CII.\P. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ D'UM SYSTÈME MOBILE

t/j, «2, on pourra prendre comme nouveaux paramètres les intégrales de cette équation du second degré en du^ et du^, en sorte que les deux déplacements qui se réduisent à une rotation infiniment petite seront définis, l'un par l'équation du^ = 0, l'autre par l'équation dii.^ = 0.

Nous avons remarqué, du reste, au n» 82 que tout déplacement d'un corps dont la position dépend de n paramètres résulte des déplacements que l'on obtient en faisant varier successivement ces paramètres; donc, dans le cas actuel, comme ces déplacements partiels consistent chacun en une rotation, on pourra énoncer ce théorème :

Tout déplacement infiniment petit d'un corps dont la position dépend de deux paramètres résulte de deux rotations i7ista7itanées autour de deux axes Aj, A.^.

Considérons un point M du corps; dans la rotation autour de A,, le point M décrit un petit arc MM' normal au plan mené par M et par Aj. De même le plan mené par M et par A^ est normal en M au petit élément MM" décrit par le point M quand le corps subit une rotation élémentaire autour de A^. La droite MN, intersection de ces deux plans, est normale à la fois aux éléments MM', MM", c'est donc la normale à la surface que le point M du corps est assujetti à décrire. De là ce théorème :

Quand un corps est assujetti à quatre conditions, les normales aux surfaces trajectoires de ses points rencontrent toutes deux droites A^ Ag qui ne dépeyident que de la position actuelle du corps.

Ce théorème, trouvé d'abord en 1855 par Schoneman, a été donné en France en 1866 par M. Mannheim, qui en a fait la l)ase de plusieurs écrits insérés dans divers journaux scientifiques et notamment dans le Recueil des savants étrangers.

On peut donner de ce théorème une démonstration différente qui met en évidence le rôle des complexes et des congruences linéaires dans cette question.

Reprenons l'hypothèse générale où les deux paramètres indépendants Wj, «2 sont quelconques. Si l'on prend pour w^, u^ deux fonctions du temps, on obtient un mouvement dont les cléments du

mouvement hélicoïdal tanffent seront

du, du.

du, du,

''='>^-di ^l'dt'

du. du,

' dt ^'' dt

^ du^ ^ du, "^ dt '^^' dt'

du^ du, '''='''^ dt -^''- dt'

, du^ ^ ,^ du.

'' dt '^^' dt

Si l'on ne fait venir que u^, on obtiendra un mouvement hélicoïdal tangent auquel se trouve attaché un certain complexe linéaire G, ; si l'on ne fait varier que u^, on aura un autre mouvement hélicoïdal tangent auquel se trouve attaché un second complexe linéaire G^.

Gonsidérons un point M quelconque, la normale MN à la surface qu'il décrit appartient au complexe G,, car cette droite est normale à la trajectoire que décrit le point M quand u^ varie seul; pour une raison analogue, MN fait aussi partie du complexe Cj. On reconnaît ainsi que :

Lorsqu'un corps est assujetti à quatre conditions, les normales aux surfaces trajectoires des points de ce corps constitxient à chaque instant Vensemble des droites communes à deux complexes linéaires.

Cono-ruence 0^1 appelle congruence linéaire l'ensemble de ces droites. Or, on

linéaire. démontre aisément que l'ensemble des droites communes à deux

complexes linéaires est constituée par les droites qui coupent deux

droites fixes A^ Aj, lesquelles sont conjuguées à la fois dans ces

deux complexes.

Nous retrouvons donc ainsi, mais avec des compléments géométriques qui peuvent avoir leur utilité, la proposition de MM. Schônemann et Mannheim.

Quant à l'existence de ces deux droites A^, Ag que doivent couper toutes les droites communes aux deux complexes linéaires, on l'établit ainsi :

Les complexes G^, C^ ont pour équations respectivement (voir le no 17)

(iA^ ^ ^'^ "^ ^*^* '^ '''^ + ^iX + v)iY + ::,z = 0,

^ ■ ( Ih^ + ^sM + r,N + $,X + r,,Y + Ç,Z = 0;

l'équation suivante, où p est arbitraire}

{P, + ?Pi) L + (72 + p^i) M + (r, + pr,) N

^^^^ ' + (;, + ?!,) X + {r,, + prj Y + C, + pr,) Z = 0,

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ d'uN SYSTÈME MOBILE. 235

définit un complexe linéaire qui contient toutes les droites communes aux deux premiers.

Complexe Cherchons à déterminer p de sorte que ce complexe soit spécial,

spécial. c'est-à-dire que l'invariant

soit nul. Dans ce cas, les quantités

Pi + ?Pv lî + P'/i' ^'2 + P^'v ^j + P^n '12 + P^n ?î + ?"i

sont les coordonnées d'un segment (n^ li) et l'équation (15) exprime que la droite X, Y, Z, L, M, N, coupe la droite 1 qui porte ce segment. Un complexe spécial est ainsi formé de l'ensemble des droites qui coupent une droite donnée A. Maintenant l'équation (16) s'écrit

elle donne pour p deux valeurs, p', p" ; à chacune de ces valeurs correspond une droite A, ce qui fait deux droites Aj, Aj que doivent rencontrer les droites communes aux complexes proposés.

