CHAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU D'UN CORPS SOLIDE

d'entraînement de M. Si cette vitesse d'entraînement avait la direction de G pour tout point M de G, il faudrait que G fût l'axe du mouvement hélicoïdal et nos surfaces réglées seraient les surfaces A^ et Ay. Cas des Supposons comme cas particulier une surface développable. Il peut

/eloppables. r(j.j,jyg^ q^^'A^ chaque instant une génératrice rectiligne fasse partie de la courbe de contact de la développable avec son enveloppe; alors cette développable roule continuement sur une autre développable. Cherchons la condition pour qu'il en soit ainsi.

Soit G la génératrice de contact, il faut que les normales à la développable le long de G soient des axes de moment nul du complexe attaché au mouvement hélicoïdal.

Ces normales forment dans le plan normal le long de G à la surface une famille de droites parallèles. Le pôle de ce plan est donc à l'infini dans la direction de ces droites; par suite, la droite G' conjuguée de la droite G est parallèle à ces normales, ce qui montre que le plan T. tangent à la développable le long de G est normal à G'. Cette condition nécessaire est évidemment suffisante, car si elle est remplie, les normales sont toutes des droites de moment nul et la génératrice G est une branche de la courbe de contact de la développable avec son enveloppe. Ainsi :

Pour qu'une développable entraînée dans le mouvement d'an système roule en glissant sur une autre développable, il faut et il suffit qu'à chaque instant du mouvement une génératrice de cette développable admette comme conjuguée dans le complexe linéaire une droite perpendiculaire au plan qui lui est tangent suivant cette génératrice.

\ B F? A Vy-

OF THE y

UNIVERSITY j

Remarques sur l'accélération dans le mouvement général d'un corps solide.

76. Je terminerai ce chapitre par quelques remarques générales concernant l'accélération d'entraînement d'un corps solide et qu'il n'était pas possible d'énoncer avant d'avoir étudié le cas du mouvement autour d'un centre fixe.

Nous avons trouvé pour les projections de l'accélération d'entrai-

nement sur des axes liés au corps mobile

dy

où l'on a 2H =: — (p' + g' + r') (a;' + y' + r*) + (px + gy + rzy.

Pour l'origine, qui est un point quelconque 0 du corps mobile, ces projections se réduisent à ç,, r^, t^. Le termes qui s'annulent au point 0 représentent l'accélération qu'aurait le point x, y, z du corps si celui-ci tournait autour du point 0 supposé fixe.

On peut donc énoncer ce théorème :

L'accélération d'entraînement de tout point M dhm corps mobile est la somme géométrique de Vaccélération d'entraînement d'un point arbitraire 0 du corps et de Vaccélération qu'aurait le point M si le corps, étant fixé par le point 0, tournait autour de ce point en suivant la loi d' orientation à laquelle il obéit réellement dans l'espace.

Gomme le théorème de Rivais nous fournit la loi d'accélération pour la rotation autour d'un point fixe, on voit que le théorème précédent nous fournit la loi de l'accélération dans le cas le plus général.

On peut même observer que si 0 est le centre des accélérations, Çj, ■'il) Cl étant alors nuls, l'accélération se réduit à celle que donne le théorème de Rivais. On peut ainsi énoncer ce théorème :

Dans tout corps solide en mouvement, la distribution de Vaccélération est la même que si le corps tournait autour du centre des accélérations, en suivant la loi d'orientation à laquelle il obéit réellement daj^s l'espace (}).

Application à Appliquons ce théorème à un exemple. Prenons, par exemple, un exemple. .

(1) Quand nous disons que le corps suit la loi d'orientation à laquelle il obéit réellement dans l'espace, nous nous figurons un second corps ideniiqne au premier, mais dont le point 0 est fixe et qui tourne autour de ce point O, de sorte que ses plans restent à chaque instant parallèles aux plans homologues dans le premier corps mobile.

CHAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU D'uN CORPS SOLIDE. 215

deux" courbes A,,,, A^ qui roulent l'une sur l'aufre sans glissement, mais en ayant même plan osculateur. Le point de contact A a, dans ce cas, même vitesse V dans les deux courbes, de plus (p. 208) les rayons de courbure sont alors égaux (p. 210),

Si l'on prend comme trièdre de référence le trièdre formé par la tangente, la normale principale et la bi-normale qui sont communes aux deux courbes, nous avons vu (p. 208) que les formules de la vilcsse d'entraînement d'un point M lié à A,„, dans le mouvement par rapport à Ay, se simplifiaient beaucoup et que l'on avait, x, y, z étant les coordonnées du point M,

Je dis que dans ce mouvement le point de contact A est le centre des accélérations.

