CHAPITRE X

Des degrés de liberté d'un système mobile. — Mouvements à plusieurs paramètres.

Liberté 78. La position d'un point dans l'espace dépend de trois para-

d'un point. mètres; on peut traduire ce fait en disant qu'un point de l'espace qui

n'est assujetti à aucune condition possède une liberté de degré égal

à 3. Si l'on assujettit le point à rester sur une surface, son degré de

liberté s'abaissera à deux unités. Il s'abaisse à 1 si le point est

assujetti à rester sur une ligne.

Liberté Considérons encore un segment de droite AB de longueur inva-

d'un segment, najjle. Sa position dans l'espace dépend de cinq paramètres; si donc,

sa longueur étant donnée, il n'est assujetti, en outre, à aucune con--

dition, on pourra dire qu'il est doué d'une liberté de degré 5.

En assujettissant le segment à k conditions, se traduisant chacune

par une équation, on abaissera son degré de liberté de 5 à (5 — k).

Cas Si, par exemple, on introduit 3 conditions, le segment aura une

d'un segment liberté de degré égale à 2. Tous les points de ce segment décrivent

de 11 t^' alors chacun une surface, sauf cependant le cas exceptionnel où un

est 2. point particulier serait assujetti à rester fixe ou à décrire une ligne;

encore dans ce cas exceptionnel tous les autres points décrivent -ils

des surfaces.

Soient A, B, C trois points d'un segment qui décrivent chacun une surface. Soient A Aj,BBj,GCj les normales à ces surfaces. Tout déplacement infiniment petit du segment équivaut à une rotation autour d'un axe A (no 36, p. 112), et les plans menés par A et les points A, B, C sont les trois plans normaux aux déplacements de chacun de ces points. Le plan mené par A et A, par exemple, contient toutes les

Normales aux surfaces

trajectoires

d'un point du

segment.

droites issues de A normalement au déplacement du point A ; il contient donc la normale AAj à la surface lieu du point A. On voit ainsi que l'axe A coupe les normales AAj, BBj, 00^. Comme il y a, du reste, une infmité de déplacements du segment ABC, il y a une infinité d'axes A et il est évident que ces axes A constituent un système 1 de génératrices de la quadrique Q définie par les trois droites AAj, BBj, CCj. Appelons 1' le second système de génératrices, dont ces trois dernières droites font partie.

Si l'on prend un point quelconque M sur le segment ABC, la normale MMj à la surface que décrit ce point devra rencontrer tous les axes A et par suite faire partie du système 2'. On a donc ce théorème.

Si un segment possède un degré de liberté égal à 2, les normales aux surfaces trajectoires de tous ses points constituent à chaque i7istant lin système de génératrices d'une surface de second degré.

Congruence

engendrée

par le segment

Quand le segment ABC se déplace, la droite 2) qui le porte engendre une congruence (voir no 14), et réciproquement toute congruence de droites peut être définie comme le lieu des supports d'un segment rigide dont trois points décrivent des surfaces données. Nous pourrons utiliser la proposition précédente pour établir la propriété fondamentale des congruences de droites, à savoir, celle qui vise l'existence des surfaces focales.

Observons que la droite 3), qui porte le segment ABC, fait partie des génératrices du système 2. Il y a deux plans ::', tt" tangents à la quadrique Q et normaux à la droite IX*. Le plan iz' et le plan ::" contiennent respectivement des génératrices A', A" du même système 2, qui sont deux axes de rotation particuliers, rectangulaires avec la droite 2)- Appelons F', F" les points où la droite 2) est coupée par les plans tt', tc". Dans le mouvement qui équivaut à une rotation autour de A', le point F' décrit un arc de cercle auquel est tangente la droite 3), en sorte que, dans ce déplacement, cette droite engendre un élément de surface développable. Même remarque pour F" à l'égard de la rotation autour de l'axe A".

Il y a donc deux manières de déplacer la droite ^, de telle sorte que cette droite engendre un élément de surface développable et les Foyers et plans points F', F", ci-dessus définis, sont respectivement les points de contact de 2) avec les arêtes de ces développables, tandis que les plans

focaux.

Surfaces focales.

Congruences de normales.

