CHAPITRE VIII

Mouvement autour d'un point fixe.

65. Lorsqu'une figure de forme invariable a un point fixe 0, toute sphère qui a ce point comme centre glisse sur elle-même au cours du mouvement; nous pourrons donc procéder comme dans le cas d'une figure dont un plan glisse sur lui-même et ramener la question au glissement d'une sphère sur elle-même.

C'est ainsi qu'il conviendra de procéder notamment dans la plupart des raisonnements géométriques, mais quand on emploie les formules il peut être avantageux de considérer la figure dans l'espace.

Prenons comme origine du trièdre mobile le point fixe 0; les quantités q, r„ X^ qui représentent les projections de la vitesse d'entraînement de 0 étant nulles, la vitesse sera donnée par les formules

Vf.x = g^ — ry, tv, „ = rx — pz \\^. = py — Gf^'

On reconnaît aussitôt l'existence d'une rotation tangente dont l'axe A est issu du point 0 et qui est représentée par le segment ÔQ ùontp, q, r sont les projections sur les axes mobiles.

Soient I, 1' les points où A perce une sphère S de centre 0 et considérons le mouvement de glissement de la sphère S sur ellemême; dans le temps dt tous les points de la sphère décriront des arcs de petits cercles dont I, I' seront les pôles. Les grands cercles normaux se couperont donc tous suivant le diamètre H'. De là ce théorème :

Théorème L — Dans le mouvement d'une figure sphériqne sur sa propre sphère, les grands cercles menés à 7(n ynrme instant par

les différents points de la figure normalement à leurs trajectoires, se coupent en deux points I, I' .

On peut ajouter que si 6 est l'angle correspondant à l'arc de grand cercle compris entre le point I et le point mobile M, la vitesse du point est

R.sin6.w,

où R est le rayon de la sphère et w la vitesse angulaire, Kuvcl .ppe Le problème des enveloppes se traite par un procédé analogue à

[1 une courbe çg],^j qu'on a employé pour la question correspondante concernant les

une sphère, figures planes.

Soient une courbe G tracée sur la sphère S et (G) son enveloppe qu'elle touche au point P. La vitesse absolue de P est tangente à la courbe (G), sa vitesse relative à la courbe enveloppée G, ces deux courbes étant tangentes les deux vitesses se trouvent portées par une même droite; la vitesse d'entraînement, qui est leur différence géométrique, est donc portée par cette droite. La vitesse d'entraînement du point P est ainsi portée par la tangente à la courbe G. On démontre facilement la réciproque en s'appuyant sur ce que la vitesse d'entraînement est normale au grand cercle mené par PIF. On peut donc énoncer ce théorème :

ThêOIiêMe il — Pour avoir les points ou une courbe G tracée sur ta sphère S touche son enveloppe, il faut prendre sur celte courbe les points dont lès grands cercles normaux vont passer par I, r.

Glissement. Désignons par s l'arc de la courbe G compté à partir d'un point A ;

par s' l'arc de la courbe (G) compté à partir du point A' avec lequel A

> ds' ds

vient en contact à Une certaine époque; -— et-— sotit les vitesses

ai dt

absolue et relative du point P, leur différence est égale à la vitesse

d'entraînement Rw sin 0, où ô est l'angle au centre de l'arc de grand

cercle I P ; on a donc ■

ds' ds ^

— = Ro) sin G.

dt dt

La diffél-etice s' — s représente lé glissement de là courbe G sur son enveloppe (G). Il ne peut être constamment nul que si sin 0 est

CIIAP. VIII. — MOUVEMFA'T AUTOUR d'uN POINT FIXE. 187

nul, c'est-à-dire si le point P est précisément sur l'axe instantané en l'un des points T ou F.

Courbiîs ]r,i 66. Nous sommes ainsi amenés à considérer le lieu du point I et

*'' ^•'' celui de son symétrique I' sur la sphère. Il sUfflra de cotlsidét^er le lieu

de I. Appelons I„„ I, les courbes décrites par le point î sur la sphère mobile et sur la sphère fixe. Ces courbes ont à chaque instant en commun le point I, lequel est mobile à la fois sur I^et sur I,„; I,est sa trajectoire absolue, I,„ sa trajectoire relative. La vitesse absolue de I et sa vitesse relative sont d'ailleurs égales, car leur difTérenco géométrique, qui est la vitesse d'entraînement de I, est nulle. Un peut en conclure les propriétés suivantes :

Les courbes I,. et I,^ sont tangentes Vune à Vautre au point 1.

En effet, la vitesse absolue et la vitesse relative sont égales (^t portées par la même droite; cotte droite doit donc toucher au point I la courbe I^^ et la courbe I,„.

La courbe I,- est ainsi une branche do l'enveloppe de I,„.

