V. VA

Ces formules conviendraient au cas général où A,„ roulerait en glissant sur Ay et en ayant constamment avec Ay le même plan osculateur. Mais, dans. le cas actuel, Ox est l'axe du mouvement hélicoïdal; tous les points de Ox ont la même vitesse, ce qui exige que

l'on ait

et il reste alors simplement

(9)., = V.-V., .. = (^-^)z, „. = (^ç^jy.

La relation (8) exprime le fait suivant :

Soient o}, a„^ les arcs des courbes indicatrices sphériques des tangentes des courbes Ay, A„t et Sj-, s,,^ les arcs de ces courbes elles-mêmes, comptés dans le sens du mouvement du point A, on a

V„ dSf daf d7f V,. c?(t„, J\^~"dt ' dij-~ 'dt' R^, """dT'

l'équation (8) s'écrit donc

d J'y d ff„

0 Page 208, remplacer R» et Ta par R/et T/. Cinématique. 'li

OU oy= !7,„, en comptant les arcs à partir de points correspondants. Or, appelons Tf le cône directeur des tangentes de A^; soit S le sommet de ce cône et construisons à chaque instant le cône directeur r„ des tangentes de A„„ ayant lui aussi S pour sommet; les diverses positions de T,n s'obtiendront en faisant rouler ce cône sur le cône Tf, et l'équation précédente exprime que ce roulerne7it a lieu sans glissemoit.

Ainsi, lorsque deux développables roulent l'une sur l'autre en se

touchant constamment suivant une génératrice qui est à chaque

instant l'axe du mouvement hélicoïdal, les cônes directeurs de

ces développables roulent l'un sur l'autre sans glissement.

Cas où les Supposons en outre que le mouvement hélicoïdal se réduise à une

développables gji^pie rotation, le glissement suivant l'axe étant nul, on a V^ = V^

roulent -.t , ,

sans glisser. = v et les deux courbes Ay, A„, roulent 1 une sur 1 autre sans ghsser.

Dans ce cas l'équation (8) nous donne

en sorte que les deux courbes ont même courbure aux points qui viennent en contact. Les formules (9) deviennent alors

Ce dernier mouvement des courbes Ay, A,„ est remarquable à cause de cette circonstance que, dans cette sorte de roulement sans glissement de A,„ sur A/, l'axe instantané de rotation est justement la tangente commune aux deux courbes, tandis que dans les roulements que nous avions jusqu'ici considérés l'axe instantané était normal aux deux courbes roulantes.

Roulement général des surfaces réglées.

75. Il est bon d'indiquer ici quel rôle particulier jouent les

surfaces A,„, A/ et en quoi leur viration se distingue du roulement

ordinaire avec glissement.

tarac e.e js^ous arriverons à cette conclusion que dans la viration le glisse-

distinctif ^

de la viration, ment a toujours lieu suivant la génératrice de contact, tandis que

CHAP. IX. — MOUVEMENt CONTINU d'uN CORPS SOLIDE. 211

dans le roulement ordinaire il y a toujours un glissement oblique à la génératrice de contact.

Examinons donc dans quelles conditions une surface réglée roulera sur une autre surface réglée.

Rappelons que pour avoir les points où une surface S mobile touche son enveloppe, il faut chercher sur S le lieu des points dont les normales sont des axes de moment nul. So'it G une génératrice recliligne de la surface S supposée réglée; pour que G fasse partie de la courbe de contact de S avec son enveloppe, il faut et il suffit que les normales à S tout du long de G soient des axes de moment nul. Ces normales forment un paraboloïde et la droite G', conjuguée de G, doit être une génératrice de ce paraboloïde de même système que G. Telle est la condition nécessaire et suffisante pour que la surface réglée S se raccorde constamment avec une surface réglée (S).

On peut donner à cette condition une autre forme. Soient M un point de la génératrice G et N la trace sur G' du plan normal en M à la droite G; MN est la normale en M à la surface S.

Le plan mené par G et par N est normal en M à la surface. Le plan central est le plan qui est normal en un point situé à l'infini ; or, si M s'éloigne à l'infini, il en est de même de N, donc le plan central est le plan mené par G parallèlement à G'.

Le point central est le point où le plan central est tangent; on obtiendra ce point en cherchant sur G un point dont la normale soit perpendiculaire au plan en question. On trouve ainsi le point 0, pied de la perpendiculaire commune aux droites G et G'.

Mais rappelons-nous que deux droites conjuguées G, G' ont même perpendiculaire commune avec l'axe A du mouvement hélicoïdal (flo 16, p. 47). Nous pouvons donc énoncer ce théorème :

Lorsqu'une surface réglée S roule en glissant sur une autre surface réglée quelle touche en tous les points d'une génératrice rectiligne G, le plan central est le flan mené par G parallèlement à l'axe A du mouvement hélicoïdal et le point central est le, pied de la perpendiculaire commune à G et à cet axe A.

A côté de cette propriété il en est une autre qui la complète et qu^ a trait à la valeur du paramètre de distribution. Soient 0' le pied sur G' de la perpendiculaire commune à G, G' et A le point où cette perpendiculaire coupe A à angle droit.

Appelons N' la projection du point N sur le plan normal à G mené par 0, 0 l'anj^le du plan mené par G et N avec le plan mené par G et 0' ; cet angle 6 est celui du plan tangent en M avec le plan

central. Le triangle 00' N' donne

O'N' =00'.tange.

Appelons a l'angle de G et de G' ; le triangle NO'N' donne

N'N = 0'N'.cotga,

ou, d'après la formule précédente,

N'N — 00' cotg a.tange;

comme N'N est égal à OM, on voit que

/c = 00'. cotg a

Fig. 62.

est le paramètre de distribution.

Soient 9, 9' les angles de G, G' avec \; x, x' les distances AO, AO' ;^ ou a trouvé (p. 50)

d'autre part

X tang 9' =1 x' tang 9 = — h,

En remplaçant dans l'expression de k et exprimant 9' , x' en fonction X, 9, h, on trouve

k =1 x cotg 9 — h,

formule qui ne met en jeu que la plus courte distance x entre G et A, la tangente de l'angle de ces deux droites et le pas du mouvement hélicoïdal.

Le raisonnement inverse de celui qui a été fait montrera aisément que, réciproquement, si ces trois conditions sont à chaque instant remplies pour une génératrice G de la surface réglée S, cette génératrice fait partie de la courbe de contact de S avec son enveloppe, en sorte que S roule sur une surface réglée. Mais ce mouvement est compliqué d'un glissement oblique à la génératrice G, car^si l'on prend un point M sur G, la différence géométrique V„ — V^ = V^ de la vitesse absolue et de la vitesse relative de G est égale à la vitesse