Remarque

sur ces congruences

CIIAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ d'uN SYSTÈME MOBILE. 221

<ï>',<^^ menés par F', F", respectivement normaux à A' et A", en sont les plans oscillateurs.

Les points F', F" ont reçu le nom de foyers et les plans <I>', <I>" celui de plans focaux relatifs à la droite 2), dans la congruence engendrée par celte droite.

. Lorsque la droite 2) engendre la congruence, les points F' , F" engendrent deux surfaces S', S' appelées surfaces focales. Ces surfaces sont le lieu des arêtes de deux familles de développables que l'on peut former en déplaçant la droite 3). H en résulte que cette droite 2) qui est tangente en F', F" à deux de ces arêtes, est tangente en ces points aux surfaces focales. Déplaçons de plus la droite 2) de sorte qu'elle engendre une développable dont l'arête sera, par exemple, le lieu de son foyer F'; le lieu du second foyer F" sera une courbe tracée sur S" et suivant laquelle la développable engendrée sera circonscrite à cette surface; le plan <!>' tangent à cette développable le long de la droite £D sera donc tangent en F" à la surface S'. Ainsi le plan focal <[>' est tangent en F" à la surface focale S" et de même le plan focal <ï>" est tangent en F' à la surface focale S'.

Si la droite 2) reste, dans ses diverses positions, normale à une surface U, les plans focaux sont les plans des sections principales de cette surface, ils sont rectangulaires. On démontre ailleurs la réciproque de cette proposition.

Il nous suffira ici de faire observer que si les plans focaux sont rectangulaires, les droites A', A", déjà rectangulaires avec ^, sont aussi rectangulaires entre elles et dès lors le cône asymptote de la quadrique désignée par Q est capable d'un trièdre trirectangle inscrit. Cette condition est évidemment nécessaire et suffisante pour que les plans focaux soient rectangulaires et, par suite, pour que la droite 2) engendre une congruence de normales.

Segment dont

trois points

décrivent

trois plans

rectangulaires.

79. Je bornerai là ces généralités pour les appliquer à un ou deux cas particuliers.

Supposons en premier lieu que trois points A, B, C d'un segment décrivent trois plans a, 3, y formant un trièdre trirectangle. Il est aisé de prouver que tout autre point M du segment décrit un ellipsoïde.

Soient, en effet, a, h, c les distances MA, MB, MC et x, y, z les coordonnées du point M par rapport au trièdre formé par les plans

Segment dont

trois points

décrivent

des sphères.

a, 3, y; désignons aussi par X, ij,, v les cosinus directeurs de la droite ABC par rapport à ce trièdre; les équations de cette droite seront

où p est la distance du point (X, Y, Z) au point M {x, y, z). Appliquons ces équations en prenant pour X, Y, Z successivement les points A, B, C nous aurons

et puisque il viendra

Il est actuellement facile de prouver que, dans ce cas, la droite ABC reste normale à une surface fixe. En effet, les normales AAj, BBj, CCj aux surfaces trajectoires des points A, B, G sont ici parallèles respectivement aux axes Ox, Oy, Oz qui sont rectangulaires. Le cône directeur de la quadrique Qest donc capable d'un trièdre trirectangle inscrit. En conséquence, d'après la remarque précédente la droite ABC engendre une congruence de normales (i).

Prenons comme second exemple celui d'un segment dont trois points décrivent trois sphères ayant leurs centres Aj, Bj, Cj sur une même droite.

Ici les normales AAj, BBj, CC, passent chacune par un point fixe et la quadrique Q contient une génératrice fixe A,B,Ci. La normale MMj à la surface trajectoire d'un point M quelconque de ABC coupe donc A^BjC, en un certain point Mj. De plus, d'après une propriété connue des génératrices rectilignes d'une quadrique, le rapport anharmonique des quatre points A, B, C, M égale celui dos quatre points Ap Bj, Cp M,.

Le rapport anharmonique de ces quatre derniers points est donc constant, et comme Aj, Bj, Cj sont fixes, il en est de môme du

(1) Davboux, Leçons sur la théorie des sur/aces, t. 1, p. 233. — Mannheim, Btdletin des sciences mathématiques, ^« série, t. IX.