Désignons, en effet, par J„, J,., J,, J,. l'accélération absolue, l'accélération relative, l'accélération d'entraînement et l'accélération complémentaire du point A, on a

On voit d'abord que J,, est nulle, car la vitesse relative est tangente aux courbes A^, A„, en A et qu'il en est de même de l'axe instantané. En second lieu, on a J„ = J,,. En effet, ces deux accélérations sont dans le plan osculateur, et ont comme projection

commune sur la tangente -— -; leurs projections sur la normale prin-

cipale sont — et — ? elles sont égales aussi puisque Ry = R,„ en R/ R»i

grandeur et signe. Mais si J„ = J^ et J,. = 0, l'équation (10) donne

Le point A est donc le centre des accélérations. Il nous suffit, en conséquence, d'appliquer le théorème de Rivais. Nous avons une rotation autour de Ox, qui a pour expression

il nous faut, en outre, l'accélération angulaire. Concevons que, par un point fixe 0 (c'est-à-dire lié à la courbe Ay) on mène OQ égal et parallèle au segment w porté sur Ox. La vitesse absolue de Q est l'accélération angulaire. Le segment OQ décrit un cône; menons en Q une perpendiculaire QQj à OQ dans le plan tangent à ce cône; la vitesse du point Q sera la somme géométrique de deux segments;

l'un — porté par OQ, l'autre porté par QQ^ dans le sens du mouvement du point Q et égal à w .-r^? où d 3 est l'angle de OQ avec sa position voisine.

Or, le plan OQQ, est parallèle au plan osculateur xAy aux deux courbes et QQj est parallèle à la normale principale. L'accélération angulaire est donc un segment contenu dans le plan xky et dont les projections sur Ace, A y sont

do) de

dt dt

Mais il est clair que dj est l'angle de contingence, si donc R est la valeur commune de R/ et R„, on a

En résumé, les projections de l'accélération angulaire sont

tandis qu'on a pour les projections de la vitesse angulaire

Le théorème de Rivais nous donne alors pour les projections de l'accélération d'entraînement sur les axes du trièdre de référence choisi,

Je,x R ' ^'

diù (i)V ,

ons

del'î

iccél

dw

dt

fT'

CHAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU d'uN CORPS SOLIDE. 217

Le lecteur déduira aisément de ces formules la construction du centre de courbure de la trajectoire d'un point lié à la courbe mobile.

On observera que, pour ~ — 0, le problème que nous traitons

n est autre que celui du roulement sans glissement d'une développable sur un de ses plans tangents. Les formules précédentes fournissent, pour le cas de ce mouvement, l'accélération d'un point entraîné et donnent les courbures des trajectoires.

Lieu du centre 77. Au no 55, p. 159, nous avons prouvé que si les éléments

des géométriques du mouvement d'une figure plane restent les mêmes et

accélérations -ii-j, -ii.

îuandlaloidu ^^ '^ '°^ ^" *^'^"P^ ^^"*^' ^^ ^'^" ^^ centre des accélérations est le temps change, cercle des inflexions, c'est-à-dire le lieu des points dont l'accélération normale est nulle, lieu qui est indépendant de la loi du temps. Ce fait est général.

Soit un mouvement Ah dans lequel p, q, r, ^, y;, C sont les coordonnées du mouvement hélicoïdal tangent et t la variable qui mesure le temps; si la loi du temps vient à changer, on aura un second mouvement où le temps sera représenté par fj tandis que les coordonnées du mouvement hélicoïdal seront P, Q, R, 3, H, Z, et d'après l'hypothèse faite on aura

Nous désignerons par X la valeur commune à ces rapports; 4, J^,, J^ seront les projections de l'accélération d'entraînement dans le mouvement Al et (J,.), (JJ, (J,) seront les projections analogues dans le second mouvement. Ces projections auront les valeurs suivantes :

(4) = Si -^- Q' z - Fx' t/ -f P (Px -f Q 2/ 4- Rz) - (P» + Qî + Rî) ce, où l'on a posé

dT^

Si = 3^ + QZ - RH,

dt^ dt^

Si l'on utilise les formules qui donnent P, Q, ... en fonction de

p, q, ..., savoir : P = Xp, Q=:\q, ..., on trouvera facilement

Dans ces formules on a désigné par v^^ v^, v, les projections de la vitesse d'entraînement dans le mouvement primitif Ah. Le centre des accélérations dans le mouvement général où la loi du temps est quelconque, est défini par les équations

c'est-à-dire

(J.,) = 0, (.T,)=:0, (J,)=.0, J,. J,, J- dk

v^ \\ x\ \^ dti

On voit donc que le lieu du centre des accélérations quand la loi du temps vient à changer, est la courbe définie par les équations précédentes. En tous les points de celte courbe l'accélération et la vitesse d'entraînement, propres au mouvement Ah, sont portés par une même droite; l'accélération normale d'entraînement est donc nulle pour tous les points de cette courbe. Comme, du reste, le mouvement Ah est l'un quelconque de ceux que l'on obtient en ne faisant varier que la loi du temps, on peut énoncer ce théorème :

Si daiis le mouvement d'un solide la loi du temps vient à changer, les élém^ents géométriques demeurant invariables, le lieu des points dont V accélération normale est nidle est une courbe indépendante de la loi du temps, et cette courbe est aussi le lieu du centre des accélérations, lequel est variable avec la loi dii temps.

Désignons par ij, la valeur du rapport de l'accélération à la vitesse. Les équations ci-dessus donneront pour a?, y, z dos expressions rationnelles, quotients de deux polynômes du troisième degré, ce qui montrera que le lieu considéré est une cubique gauche.

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ D'uN SYSTÈME MOBILE, 219