MOUVEMENT AUTOUR I> UN POINT FIXE
terprétatiou de h.
Cette formule rappelle par sa forme celle de Savary. Nous allons chercher à interpréter k.
On a, en général, pour l'accélération absolue d'un point (,r, y, z) animé d'un mouvonient relatif, ..•
^H „ / dz dy\ d'x
âx \ dt dt) di^
, , ^ dH ^ / dx dz\ d-y
ày \ dt ^ dt) dt"
ôll ^ ( dy dx\ d^z
Appliquons ces formules au mouvement absolu du point I. Puisque ID est la tangente aux courhes ly, I„„ en appelant V la valeur commune à la vitesse relative et à la vitesse absolue (vitesse propre) du centre instantané, on a, dans le système d'axes adopté,
dt"" ' dt~ '
en même temps que p = q z=z q' ^= 0, r ==: w. On a alors
,j dt'-
^«--cTF»'
d'un autre côté, les coordonnées du centre instantané I sont d'une façon générale égales à
où (0 == + k'p* -+- fi* 4- »'■; on a donc eu particulier dx /p' w' \
dt \(i) ^ /
dt~\0) 0)^V
mais de on tire
Faisons 2^ = q = 0,il viendra, puisque V est la valeur de — et
dt que 7' = w,
dt lù
dt'' Lw w* 0) "*" 0)» J '
0)0)' = pp' 4- qq' 4- rr' 0)'* + 0)0)" =zpp' + gg" 4- rr" + p'* + g'* 4- r'%
et en faisant p = q — 0, q' = 0, (ù =^ r, il reste
en sorte que l'on a simplement
^" :^ ^ R dt' 0)^ '
Les expressions de Ja,x, h,y, h,z deviennent ainsi
Considérons le grand cercle normal à la fois aux deux roulettes ly, ï„, au point I, et menons à ce cercle la tangente ID' parallèle à Oy, il y a un sens de parcours sur ce cercle qui a le sens de ID', nous le prendrons pour sens direct. Ce grand cercle touche en des points Oy, 0„. les développées sphériques des courbes I/, I„. Désignons par R^, R,„ les angles 100;-, I00„, décrits dans le sens direct de I vers Oj-et de I vers 0„.
Les coordonnées de Oy seront
0, R sin Ry, R cos Ry.
CHAP. Vlir. — MOUVEMENT AUTOUR d'uN POINT FIXE. 193
Or, la droite OOy est normale au plan oscillateur en I à I„ 00,- est donc rectangulaire avec J„ et l'on a, en conséquence,
0 =: O.J„,^ + R sin l{j:l,.y + R cos RyJa,,,
ou
ou encore
P' p'n\ dt c°^o^-^-
De même, comme 00„, est normale au plan osculateur à I„„ elle est rectangulaire avec l'accélération relative, on a donc
ou encore, eu égard à la valeur de — >
^ = cote: R.,„
p"R dt' d'où par soustraction
k p' tangR^. tang R„.
formule qui complète l'analogie avec le cas du plan.
On en conclut sans peine la propriété suivante du centre de courbure sphérique de la trajectoire d'un point.
Soient A le grand cercle mené par le centre instantané I et le point mobile M, A' le grand cercle mené par le centre instantané I normalement à A, les grands cercles M0,„ et jxOy, où [j, est le centre de courbure cherché se coupent en H sur A' .
Angles d'EuIer.
70. Dans certaines questions, il est nécessaire de savoir repré* senter analytiquement au moyen du nombre minimum de variables le mouvement d'un trièdre mobile par rapport à un trièdre fixe de même sommet. On arrive à ce but en employant les angles d'Euîcr. Cinéniatique. 13
lui LE(;0Nt5 iJL CINÉMATiyUï;.
Soient Uxijz et 0,r^y^z^ les deux trièdres trirectangles mobile et fixe ; coupons-les par une sphère ayant son centre en leur sonrimet com- Huin 0. Désignons par x, y, z, x^, y^, :^ les traces des axes Ox, Oy, Uc, OXj,0?/i, 0 Tj sur cette sphère et par N un des deux points d'intersection des grands cercles xy et x^y^. Une rotation directe autour de Oz^ amènera Ox^ sur ON; appelons d^ l'amplitude de cette rotation. Une autre rotation directe autour de 0: amènera ON sur Orc, appelons o son amplitude; eulin comme ON est perpendi- Ficj.Ol. culaire au plan z^Oz, une
rotation autour de ON dans le sens direct, d'amplitude G, amènera Oïj sur Oz.
Les angles 0, i, -i connus permettront de trouver la position du trièdre Oxyz par rapport au trièdre Oxit/iZi- En effet, on aura ON par une rotation directe ti de Oxj autour de Oz^■, on aura Or par une rotation directe 0 de Oz^ autour de ON, et enfin Oa; par une rotation directe ç- de ON autour de Or; en ajoutant ^ à celle
dernière rotation on aura 0*/.
I-Ni.iessious Quand le trièdre Oxyz subit un déplacement infiniment petit, les ilop,qf, rcn trois angles varient infiniment peu et l'on peut regarder la rotation
tonctioncles | j^^^^jjjj^^ comme résultant des troit^ rotations qui naissent de la angles u hulcr.
variation de ces angles. Nous aurons donc, pour obtenir la rota-
tion instantanée, à composer une rotation >l = — autour de Or,;
une rotation o' = -? autour de Oz; une rotation 0' = -7- autour de
dt "f
ON. On peut représenter ces rotations par des segments portés par leurs axes respectifs ; les sommes des projections de ces segments sur Ox, Oy, Oz seront les projections p, q, r de la rotation instantanée. Nous aurons donc
p = 'V cos (z.x) + o' cos {zx) -H 0' cos (N.x)^ qz=^6' cos {z^y) -1- 0' cos {zij) + 0' cos (Nj/), r = 6' cos (t,?) + o' cos (se) -l- 0' cos (Nr).