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ d'uN SYSTÈME MOBILE. 223

point Mj. La normale MMj passe au point fixe Mj et, par conséquent, la surface trajectoire du point M est encore une sphère dont le centre Mj est sur la droite A^, B,, Cj et correspond homographiquement à la position du point M sur la droite ABC.

Nous aurons occasion de revenir sur cette proposition quand nous parlerons des systèmes articulés.

M. Mannheim a fait la remarque que si l'on décrit des points A, B, G, ..., M des sphères a, (3, y, ..., ;j, de rayons arbitraires, ces sphères restent, dans le déplacement du segment ABC, tangentes respectivement à des sphères o(.^, ^^, Yj, ..., [/.^ des centres A^, B,, Cj, ... Mj, en sorte que la fde des sphères a, ^, ..., j;, a pour enveloppe la file des sphères aj, ^^, ..., ;;,, et que le mouvement du segment ABC peut être défini par cette condition. M. Mannheim qui, après M. Darboux, a étudié ce mouvement, a utilisé dans plusieurs écrits la considération des files de sphères.

Des divers degrés de liberté d'un corps solide.

80. Nous avons défini la liberté d'un point ou d'un sèment dans l'espace. Trois points invariablement liés et non situés sur une même droite constituent un système dont la position suffit pour définir la position d'un corps solide qui lui serait invariablement attaché.

Nous allons donc nous occuper de la liberté d'un corps solide dans l'espace.

Pour connaître la position d'un corps dans l'espace, ou plus exactement par rapport à un trièdre donné T^, il suffit de connaître les coordonnées de l'origine d'un trièdre T lié invariablement à ce corps et les angles d'Euler qui fixent par rapport au trièdre Tj l'orientation du trièdre T. Soit en tout six paramètres.

Six conditions, se traduisant chacune par une équation, sont donc nécessaires et en général suffisantes pour fixer la position d'un corps.

Si le corps n'est assujetti qu'à cinq conditions, il n'a pas de position déterminée et ses points décrivent tous des courbes trajectoires. Degré On dit alors que le corps a un degré de liberté égal à l'unité ou

encore qu'il constitue un système à liaison complète. Au point de vue des applications ce cas est de beaucoup le plus important, car,

de liberté d'un corps.

sauf la mécanique céleste, la balistique extérieure, quelques utilisations récentes du gyroscope et quelques mécanismes, c'est le cas d'un degré de liberté égal à 1 qui revient toujours dans les applications.

Les cas de degrés de liberté égaux à 2, 3, 4, 5 ont plutôt un intérêt théorique. Ils se produisent quand le cops n'est assujetti qu'à 4, 3, 2, 1 conditions. Le cas d'un degré de liberté égal à 6 correspond à l'hypothèse d'un corps entièrement libre.

Considérons un corps dont le degré de liberté soit n; continuons à désigner par Tj le trièdre de référence fixe, et par T un trièdre lié au corps; appelons x, y, z les coordonnées d'un point M par rapport au trièdre T et par Xp j/,, z^ les coordonnées de ce même point par rapport au trièdre Tj. On aura les relations

cCj = a + ace + cl' y -f- a"z,

z, =c + Y» + iy + y'-j

où a, b, c sont les coordonnées de l'origine du trièdre mobile T par rapport au trièdre Tj et a, a', a", ..., y? yS y' ^^s cosinus des angles des axes des deux triédres.

Ces neuf quantités sont des fonctions des n paramètres indépendants Mp M,, ..., w„, dont la connaissance permet de construire la position du corps.

Imprimons au corps un mouvement déterminé, mais quelconque; cela revient à prendre pour Mj, u^, ..., tt„ des fonctions déterminées, mais arbitraires du temps.

Les projections de la vitesse absolue du point M, effectuées sur les axes du trièdre mobile, auront, en supposant pour plus de généralité le point M mobile également par rapport au corps, les expressions suivantes :

di/

v,^ = r, + rx — pz+-~,

Rappelons ici les formules du no 25 qui servent à définir p, q, r,

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ D'uN SYSTÈME MOBILE. 225

> da db de

dt ^ dt ^ dt

, da db , de

dt ' dt ^ ' dt

de dt'

da ITt

db dt

\ dt ^ dt-^ ^ dt)~ [" dt-^^ Tt-^' Tt)'

