OI.W = IP.G
01^— ^^^^-OP:^ ""''' t.
Soit 0 l'angle que fait OD avec sa position initiale, on a
0 = cof,
donc
ce qui est l'équation en coordonnées polaires de la courbe fixe lieu du centre instantané; ce lieu est une spirale d'Archimède.
Soit, sur le cercle C, A le point qui est on contact avec le point 0 à l'instant initial. Je prends pour axes liés à la figure mobile 0,Aqni joint au point A le centre 0^ du cercle mobile et un axe 0^y^ perpendiculaire. L'angle AO^P est égal à ô^ = Wi*, et le segment PI, tangent au cercle en P, a pour longueur
M^ 0) 4- cOj 0) -H Wj
Les coordonnées du point I sont donc
au) . . ^
œ, = a cos 0, H 0, sin 0,*
^ ^ co -f- COi
aoi ^ .
y^=^ a sin 0, Oj cos 6^.
Ces équations définissent la courbe lieu du centre instantané dans la figure mobile.
Si les rotations étaient de sens contraire, le point I, au lieu d'être entre P et 0, serait hors du segment OP. Les résultats précédents subsisteraient avec une modification insignifiante. Il n'y aurait d'exception que si w et ^,)^ étaient égales et de signes contraires. Pour avoir la vitesse absolue d'un point de la figure nous aurons alors à composer deux rotations formant un couple. Tous les points de la figure ont à chaque instant même vitesse et le mouvement consiste en une translation continue. Il est du reste aisé de voir que la vitesse de tout point de la figure est dans ce cas perpendiculaire à la droite OD et égale au produit OP X w. 11 suffit, pour s'en rendre compte, de chercher la vitesse d'entraînement du point P. Tous les points de la figure décrivant des courbes égales, il suffit do chercher la trajectoire du centre 0^ du cercle G pour les avoir toutes.
Désignons par V l'angle OOjP, par r la distance OOj par l'angle de OOi avec une droite fixe, par exemple avec la position initiale de OD. On a
ç =z Mt + 0,0P = iot + l — \;
d'un autre côté le triangle Oj OP donne
a = r cos V.
Observons maintenant que O^P est la tangente à la trajectoire du point Ojj on a donc
rdo
tang V = , dr
c'est-à-dire
ou encore
tang V
r{(,)dt — dX) M dt — dV
a sin V ,,, tg V.dV
— rxF ^^
cos' V (0 ai =
cos* V
et, par intégration,
(,) t = tang V
Bans constante additive, car f et V sont nuls en même temps.
C!IAP. VII. — EXEMPLES ET DÉVELOPPEMENTS. i75
On a donc
r=z -, (p = - + tang V~ V,
cos V ^ 2 ° '
équations qui définissent la trajectoire du point 0^.
Propriétés des aires.
61 . Soient A un point fixe et M un point d'une figure plane mobile dans son plan, le rayon vecteur A M engendre une aire que nous nous proposons d'évaluer.
Soient x^, y^ les coordonnées relatives du point A; l'élément de l'aire engendrée est le produit de dt par la moitié du moment de la vitesse du point M (a^, y) par rapport au point A, à savoir
- j (x — x^) Vy — {y — y,) V, \ dt
= j (o)x + Y)) {x — x^) + {(oy— ^) {y — j/j) j = dA^
en désignant par A l'aire cherchée.
En développant on trouve
dA,
2 -^ = 0) (x* + 7/) + (r, — wxi) x—{^ + o)j/i) j/ 4- ^t/j — yja:,.
Désignons par 0 l'angle dont tourne la figure, on a b=JMdt;
posons en outre
2aO = ~/(Y3 — (àXi)dty 260= J(^ + ioy,)dt,.
nous obtenons l'expression suivante de l'aire A,
A A = - [ce» -H y» — 2 aac — 2?>j/ + c].
Donc, le point A fixe étant donné,, Vah*ë balayée pat' le rayon
vecleur AM est égale au produit de la inoitié de l'angle dont tourne la figure par la puissance du point M par rapport à un certain cercle.
Le lieu des points dont le rayon vecteur engendre une aire donnée pour une amplitude déterminée du déplacement de la figure est, dès lors, un cercle concentrique au cercle précédent.
Désignons par G le centre de ce cercle, par M un point et par Pj, le cercle de centre C qui passe par M. Les aires correspondantes à chaque point de ce cercle Fm sont équivalentes; si l'on désigne par Jj l'aire correspondante au point M, l'équation du cercle Fm sera
fi
- (a;* + y* — 2ax — 26y + c) — ^ = 0.
Prenons un second point W de coordonnées ce', ?/', l'aire qui lui correspond a pour expression
X' =: \. (x'* + î/" — 2ax' — Ihy' + c\
ce que l'on peut écrire
,i' - .1. = ^ («'* + V" - 2ax-' -9^hyS +c)- !..
De là ce théorème :
ha différence des aires balayées par les rayons vecteurs de deux points M, M' de la figure est égale au produit de la moitié de l'angle de rotation par la puissance du point M' par rapport au cercle Fm, Heu des points qui donnent des aires équivalentes à celle qu'engendre le rayon vecteur du point M.
Théorème Le curieux théorème de Holditch résulte immédiatement de cette
de Holditch. proposition.
Considérons une lige MN qui glisse par ses extrémités dans une courhe G fermée convexe; un point M' de cette tige décrit une courbe intérieure fermée comme la première. Après un tour complet les points M, N ont décrit la même courhe. Le cercle F,,, lieu des points, qui donnent des courbes d'aires équivalentes à l'aire de G passe aussi par le point N. La différence entre l'aire de la courbe décrite par M et celle décrite par M' est égale, d'après le théorème
précédent, à la puissance de M' par rapport à Tu, multipliée par
2tc
— =z Tz, puisque 2- est l'angle de rota-
Je
tion. Cette différence est donc égale à î-U^/'"' / / r,ah
où a, b sont les segments M' M, M' N.
Or, la différence de ces deux aires est
évidemment l'aire de la bande comprise
Fig. 59. entre la courbe G et celle que décrit le
point M'. Uaire zah de cette bande est indépendante de la forme
de la courbe C. En cela consiste le théorème de Holditch.
62. Soient AB un segment de droite, A' B' le même segment dans
j^B' une position voi-
■^ ' ' "" -''" 1 sine, 0 le centre
instantané. L'aire p I élémentaire ba-
^^.as^^^^ . Jrr?rrr7Trrr-=--JB ^^^^^ par AB est
Flg. 60. celle du quadrila-
tère AA'B'B, Cette aire est égale à la somme des surfaces des deux triangles A'0'0, B'OB. moiriS celle des Iriangles ABO, A'OA,