CIIAP. VIII. — MOUVEMENT AUTOUR d'uN POINT FIXE. 195
Observons que
ces (zx) = CCS (zy) == ces (Nz) = 0, eos (zz) = 1, ces (Nx) == CCS ç, ces (Ni/) = ces 1 ç + -) = — sin ç, CCS (zjZ) = cos 6,
il viendra
p r= d/' ces (z^x) + 6' ces «p, g = ?];' CCS (z,2/) — 0' sin ^, )• = <h' ces G 4- ?'.
Nous n'avons à calculer que les deux cosinus cos (z^x), cos {z^^J). Menons les grands cercles z^x et z^N, le triangle sphérique z^x'^ nous donnera
cos (Zicc) z= cos (ZiN).cos (Na?) + sin (j,N).sin (Nx) cos {xNz^). Or Zj N = ^ j il reste donc
cos (Zjaî) = + sin (^x) cos (a;Nzi); Mais
iix = <f, aîNji = -^^y^Naî = ^ — 6, donc
cos (Zj ce) = 4- sin ç. sin 6.
On peut observer qu'on passe de a? à ^ en changeant ç en ç 4- -? on a donc
cos (Zj^) = -t- cos ç.sin 6, et finalement
p =s^' fiia 9 sin 0 + 0' cos ^^ ^ = «1^' cos ç sin ô — ^ G' sin 9, }♦ z= (|*' cos 6 + ç'.
es cosinus ^-*^"® quelques problèmes on peut avoir besoin de calculer les neuf Hrocieius. cosirtus directeurs en fonction de Oj ç, 6. La méthode suivie pour
Expressions lationnellcs
des neuf cosinus.
t'ormiiios
fl'Olinde
lîoiJritiues.
196 LEÇONS hE CINÉMATIQUE. -
cos {z^x) perniel de former le tableau de ces neuf cof^inus :
cos (xx^) = cos ç cos (i — sin ç sin <^ cos 9, cos (xyj) = cos 0 sin ^ -\- sin ç cos à cos 0, cos {x z^) = sin ç sin 6;
cos (yx^) = — sin 0 cos <!/ — cos 9 sin <\i cos 6, cos 0/î/i) = — sin ç sin ({/ + cos ç cos ({^ cos 6, cos {yz^) =. cos ç sin 0.
cos (z3C,) = sin (i sin 0, cos (z t/j) = — cos ^ sin 0, cos (2 z,) = cos G.
Si, dans les formules précédentes, on exprime les lignes trigonométriques des arcs <p, 4'» 0 en fonctions rationnelles de trois paramètres l, m, n qui seront par exemple les tangentes des moitiés de ces arcs, on obtiendra pour expression des neuf cosinus des fonctions rationnelles des paramètres l, m, n.
On arrive à des expressions rationnelles plus symétriques en opérant de la façon suivante :
Posons
( = sin - cos
i' = cos - sni
(Il -f- ©
sm ^ sm
IV = — COS ^cos
on constate tout d'abord que ces fonctions sont liées par l'équation
Unique
on trouve ensuite que les formules précédentes qui fournissent les neuf cosinus peuvent s'écrire, avec ces notations :
cos (x, cCi) = t' — u' — xr -I- tu*, cos (j/, a",) = 2 {t u + v w),
cos {x, iJi) ^ 2 (< u — fit'), cos (y, y^) = — t* + m* — v^ + lo*,
cos (ce, z^):='2{tv -\- ttit')j cos (y, z^) = 2 (vu — tw),
cos (c, X^) = 2 (iv — Mil'),
cos'(z, ?/,) = 2(mv + tw')?
cos (c, r,) :=r — ^ (' -^ «' + r' 4- ty'.
CHAP. VIII. — MOUVEMENT AUTOUR d'uN POINT FIXE. 197
Au lieu des variables 0, ç, à dont t, u, v, iv sont des fonctions, introduisons cinq variables homogènes a, \j., v, p, g en posant
J.es variables X, ;/, v, p, 7 seront liées par l'équation
et les expressions des neuf cosinus deviennent, en y remplaçant 7* par sa valeur tirée de cette dernière équation
cos (x, x^) = —
cos (X, y,) = ■«,,.,',>
2 (Xv + [j.p)
cos (X, Z.) = — r ^ ->
^ ' '^ X* + [j.* + V* + p" 2(Xi7. + vp) ^^^^^>"->^X-+,.- + v- + p-^
2(:..v-Xp)
cos (î/, 2,)
, , 2(Xv-!/.p)
, , 2(:j.v4-Xp)
cos {z, y,) = / >
A + iJ. 4- V 4- p
-X'-ix'4-v«4-p'
cos (z, z.) = — r r V»
Ces formules où X, [jl, v, p sont des quantités arbitraires qu n'interviennent que par leurs rapports, portent le nom d'Olinde Rodrigues. Elles se prêtent particulièrement aux recherches de géométrie algébrique sur le mouvement d'un corps solide. C'est ainsi, par exemple, que M. Darboux en a déduit divers mouvements très remarquables; dans certains les points de la figure décrivent tous des coniques ; dans d'autres, où les paramètres indépendants sont au nombre de deux, les points de la figure décrivent tous des surfaces de Steiner.
CHAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU d'uN COUPS SOLIDE. 499.
