X- + y^ + z^ = const

ce que nous avons du reste déjà vu au n» 40 (page 122). La constante n'est pas nulle en général, et en multipliant x, y, z par un même nombre constant on peut réduire à 1 cette constante. Nous aurons alors

ce qui nous permet de poser, u, v étant deux variables indépendantes, ,^. 1 — iiv .i + uv u + V

Il — i' n — V u — V

et nous trouverons, en remplaçant x, y, z par leurs valeurs dans les équations (2)', que u, v doivent vérifier une même équation de Riccati, à savoir (Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. I, p. 22) :

/,\ ^^ . q — ip q + ip ,

Les équations (2)' sont les équations (3) du n» 40 (page 121). On voit donc comment le passage des rotations au mouvement continu se fait par une équation de Riccati.

Appliquons ceci au système (2) qui ne diffère de (2)' que par le changement de p, q, r en — Xp, — X^, — Xr. Au moyen du même

[ÏÏÏÏIVBU!

202 LEfjONS DE CINÉMATIQUE.

raisonnement nous verrons qu'on peut exprimer x, y, z en fonction de deux paramètres it, v par les formules (3) et que u^ v doivent vérifier l'équation de Riccati.

Mais puisque A est une fonction arbitraire de /, on pourra choisir a de manière à connaître a priori une intégrale de l'équation de Riccati. Dès lors on obtiendra par quadratures l'intégrale générale de cette équation. On aura ainsi par quadratures la solution générale du système (2) et par trois autres quadratures la solution générale du système (1).

Ainsi, malgré que le problème du mouvement fini, quand on donne les rotations, dépende d'une équation de Riccati irréductible, toutefois on peut déterminer par quadratures les courbes liées au corps qui ont une enveloppe. Ces enveloppes constituent inversement les courbes de l'espace fixe qui, dans le mouvement inverse, ont une enveloppe.

Si, au lieu de procéder comme nous l'avons fait, nous nous étions donné a priori la fonction X, nous serions tombé sur une équation de Riccati (5), dans laquelle on ne connaît aucune solution et, par conséquent irréductible. C'est ainsi que si l'on cherche les courbes de la figure mobile qui passent par des points fixes, on doit prendre A = — 1. Le système (1) devient alors celui dont dépend le passage des rotations au mouvement fini et l'équation de Riccati est alors exactement l'équation (4) de M. Darboux.

En général On observera que si une courbe G de la figure mobile touche une

\' y ^ courbe fixe (G), la vitesse absolue et la vitesse relative ont une diffé-

"^ " rence égale à la vitesse d'entraînement du point P. Gette vitesse

n'est jamais nulle, sauf toutefois le cas intéressant où le mouvement hélicoïdal tangent se réduirait à une simple rotation et où le point P serait constamment sur l'axe autour duquel elle s'effectue. Donc la courbe G, tout en restant tangente à son enveloppe (G), qlisse en général sur elle.

Viration 72. On ne doit donc pas espérer de réaliser le mouvement continu

des surfaces Je pj^g trénéral d'un coi'ps solide au moyen d'un roulement sans

" * glissement, comme nous l'avons vu dans les deux cas déjà étudiés.

Appelons A,^la surface lieu de l'axe du mouvement hélicoïdal dans