J'ajoute que I,„ roide sans glisser sur ïy.

En effet, le glissement est ici nul puisque sin 0 est constamment nul. La démonstration prouve en même temps que la courbe I„, et sa symétrique sont les seules qui roulent f^ans glisser sur une bi'ancho de leur enveloppe.

Nous avons ainsi ce théorème :

Théorème IIL — Quand ime figure sphérique glisse sw sa propre sphère, il y a deux courbes sphériques, l'une mobile. Vautre fixe, \„^, I,- qui roulent Vune sur Vaidre sans glisser et à Vexception des symétriques de ces courbes par rapport au centre de la sphère; il n'y a pas d'autre courbe qui roule sans glisser sur une branche de son enveloppe.

Coiies roulants La propriété correspondante de la figure mobile dans l'espace

ilaus le autour du point fixe 0 est la suivante : mouvement ^, ^ .. ,,-,/^, i i

autour (l'un ^^^ cones T,-, F,,,, qui ont pour sommet le point O et pour bases les

I oint fixe. courbes I^, F„, roulent l'un sur l'autre sa7is glisser, en traduisant

par cette locution le fait que les bases sphériques I^ et I„^ roulent

l'une sur l'autre sans glisser. Donc :

Théorème IV. — Quand une figure tourne autour d'un point

fixe 0, il existe un cône r„, lié à la figure qui roule sans glisser sur un cône fixe Tj. La génératrice de contact est justement Vaxe de la rotation instantanée.

Accélération 67. On ne manquera pas d'observer que si un point M se meut angulaire, gj^j^, y^^xe instantané de rotation, sa vitesse absolue et sa vitesse relative sont constamment égales, attendu que la vitesse d'entraînement est nulle.

Considérons, par exemple, le segment OQ qui représente la rotation; les coordonnées de Q sont p, q, r; la vitesse absolue et la vitesse l'elative du point Q sont égales et leurs projections sur les axes mobiles sont

r,' — "^P n< — '^^ .' — '^'' ^ -di' ^ -di' ' ~Tt'

le segment OQj, qui représente cette vitesse, a reçu le nom (['accélération angulaire.

Rappelons ici qu'au numéro 41, page 127, nous avons prouvé que si l'axe du mouvement hélicoïdal a une direction fixe dans le corps, il a une direction fixe dans l'espace.

Dans le cas actuel, cela signifie que si le segment 00 a une direction constante dans le corps, il a aussi une direction constante dans l'espace.

On peut, d'ailleurs, le constater directement.

Si, en effet, OQ a une direction constante dans le corps, le segment QQj équipollent à OQj passe par le point 0, car il représente la vitesse relative de 0 qui ne fait que glisser sur OQ.

Or, QOg représente aussi la vitesse absolue de Q; donc, puisqu'il passe toujours au point fixe 0, le lieu de Q dans l'espace ne peut être qu'une droite fixe issue de 0.

De ^accélération dans le mouvement autour d'un point fixe.

Théorème 68. Cherchons quelles simplifications résultent pour les formules

de Rivais. donnant l'accélération de l'hypothèse d'un point fixe. Les quantités

;, •/;, 'Ç étant nulles, les quantités z^, •/;,, C» le seront aussi, et nous

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obtiendrons pour l'accélération d'entraînement

Jc,x = q z — r y -{- -—y ax

à y ie,z =^p y — q X + — j

oîi l'on a posé, comme précédemment,

^R^ipx + qy -h rzy — {p^ + f/ + r^) (x^ + y'- + z').

Le système de segments ]9', q' ,r' , E^ -^j, ^ considéré au numéro 45, page 133, se réduit alors au seul segment OOj qui représente l'accélération angulaire et les formules précédentes expriment le théorème attribué à Rivais et d'après lequel l'accélération d'entraînement dans le mouvement autour d'un point fixe est la somme géométrique de deux segments; le premier représente la vitesse qu'aurait le point mobile si on lui imprimait une rotation représentée par l'accélération angulaire OQ^; le second représente l'accélération centripète qui naîtrait d'une rotation uniforme continue, représentée par le même segment Où que la rotation instantanée. Suivant une méthode qui nous a déjà réussi, nous pourrons choisir les axes de coordonnées de façon à simplifier les formules. Nous supposerons qu'à l'instant considéré 0- soit l'axe instantané et zOx le plan tangent commun aux cônes r„„ I^; alors p, q seront nuls, r se réduira àw; de plus OQj étant dans le plan zOx, q' sera nul. Il viendra donc

ic,x = — r' y — lù^x,

i^y=zr' x — p'z — iù'y,

Je, z ~ p' y,

tandis que les formules relatives à la vitesse d'entraînement se réduiront à

~ 'Wcx — — 6). y, Ve, ,j =: (j) . ce,