da

dt

„ dl dt

Ici les quantités a, b, c, a, (3, ..., 13", y" sont des fonctions des paramètres u,, w„ ..., u„, lesquels à leur tour ont été pris égaux à des fonctions du temps; nous poserons

da

. db de

, àa db , de

du: "^ dU: ' du^

, da d Ui

dui

„db de

^U; ' du,

w,/ \ du, ^ du, ^ ^ âuj / da!' ^ d'^' d/'\ [ dx ^3 d^f

\ du, du, ^ du, \ du,^^ du,^ ^ du-

''-l^ du,-'^ d^,'^y d^) — {^ ^.-^^ £^+ï ^J

et nous aurons alors

f. v^ f du, ? = > Ç.- -77 '

-^ dt A4 ' dt

Les formules qui donnent la vitesse absDlue du point M ou plutôt ses projections sur les axes du trièdre T seront donc

Cinématique. ^-

1v^ . dUi dx

dUi dz ~dt ~^ dt'

Équations aux 81. Nous avons appelé n le nombre des paramètres u; il y a 6)i différentielles quantités p^, g,, )\, H,-, r,i, ^^ et qui sont des fonctions des paramètres u, mais non pas des foliotions quelconques.

Considérons, en effet, un point M lié invariablement au trièdre fixe Tj. Quel que soit le déplacement imprimé au trièdre T, la vitesse absolue de M est nulle; il en est donc de même des projections de cette vitesse sur les axes du trièdre T et, par conséquent, les coordonnées X, y, z du point M, prises par rapport au trièdre T, doivent vérifier le système d'équations aux différentielles totales

/ dx +2 {^i + qiZ — jvy) dUi = 0,

(5) I dy +2 (r,i + r^x — p^z) du^ — 0,

[ dz +^((,1 + p^y—qiX)dUi = Q,

Désignons par cCj, y,, c, les coordonnées absolues, c'est-à-dire prises par rapport au trièdre T^, de ce même point M. Ces coordonnées a?j, 1/j, Zj sont trois constantes, en sorte que le système d'équations (5) admet un système x, y, z de solutions dépendant de trois constantes arbitraires.

Si l'on écrit les conditions d'intégrabilité, on obtient des relations entre x, y, z et le paramètres u. Ces relations doivent se réduire à des identités, sans quoi les expressions générales de x, y, z ne pourraient dépendre de trois constantes arbitraires.

On sait que l'on appelle système complètement intégrahle un système d'équations aux différentielles totales dans lequel toutes les conditions d'intégrabilité se trouvent vérifiées identiquement (i).

D'après cela le système (5) doit être complètement intégrable. Réciproque. Supposons réciproquement que les quantités j»,, g^, r^, H;, •/;,;, ^i

(1) Voir Goursat, Leçons stir l'intégration des éqnaliom aua; dérivées j)artielles, p. 70.

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ d'uN SYSTÈME MOBILE. 227

soient des fonctions des n telles que le système (5) soit complètement intégrable.

Les expressions générales de x, y, z seront des fonctions des «, contenant trois constantes arbitraires. On peut trouver un mouvement continu dépendant des paramètres «^ u^, ..., m„ et dans lequel la distribution dos vitesses soit donnée par les formules (4).

Nous procéderons comme au n» 40, Soit x^, y^, ^^ un système particulier de solutions du système (5) et posons

les nouvelles fonctions X, Y, Z vérifient les équations

[ dX +2 (7.Z - nY) = 0, (6) dY -ï-y^{r,X-p,Z) = 0,

[ dZ +^(p,Y-q,X)=:0

qui constituent encore un système complètement intégrable. Par un raisonnement en tous points semblable à celui du n» 40, on verra qu'on peut toujours trouver trois systèmes de solutions (a, p, y)

{'^'j 3'j ï') (a% l^'S ï") de ce système, qui vérifient les relations

aa' + P^' + T{' = 0» aa" + ^3" + yy" =0, a"a" + ^''^"' + y'Y=0; et les expressions suivantes de x, y, z,

/ x = Xf, + ax-j + p(/i + Y-i> 0) ! y = 2/o + a' Xj + (â' 2/j + Y z„

\ z =z^ + a"Xi-h Ç>' î/i 4- y' ^1,

où x^, ?/j, Zj seront trois constantes vérifieront le système (5).

