r momentA t'a

moment b . v^,

Autrement dit, le double de la dérivée, prise par rapport au temps, de Vairebalayée par un segment variable AB, est égal à la différence dos momeiits des vitesses de chaque extrémité pris par rapport à l'autre extrémité.

Appliquons au cas où le segment mobile est celui qui joint le centre instantané I à un point M lié invariablement à la figure mobile. Nous aurons

dt~ "^°'^^"*M • ^t — moment; v^;

or, si p est la distance de M à la tangente commune aux deux roulettes et V la vitesse propre au centre instantané, on a

momentjt v^ =r. p,Y.

On observera que la quantité p, avec les notations du n^ 49, aurait pour valeur p = r amO; la distance IM étant encore désignée par r.

La vitesse de M est cor, elle est normale à IM, son moment par rapport à I est donc o)r% et l'on trouve ainsi

2 ^ = pV -...'.

Désignons par s l'arc de la roulette I,„, qui, du reste, est aussi égal

ds ù celui de la roulotte I,-, on a V = —5 tandis que

'"-'\n-Rj-\R~Kjdt'

ii vient alors

Nous allons tirer de celle, formule le théorème de Steiner relatif aux aires des roulettes.

ISO LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

Supposons que la roulette fixe se réduise à une droite, jr sera nul et l'aire balayée par IM dans un tour complet (en supposant que I„, soit une courbe fermée'convexe) sera

Dans fp ds on reconnaît le double de l'aire A)o tle lu courbe I,„;

nous pouvons donc écrire

■''=-^'« + 2Jit:""-

Faisons maintenant rouler la courbe I,„ sur sa symétrique par rapport à une de ses tangentes, nous devons prendre alors l\j = — R,„ et la formule générale nous donnera pour l'aire balayée par le rayon IM dans ce nouveau mouvement,

Uans ce second mouvement le point M décrit une courbe fermée G, dont l'aire totale se compose de l'aire de la courbe I^, symétrique de I„,, augmentée de l'aire balayée par le segment IM, donc l'aire (C) de la courbe G a pour valeur

c'est-à-dire

Observons maintenant que si l'on désigne par II la podaire de lu courbe I,- par rapport au point M' symétrique du point M, la courbe G n'est autre que la courbe II amplifiée dans le rapport de 2 à 1, si donc (H) représente l'aire de cette podaire, on a

(II) = |(C), d'où résulte

2 (II) = ^ (G) = .li. ^

CHAP. Yir. — EXEMPLES ET DÉVELOPPEMENTS. 181

Si l'on remarque que II est la symétrique de la podaire de I„, par rapport au point M, on peut énoncer ce théorème :

Si une courbe fermée I^ roule sur une de ses tangentes, Faire Jh balayée par le vecteur qui joint le centre instantané de rotation à un point lié à I,„ est égale pour une révolution complète au double de Vaire de la podaire de la courbe I^ 'par rapport au point M.

La méthode que nous avons suivie conduit à un théorème de géométrie générale (').

Considérons trois arcs de courbes finis ayant la même longueur, AB, A'B', A'B"; prenons sur eux les points M, M', M' tels que les

arcs A M, A' M', A" M' aient une même valeur s, soient ^ > — 7 > —les

Ry R/ R"

courbures en M, M', M' de ces trois arcs; nous supposerons qu'on ait constamment

Dans ces conditions > Si V on fait rouler un arc quelconque CM ayant même longueur que AB, A'B', A"B'', successivement sur AB, A'B' et A''B'', les aires balayées par les segments qui joignent le centre instantané à un point M lié à l'arc CD étaiit désignées par J{), J{)', Ji,", on aura

On a, en effet, d'après la formule générale,

'•"■ =j^ " V -K -J -ii7 '

01 ' Cl r^'^s pr'ds

,A.=Jpds-,J-^-j—,

KV - 2.1. - 2.V = -/,- g - 1 - „^) d. = 0.

11 faut observer que dans ces formules R,-, Rj-, W} ont des signes (') Comptes rendus. Séance du 7 mai 189î.

d'oi

dépendant de la disposition de la concavité des courbes Ij, Vf, ï\} (ou AB, A' B', A'B") par rapport à la courbe mobile I,„ (ou CD).

Supposons, par exemple, que l'on prenne pour AB et A' B' la même courbe, mais où les rayons de courbure seraient changés de signe.

Cela veut dire que dans un cas CD roule d'un côté de l'arc AB et, dans l'autre cas, de l'autre côté.

examinons ce que devient notre théorème dans ce cas, on a

donc — ^ = 0, ce qui veut dire que l'arc A'B' se réduit à un segment

II/ de tangente. On a donc ce théorème curieux :

Soient un arc quelconque CD et M un point qui lui est in\)ariahlement lié, on fait rouler CD sur un arc égal quelconque AB et successivement de part et d'autre de cet arc; la somme des aires hala}jées par le vecteur qui joint M au centre instantané est indépendante de Varc AB choisi et a pour valeur particulière celle que l'on obtient, par exemple, en prenant pour AB un segment de tangente.

Propriétés des arcs.

Théorème 64. Sleiner a donné un autre théorème relatif aux arcs des trajec-

de Steincr toires dans l'hypothèse d'une courbe I,,^ roulant sur l'une de ses tangentes.

Soient AB un arc fini de I„„ AA', BB' les tangentes à I,„en A et B menées dans le sens AB des arcs croissants, et soit enfin A la tangente sur laquelle roule l'arc AB; désignons par 0 l'angle variable de A A' avec l'axe choisi sur A dans le sens du mouvement du centre instantané. Au début 0 est égal â zéro, quand A A' coïncide avec A; il devient ensuite égal à l'angle Oq de A A' avec BB', quand BB' vient s'appliquer sur A. Soient 1 le point de contact de I, avec A, M un point lié à ly et P le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur A. L'arc élémentaire décrit par M est égal à r.dO, en posant r := IM, donc l'arc fini décrit par M a pour valeur

rdO.

relatif aux arcs

Considérons maintenant la même courbe I,„, le même point M et assujettissons l'angle dioit MPI à avoir un côté tani^ent à I,„ tandis que l'autre ira passer en M. Le côté PI de l'angle droit, d'abord appliqué sur la tangente AA' à I^, viendra s'appliquer sur BB' et tournera de l'angle 6^; le centre instantané est, du reste, le point N quatrième sommet du rectangle M PIN et comme NP = MI = r, l'are élémentaire décrit par Posera

^P.dO = r.df),

où 0 est l'angle de PI avec AA' ; on aura donc pour l'arc fini décrit par le point P

/ rdO,

c'est-à-dire la longueur déjà trouvée.

L'arc de podaire lieu du point P est donc égal à l'arc corres' pondant de trajectoire décrit par le point M.

CIIAP. VIII. — MOUVEMENT AUTOUR D'uN POINT FIXE. 185