CIIAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU I)'UN CORPS SOLIDE

l'espace fixe et A,„ la surface lieu du même axe dans la figure mobile. A chaque instant A„j et A/ ont en commun une génération A qui est, à cet instant, l'axe du mouvement hélicoïdal. On va montrer que ces deux surfaces réglées se raccordent à chaque mstant suivant cette droite.

Prenons, en effet, un point M sur la droite A et observons que la Irajectoire absolue de M est une courbe tracée sur A„ tandis que sa trajectoire relative est tracée sur A„j. Le plan mené par A et par la vitesse relative V,. est tangent en M à A„,; le plan mené par A et la vitesse absolue V„ est tangent en M à A/. Or, la différence géom»> trique V„ — V,. = V^ représente la vitesse d'entraînement, laquelle est ici portée par A puisque le point M est sur l'axe du mouvement hélicoïdal. Donc V„, V,., V^ étant dans un même plan, il en est de même de V„, V,. et A. Les deux plans tangents ci-dessus définis coïncident donc. Les surfaces A,„, A,> admettent ainsi le même plan tangent en chaque point de leur génératrice commune A.

On peut donc énoncer ce théorème :

Dans le mouvement le plus général d'une figure invariable il y a toujours une surface réglée S,^ qui se raccorde à chaque instant avec une surface réglée A/ suivant une génératrice rectiligne A, qui se trouve être Vaxe du mouvement hélicoïdal tangent.

Reuleaux, dans son édition française de sa Cinématique, désigne par le mot de viratïon le roulement particulier de A,,, sur A^.

Si l'on se reporte à la démonstration précédente, on voit que jamais aucune courbe tracée sur A,„ ne restera tangente à une courbe. Cette seconde courbe devrait être, en effet, tracée sur A/ et alors, en regardant la courbe tracée sur A„j comme la trajectoire relative du point M où elle est coupée par la génératrice A, on voit que les vitesses V„, V^ devraient être portées par une même droite. Or, la différence géométrique V„ — V^ est égale à la vitesse d'entraînement, qui est le glissement hu) suivant l'axe A. Donc les vitesses V„ et V^ ne pourront être portées par une même droite que dans deux cas : \^ si Vg est nul, ce qui exige h =: 0, et alors le mouvement hélicoïdal tangent se réduit à une rotation; 2" si V„ est dirigée suivant A, auquel cas V^ est aussi dirigé suivant A, alors A^ et 1„^ sont deux développables dont les arêtes sont constamment en contact.

Nous allons étudier ces divers cas.

204 LEÇONS DE cini<:matique.

Cas où il existe à chaque instant une rotation tangente.

73. Supposons d'abord le cas où le mouvement hélicoïdal tangent se réduit à une simple rotation. On en sera averti par ce fait que l'expression

p^ + qr, + r^ = 0

sera nulle sans que p, q, r le soient; si p, q, r étaient nuls constamment nous aurions à chaque instant une translation tangente et (p. 31) le mouvement se réduirait à une translation continue. Applicabilité Dans le cas d'une rotation tangente, tous les points de l'axe instandes surfaces tané A ont alors une vitesse d'entraînement nulle; je vais montrer si le glissement ^"^ ^^* surfaces A/, A„,, qui se raccordait suiva^it cet axe A, sont est nul. en outre applicables l'une sur Vautre.

En effet, reprenons un point M mobile sur l'axe A, soient G„ sa trajectoire sur A;„ et G/ sa trajectoire sur Ay; nous avions trouvé précédemment V^ = V^ + V^; puisque V^ est ici nul, on a simplement

Il en résulte que la courbe G^ roule sans glisser sur la courbe Gy. Comme on peut régler le mouvement de M sur A de sorte que G„ soit une courbe quelconque de A^, on voit que dans le mouvement toute courbe C^ tracée sur A;„ roule sans glissement sur une courbe correspondante tracée sur A/.

Au cours du mouvement tout point P de A,„ vient s'appliquer sur un certain point Q de Ay; en sorte que, par suite de ce mouvement, une correspondance se trouve établie entre les points P de A,„ et les points Q de A/. Quand P décrit G,„ sur A„„ Q décrit G,- sur A/; or, d'après la propriété du roulement sans glissement des courbes C„, et G/, un arc de G, se trouve être égal à son homologue. La correspondance ponctuelle entre les surfaces est donc de telle nature que les longueurs des arcs homologues sont égales ; il en résulte que les deux surfaces réglées sont applicables l'une sur l'autre et la correspondance considérée réalise cette application.

ClIAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU d'uN CORPS SOLIDE. 205

La détbrmalion des surfaces réglées sans altération des arcs est ainsi rattachée à la question du mouvement d'un corps solide. En sorte que le problème de la déformation des surfaces réglées coïncide avec le suivant :

Une surface réglée A,„ étant donnée, trouver tous les mouve- 7nents dans lesquels cette surface vire sans glisser sur une autre surface réglée A/.

Le problème se ramène aux quadratures.

Soient, en effet, a, h, c, Z, m, n les cosinus directeurs et les moments d'une génératrice A de A„, cosinus et moments pris par rapport à un trièdre lié invariablement à la surface A„,. On peut regarder ces six coordonnées comme des fonctions connues du temps t. Désignons par P) ?> »'> ?j "O? ^ 'es coordonnées de la rotation instantanée. Celte rotation ayant lieu autour de A„, on doit avoir

^=:l.ix), Y]=W.(i), Ç=:n.w,

et 0) est l'amplitude de la vitesse angulaire, laquelle est une fonction inconnue du temps. Pour résoudre le problème dans toute sa généralité il suffira, pour chaque détermination de w, de chercher à passer des rotations au mouvement fini, question qui est équivalente à l'intégration des équations

dx

F- y; 4- rx — jjz =0,

dy dt d'.

Or, ici, ces équations s'écrivent dx

qx =0.

^^ + lù (l + hz — cy) = 0,

dy . X ^

-r- + {i)(»i + ex — az) =: 0, dt '

dz

-jr + iù (n + a y — hx) = 0.

Nous tombons donc sur des équations qui ont la forme des équd-

'iOG LEÇONS DE CINÉMATIQUE,

lions (1) du 11° 71. Nous avons vu comment on pourra profiler de la fonclion arbitraire w pour ramener le problème à des quadratures.

Les équations (6) ont, du reste, une signification intéressante.

Supposons qu'on ait pris pour w une certaine fonction w^, en sorte que le système des rotations p, q, r, ^, t„i^ est défini. Si l'on veut les courbes liées à A,„ qui, dans le mouvement ainsi défini, ont use enveloppe, il faudra former les équations (1) du n» 71 relatives à ce problème, c'est-à-dire

doc

— = Xwo (l +hz — cy),

(1) { —j = AWo(m + ex— az), ■

dz

-~ = Xwo (n + ay — hx).

Mais comme X est une fonction arbitraire, de même que o) l'est

dans les équations (6), on voit que les équations (7) ne diffèrent pas

des équations (G).

Remarque sur On en peut conclure ce fait curieux que quelle que soit la surface A,

sur laquelle A„, vire sans glisser, les courbes liées à l^qui ont une

les courbes à

enveloppes lires à la enveloppe sont toujours les mêmes.

suiface Am. Cette remarque pourrait avoir des applications industrielles. Sup-

posons, en elFet, qu'on ait construit un équipage des courbes C liées invariablement à A„,. Le même équipage pourra servir à rouler en glissant et à guider ainsi le roulement sans glissement de A,„ sur plusieurs autres surfaces A/, A^, munies chacune d'équipages correspondants. On évitera ainsi de munir A^ d'un équipage spécial pour son roulement sur A/, d'un autre équipage spécial pour son roulement sur a;....

Le fait de la réduction aux quadratures du problème que l'on vient de résoudre est en concordance avec cet autre que la détermination des surfaces réglées applicables sur une surface réglée donnée contient une fonction arbitraire et se résoud par quadratures. (Voir DarbolLx, Leçons, t. III, p. 297.)

CHAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU u'UN CORPS SOLIDE. 207

Roulement des développables et des courbes gauches.

Cas où Aw, Sf 74. Il peut arriver que les surfaces réglées A,„, Ay soient toutes

sont dfs développables. La propriété du raccordement démontrée dans le cas

général prouve que l'une n'est jamais seule développable sans l'autre;

car si le plan tangent est le môme tout le long de A pour l'une, il doit

en être de même pour l'autre.