Envisageons alors un trièdre T^ dont x^, y^, z^ seront les coordonnées de l'origine et a, p, y, a', ^', y'j '5'% ^\ Y les cosinqs direcr teurs des axes par rapport au trièdre de référence T. Les formules (7) montrent que x^, y^, z, sont les coordonnées par rapport à T^ du point M dont -x, y, z sont les coordonnées par rapport au trièdre T. Ces formules définissent donc un mouvement continu à n paramètres u^, itj, ,.., M„ du trièdre T par rapport au trièdre T^.

On peut vérifier comme il suit que la distribution des vitesses danis

ce mouvement est fournie par les fonctions p,, 7,, )•;, ^;, -qt, ti qui figurent dans les équations (5).

Désignons par pi, ql, ri, ç,l, r,l, 'Cl les fonctions qui interviennent dans la distribution des vitesses dans le mouvement continu défini par les équations (7). La vitesse de tout point M (x, y,z) aura comme projections

■^^ , , , , . dui dy

Les points M liés au trièdre T^ vérifient les équations

mais ces points s'obtiennent en prenant x^, ?/p z^ constants dans les formules (7); leurs coordonnées relatives vérifient donc le système (5); en comparant aux équations (8) nous obtiendrons par soustraction

2 fe — Hi + ql —qi.z — ri — r^.?/) dw, = 0, 2 (■'î'' ~ ^'' ■+" ''^' — ''i • ^ — V'i — Pi -^J dUi = 0, 2 fc — ^i + PΗPi-y—q'i — (li-^) dUi -— 0.

Ceci doit avoir lieu indépendamment des du,, et pour tous les points de l'espace; on a donc

Ç.- = ;o '1' = ^;> 'ri — liy V'i = Pi^ <li = ?i» *'«• = ^*''

ce qui démontre la proposition.

La remarque qui fait l'objet du no 39 s'applique intégralement au cas actuel; c'est-à-dire que les quantités ;„ •/;„ C,, ji,, qi, r, étant données de sorte que le système (5) soit complètement intégrable, la détermination du trièdre fixe T^ auquel se trouve rapporté le mouvement comporte seulement cela d'arbitraire qu'on peut substituer à Tj tout autre trièdre qui lui serait invariablement lié.

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ d'UN SYSTÈME MOBILE. 229

Conditions Nous avons vu par ce qui précède que les conditions d'intégrabilité

"intégrabilité. ([q système (5) doivent être satisfaites identiquement, sans qu'il en

résulte aucune relation finie entre les variables x, y, z, ii^, ii^, ..., m„.

Ces conditions d'intégrabilité sont aisées à écrire; il faut avoir

dx ^

donc

d^x d (;,. + q,z — r,y) d (;,■ + qjZ — r^y)

ou

dUi âUj

dUi

àuj âuj

àVi dz

''du,

dUi ' dUi "

dv: dz du y ^"^ au,

r- . ^ . , . ^ dz du dz dy

Ln tenant compte des expressions de — 5 --^j - — ? -; — ? on

diii dUi dUj auj

trouvera

dqi dqi dr^

. s ^^j àq, dr,

■^ dUi d ïii dUi

— %■ (^i + Piy — qi^) + rj {rii + riX — PiZ),

ce qui, ordonné en x, y, z, s'écrit

dUj di(i

[agi àq; ~1

dUi duj ^ '^ j

On obtiendra deux autres équations analogues en égalant deux

expressions différentes de -^ ^ — •> r — Comme aucune rela-

du; du, du, du.

tion finie ne doit exister entre x, y, z et les tt, ces équations doivent avoir lieu quels que soient x, y, z ; il vient ainsi

/ àz, à Ci

à Vf dVi \ aUi OU;

Telles sont les conditions que doivent vérifier les 6n fonctions Pu ^i> **() ?;? ^ij Cl 3 ces conditions sont au nombre de

Il y a lieu de remarquer la signification des quantités ;,-, •/;,•, Z;, p-, qi, Vi qui figurent dans ces formules.

