a évidemment cette même valeur. Donc 10 =r lA. Dans le plan fixe le lieu de I est donc une parabole dont 0 est le foyer et T la directrice.

'^^^ OF THI?

[USIVBRSITTl

Menons par 0 la droife OD parallèle à AB et regardons OD comme une droite liée invariablement à la figure mobile, la relation 10 =: lA prouve que le lieu du point I dans la figure mobile est une parabole dont A est le foyer et OD la directrice; ces paraboles sont égales, car la distance de A à OD est égale à la distance de 0 à T. Quand AB vient s'appliquer sur la tangente T, les deux paraboles sont tangentes en leurs sommets, nous avons donc un mouvement dans lequel une parabole roule sans glisser sur une parabole égale en lui restant symétrique par rapport à la tangente commune.

Tous les points de la figure décrivent alors des podaires de parabole.

La droite T, lieu du point A, est, en particulier, la podaire du foyer, c'est-à-dire la tangente au sommet d'une parabole de paramètre double de celui des paraboles roulantes.

Le point K' est ici très facile à construire. Quand deux courbes symétriques roulent l'une sur l'autre, on a

R„. r= R^, et par suite

d'où k = - l\f. Donc K est le milieu du rayon de courbure de ly et

K' le milieu du rayon de courbure de I„.

Or, dans la parabole, le milieu du rayon de courbure est le symétrique, par rapport au point de la courbe, du point où la normale coupe la directrice. Il en résulte ici que K' est le point de rencontre de la droite T avec la normale en I aux roulettes, c'est-à-dire avec la parallèle menée par le point I à la droite OA.

60. Dans d'autres cas, au lieu de se donner les roulettes et les trajectoires ou enveloppes de points ou courbes de la figure, on peut se donner des conditions conduisant à des équations différentielles.

Tel est le problème suivant :

.30 Quelle courbe faut-il faire rouler sur une droite pour qu'un point M de la figure décrive une circonférence de cercle? (Paris, 1893.)

Soient C le centre du cercle et A, B les points où le cercle est coupé

par la droite donnée. Abaissons de G la perpendiculaire sur AB; appelons D son pied et soit E l'extrémité du rayon CD. Quand le point mobile vient de la position E à la position M, qu'il occupe à un instant donné, le segment ED, supposé entraîné dans le mouvement, vient occuper une position MN, et la droite MN coupe le rayon CE en un poiflt H. L'angle MHE est l'angle dont a tourné le segment ED pour venir en MN.

Appelons I le point où, lorsque le point mobile est en M, la roulette mobile touche la droite fixe AB; le point I est le point de rencontre de AB avec la normale CM à la trajectoire du point M. Rapportons la roulette mobile à des coordonnées polaires dont les éléments de référence seront, naturellement, liés à la figure mobile; ainsi MN sera l'axe polaire et M le pôle des coordonnées; MI = )• sera leVayon vecteur, et 0 = NMI sera l'angle polaire. L'angle AIG est celui de la tangente à la courbe avec le rayon vecteur, donc

tang AIG = -— =r — tang GID = — cotgICD. " dr " ®

Or, en appelant h la distance G D et a la distance G M, on a

lC = a — r, d'où

br=GD = IG. cosICD = (a — r)cosIGD.

On en tire

cotff fCD

d'où, enfin,

rdO h

dr y^ci — r)' — 6«

quadrature facile à effectuer.

Si b <; «, c'est-à-dire si la droite coupe le cercle, r devient nul quand M vient en A ou en B; mais 6 devient alors infini. On constate que la courbe roulante se compose de deux branches symétriques par rapport k la droite MN et asymptotes au point M. Quand l'une des branches se déroule sur DA, le point M décrit l'arc EA du cercle; mais M ne peut arriver en A qu'après une infinité de révolutions de la courbe roulante. La branche symétrique, en se déroulant sur DB, permet de décrire dans les mêmes conditions l'arc EB du cei'cle.

On discutera sans peine le cas où l'arc de cercle décrit est plus grand qu'une demi-circonférence et celui où la droite ne coupe pas le cercle.

Le centre instantané s'éloigne à l'infini quand le point M vient aux extrémités du diamètre parallèle à la droite donnée.

4° Deux courbes C, C sont symétriques par rapport à une droite A perpendiculaire à une de leurs tangentes communes, T. On fait roider sajis glisser G et C sur la droite T, de sorte qu'elles demeurent symétriques par rapport à A. On demande de trouver les courbes roulantes dans le mouvement relatif de G par rap~ port à C . (Paris, i893.)

Le mouvement de G par rapport à G' résulte du mouvement de G par rapport à la droite T et du roulement sans glissement de T sur G'. Ge dernier mouvement constitue le mouvement inverse du mouvement de G' par rapport à T. La vitesse d'un point P entraîné par la courbe G sera donc la dilTérence géométrique entre sa vitesse dans le roulement de G sur T et la vitesse qu'il aurait dans le roulement de G' sur T, s'il était lié à G' .

Le centre instantané cherché doit avoir une vitesse nulle dans le mouvement de G par rapport à G' ; donc il doit avoir la même vitesse dans le roulement de G sur T et de G' sur T. On en peut conclure qu'il est à chaque instant au point de rencontre de l'axe de symétrie A avec la tangente T. Les courbes roulantes sont donc deux développantes des courbes G, G' , développantes qui sont tangentes au point I à la droite A et toujours symétriques par rapport à cette tangente commune. Nous reproduisons donc un mouvement qui nous est bien connu. Les points où G', G touchent la droite T sont justement les centres de courbure des roulantes I^et I,„.

5° Traitons encore le problème suivant :

Une droite OD tourne dans un plan et avec une vitesse angulaire existante w autour d'un de ses points 0 supposé fixe. Un cercle C roule en même temps sans glisser sur la droite OD avec une vitesse angulaire constajite Wj. Ce cercle entraine une figure plane qui glisse sur le plan fixe. On demande de trouver les deux courbes fixe et mobile, qui roident l'une sur Vautre sans glisser. (Paris, 1894.)

Appelons P le point où le cercle G touche la droite OD à l'époque t, et supposons qu'à l'époque initiale le point P soit au point 0, ce qui

revient à choisir l'origine du temps; désignons par a le rayon du cercle. La vitesse du point P sur le cercle est égale à awi; cette vites^ est aussi celle du point P sur la droite OD, car elle représente la vitesse propre au centre instantané P dans le mouvement relatif du cercle sur la droite OD ; nous aurons donc

Le centre instantané qui correspond au mouvement absolu de la figure plane doit être tel que sa vitesse d'entraînement dans le mouvement de la droite OD et sa vitesse relative dans le roulement du cercle C sur OD soient égales et opposées. Donc le point I doit être d'abord sur la droite OP, qui joint les deux centres de rotation. Si G) et (Oj sont de mêmes signes, il faudra prendre I sur le segment OP, de sorte que

ce qui donnera