La condition pour que A,,, soit développable est aisée à trouver. Les coordonnées de l'axo A sont proportionnelles à

la condition chercbée s'écrit

d^J.d {q — 7ij>) -h dq.d (r, — Jiq) + dr d (Ç, — hr) =: 0.

Mais nous ne l'utiliserons pas.

Appelons A,,, l'arête de rebroussement de A,„, A, celle de Ay, ces arêtes pouvant du reste se réduire à des points si les développables sont des cônes. Soient A le point où l'axe A du mouvement hélicoïdal touche A,„, V„, V,., V^ les vitesses absolue, relative et d'entraînement de A.

La vitesse relative V,. et la vitesse d'entraînement V^ du point A sont toutes deux portées par l'axe A ; il en est donc de même de la vitesse absolue V„. Il en résulte que la trajectoire absolue du point A est une courbe à laquelle A est tangente, cette trajectoire est donc l'arête de rebroussement A.,- de A/. Ainsi dans le mouvement la courbe A,„ reste tangente à Ay et a constamment avec elle le même plan osculateur.

Cependant on ne peut dire que A,,, roule sans glissement sur Ay, car la vitesse d'entraînement V„ du point A n'est point nulle. Le glisse-^ nient ne cessera d'exister que si V^ est nulle, c'est-à-dire, puisque V(, est égale à la translation suivant l'axe, que le contact des courbes A„^, Ay ne se produira sa)is glissement que dans le cas déjà étudié où il y a à chaque instant une rotatio7i tangente. Cas des cùnes. Observons encore que si A„, est un cône, la vitesse relative du

W8 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

point A est nulle, la vitesse absolue du point A est égale à sa vitesse d'entraînement, et dans le mouvement le cône roule sur la développable A/ pendant que son sommet décrit la courbe Ay.

Inversement, si A/ est un cône, la vitesse absolue de A est nulle, la vitesse relative de A est égale et opposée à sa vitesse d'entraînement; elle est encore dirigée suivant l'axe A. Pendant le mouvement, la développable A„, roule sur le cône A,-, tandis que l'arête A,„ passe constamment par le sommet fixe du cône A/.

Si l'une des deux surfaces Ay, A,„ est un cône et si, en même temps, on se trouve dans le cas où le mouvement hélicoïdal se réduit constamment à une simple rotation, on voit que la seconde surface doit être également un cône'. En effet, de la relation V„ = V^ + V^ on tire, puisque V^ = 0, la relation V„ = V,.. La vitesse absolue et la vitesse relative du point A sont donc nulles en même temps. RouL'iïioi.t Revenons au cas général où les surfaces A/, A„, ne sont pas des

des cou Les. cônes, mais bien des développables. Les arêtes Ay, A,„ de ces développables ont à chaque instant le même trièdre T formé par la tangente, la normale principale et la bi-normale. Seulement, la normale principale n'est pas forcément dirigée vers le centre de courbure, en sorte que le rayon de courbure aura, comme le rayon de torsion, un signe. Nous avons vu à la page 124 que si l'on suppose une courbe parcourue avec une vitesse égale à l'unité, les rotations du trièdre entraîné par la courbe ont pour coordonnées

si l'on suppose que la courbe soit parcourue avec la vitesse V, il suffit évidemment de multiplier par V toutes ces quantités pour obtenir les véritables valeurs des coordonnées du système des rotations.

Prenons donc le trièdre T, qui est, comme nous l'avons dit, commun aux deux courbes Ay, A,„.

Appelons V„ la vitesse absolue du point A, c'est-à-dire sa vitesse sur la courbe Ay, R^, T„ les rayons de courbure de cette courbe, les rotations du trièdre T dans son mouvement par rapport à Ayont pour coordonnées

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De même, dans le mouvement par rapport à A„„ les coordonnées des rotations du même trièdre T seront

où V,, est la vitesse relative de A, c'est-à-dire sa vitesse sur A^, et R„„ T„, les rayons de courbure de A„, (*).

Dès lors, dans le mouvement de A,„ par rapport à Ay, la vitesse d'entraînement d'un point M lié à A„, et dont x, y, z sont les coordonnées relatives au trièdre T, aura pour projections sur les axes de ce trièdre (no 42, p. 128).