Si l'on suppose que le paramètre tt,- varie èeul avec une vitesse

--— égale à l'unité, ces six quantités sont précisément les coordonnées du mouvement hélicoïdal tangent qui correspond à ce mouvement particulier. Les quantités ;,■ y];, Zi représentent notamment les projections, sur les axes du trièdre mobile, de la vitesse d'entraînement de l'origine de ce trièdre. On oljservera qu'au fond celte origine est un point quelconque lié invariablement au corps mobile, et que les quantités p,, g,, ?% restent les mêmes si l'on change le trièdre T en un autre qui lui serait parallèle et invariablement lié. Dans les équations (9) on peut donc mettre, au lieu de H,-, •/;,•, ^,, 5^, r^j, tj, les projections des vitesses de n'importe quel point lié invariablement au corps; ces équations devront être encore vérifiées. Cette remarque élémentaire est une source de simplification dans certains calculs et a été notamment utilisée par M. Darboux dans ses Leçons sur la théorie des surfaces.

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ D'uN SYSTÈME MOBILE. ^31

dw, dl(^ du,,

82. La forme linéaire de v.„ i\, v, en — > — "' •••> -^ conduit à quelques propriétés que nous allons faire connaître.

Si l'on effectue un déplacement dans lequel itj varie seul, les projections de la vitesse d'entraînement auront pour expressions

. dU;

,., X dUi

les sommes des quantités analogues représentent les projections de la vitesse dans l'hypothèse d'un déplacement quelconque; de là ce théorème :

Bam tout déplacement d'un corps dont la liberté est supérieure à 1, la vitesse d'entraînement est la somme géométrique des vitesses que l'on obtient en faisant varier séparément et successivement chacun des paramètres indépendants. Déplacemputs Proposons-nous encore de rechercher les lois de mouvement d'un ^ léductibles corps dont la liberté est n et qui soient telles que le mouvement des rotaiioiis. j^^|j(,Q-^jg^j tangent se réduise constamment à une rotation.

Il faudra, conformément aux résultats du numéro 33, page 105,

que l'invariant

pi 4- q-Ci + r:; = 0

soit nul, c'est-à-dire que l'on ait

*-i dU; xr^^ dU; v^ dU; y^ dUi

^ ' \ ■ V^ dUi yr^^ du-,

Posons

l'équation (li) devient, après multiplication par dt% « . (12) 21 ^'-^ ^ **' '^ "■'■ ~ ^'

Les déplacements du corps qui admettent une rotation tangente sont donc ceux pour lesquels les rapports dUf, duj vérifient l'équation précédente (12).

Les coefficients 3{\j qui figurent dans cette équation ont une signification immédiate; df^'),^,- est l'auto-moment du système de segments S,: qui représente les rotations quand on ne fait varier que u, avec

d u'i une vitesse -— - = 1 égale à l'unité; et 3{yj est le moment des deux

systèmes S,-, S^.

Observons que si l'on imprime au corps un mouvement continu tel que l'équation (12) soit constamment vérifiée, le mouvement admettra à chaque instant une rotation tangente; ce mouvement continu résultera alors, comme nous savons, du roulement d'une surface réglée sur une autre surface réglée applicable sur elle.

Mouvement d'un corps assujetti à quatre conditions.

83. Nous allons indiquer l'application de ces principes au mouvement d'un corps assujetti à quatre conditions et dépendant, en conséquence, de deux paramètres. Les points du corps décrivent alors chacun une surface et le problème se pose de construire la normale à chaque surface trajectoire. Un beau théorème dû à Schôneman et retrouvé par M. Mannheim, donne la solution de ce problème.

Formons, dans l'hypothèse de deux paramètres, l'équation qui définit les déplacements équivalents à des rotations, nous aurons

(13) 3{>n dul + 2 3{>ii du^ du^ + ,^,3 du] = 0. ■

du Cette équation donne deux valeurs pour le rapport — — ^ ; on peut,

dès lors, conclure ce théorème :

Quand un corps est assujetti à quatre conditio7is, parmi tous les déplacements de ce corps autour de Vune quelconque de ses positions, il y en a deux qui se réduisent à des rotations.

On observera que ^,j, 0<5ij, 5C,j sont des fonctions de u^, m,; si donc on fait un changement de variables portant sur les paramètres

Théorème

de MM.

Schônemann

et Mannheim.

Autre

démonstration

(lu théorème

précédent.