CHAPITRE IX

Mouvement continu le plus général d'un corps solide.

71. Les chapitres précédents nous ont offert deux exemples particuliers, mais importants, du mouvement d'un corps solide. Moins important au point de vue des applications, le cas g-énéral se prête à une étude analogue dont nous allons tracer les traits essentiels.

Dans les deux cas considérés précédemment, la distribution dosi vitesses se réduisait à une simple rotation; cette circonstance, qui peut se présenter dans des cas plus généraux, entraine pour le mouvement continu des propriétés particulières qui n'appartiennent pas au cas général.

Courbes liées Constatons d'abord qu'une courbe G liée à la figure mobile n'a pas, à la en général, d'enveloppe sur la surface qu'elle décrit. Cherchons, en

iguremo), e ^jy^, ^^^ courbe G qui ait une enveloppe, c'est-à-dire qui, à chaque ■t qui onl une ' ^ rf ' i / i

enveloppe. instant, touche une courbe (G) par un de ses points P. Ce point P est

mobile à la fois sur la courbe G et sur l'enveloppe (C); la première

courbe est sa trajectoire relative, la seconde est sa trajectoire absolue.

Puisque ces deux courbes so touchent, par hypothèse, au point P, il

faut que la vitesse absolue ot la vitesse relative de P soient portées

par une même droite, tangente commune à ces deux courbes. La

vitesse d'entraînement du point P est donc elle aussi portée par cette

tangente et, par suite, on exprimera le contact des courbes G et (G)

en écrivant que la vitesse relative de P est portée par la même droite

que la vitesse d'entraînement. Nous aurons ainsi, X désignant un

coefficient de proportionnalité, dx

dy , .

--^= K(-q + rx — pz),

dz

■^ =XCÇ + py — qx),

où X, y, z sont les coordonnées relatives du point P. On peut reconnaître par ces équations que la courbe C ne saurait être prise arbitraire.

On tire, en effet, de ces équations

dx dz

^ + g- — ry

'C + py — qx

dy -fi + rx — pz

dz ~'Ç -h py — qx'

et comme p, q, r, ^, r„ ^ sont des fonctions connues du temps, en éliminant t entre ces deux équations il en résultera une équation

/ dx dy\

que devra vérifier la courbe G.

Si l'on veut avoir les courbes C qui ont une enveloppe, il est préférable de conserver les équations (1), où X désigne une fonction arbitraire du temps. Si l'on sait trouver toutes les fonctions x, y, z, X qui vérifient ces équations, on sait trouver toutes les courbes C qui, liées à la figure mobile, offrent la propriété d'avoir une enveloppe.

Je vais prouver que le problème peut être ramené aux quadratures.

Il me suffira d'appliquer à ce problème une méthode d'intégration

due à M. Darboux, et qui ramène à une équation de Riccati la

courbes douées recherche du mouvement continu quand les rotations sont données.

deiiv<loppe. Observons d'abord que si l'on considère le système d'équations

différentielles

dx

= X(qz ~ry),

On îrouve par

des

quadratures

toutes les

dy . .

dz , . ^

— = K(py— qx).

CHAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU d'uN CORPS SOLIDE. 201

la variation des constantes arbitraires permettra de déduire par quadratures des intégrales du système (2) les intégrales du système (1). Le système (2) n'est autre, en effet, que le système (1) privé des termes X^, ay;, XJ^.

Cherchons donc à intégrer le système (2).

Pour intégrer le système de la forme

= ry — qz,

(2)' { ^^=pz-rx,

-qx—py,

M. Darboux observe que pour tout système x, y, z de solutions on a