Ajoutons que si dans l'équation (15) on met p', puis p" au lieu de p, on obtient deux équations qui, tant que p' — p' n'est pas nul, forment un système équivalent au système (14).

Il en résulte que, réciproquement, toutes les droites qui coupent à

la fois Aj, Ag sont communes à nos deux complexes. On en concluia

immédiatement que l^ et Ag sont un couple de droites conjuguées

communes à ces deux complexes Cj, G^. On voit môme que quel que

soit p, les droites Aj, \ forment un couple de droites conjuguées par

rapport au complexe représenté par l'équation (15).

Contact d'une Considérons actuellement une surface S liée au corps, on prouve

surface avec ^^^ un raisonnement analogue à celui du no 46, que pour avoir le

son en\e oppe. ^^-^^^ ^^^ j^g points) de contact de la surface S avec son enveloppe, on

doit chercher sur S les points dont la normale coupe les deux

droites Aj, Ag.

Par exemple, si S est un plan, ce plan touche son enveloppe au point de rencontre des projections sur S des droites Aj, Aj. Foyers d'une On peut de même se proposer de rechercher les foyers d'une droite

droite d'une jj^g ^^ corps. Cette droite engendre, en effet, une congruence puigcongruence. , , , , ,

qu'elle dépend de deux paramètres.

Soient X, Y, Z, L, M, N les coordonnées de cette droite dam le tri'edre mobile.

■ Ces coordonnées sont des constantes.

Le lecteur prouvera aisément que les foyers se trouvent à l'intersection de la droite considérée avec la quadrique représentée par l'équation

a, + q^z - 1YJ, ^, + q^z — r^y, X

Du reste, si l'on voulait introduire ici les considérations du n" 78, page 220, il suffirait d'observer que les normales aux surfaces trajectoires des divers points de la droite proposée doivent couper, outre cetle droite 2), les axes de rotation ^^, Aj, en sorte que la quadrique que nous avons appelée Q est ici définie par les droites 2), ^i et ^^.

84. La géométrie des surfaces et des congruences offre un champ immense aux applications des mouvements à deux paramètres. Les formules de Godazzi, par exemple, rentrent dans les conditions d'intégrabilité (9) et (10).

Théorème Je me bornerai, pour terminer, à démontrer un beau théorème dû

de Ribaucour. ^ Albert Ribaucour et qui rattache le problème de la déformation des surfaces à l'étude de certains mouvements.

Les raisonnements qui nous ont servi à établir le théorème de Schonemann et Mannheim tombent en défaut si l'équation (13) ou, ce qui revient au même, l'équation (17) a ses racines égales, c'està-dire si

C'est le cas limite où les droites A,, \^ viennent se confondre. Il ne diffère pas essentiellement du cas général.

Il en est tout autrement si les équations (13) ou (17) sont des identité», c'est-à-dire si

3i\^ = 0, 5^.1, =:. 0, cW„ = 0.

Dans ce cas, les mouvements liélicoïdaux tangents se réduisent toujours à une simple rotation, et cela, quelle que soit la loi du mouvement.

Les équations 5^',i = 0, 3(^i = 0 expriment que les déplacements

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dans lesquels ti^ puis u^ varient seuls sont des rotations 0,, Q^ ; appelons Aj, \ les axes de ces rotations, dont {p^, qy, r^, ^j, y]^ i;,) (^25 ^2> ''2» ^2) '''lî-, C2) sont les coordonnées. L'équation 5^'jj = 0 exprime alors que ces axes Aj et 1^ se coupent.

Nous appellerons I leur point de rencontre et z leur plan commun.

Maintenant, les expressions

■ n ' 1 . , du. , du^ ,

ou 1 on a pose pour abréger Uy = — -' y u^ = — ? ? sont, quels que

soient u[, u'^, les coordonnées d'un segment Q porté par un axe A, et ce segment Q représente une rotation à laquelle est réductible le

mouvement tangent quel que soit le rapport —, • Or, il résulte des

expressions mêmes de ses coordonnées que le segment m est la résultante de deux segments portés par les axes Aj et Ag et qui sont égaux l'un au produit du segment Q^ par le nombre u[, l'autre au produit du segment Q^ par le nombre ii[. Le segment Q est donc issu du

u' point I dans le plan ::. Quand le rapport — J prendra toutes les

valeurs possibles, l'axe A décrira évidemment le faisceau plan (I, t:).

On peut même ajouter, remarque qui a son utilité, qu'en vertu du

principe de correspondance, le rapport anharmonique de quatre axes A

u' sera égal au rapport anharmonique des quatre valeurs de —7 aux-

quelles ils correspondent.

Considérons actuellement le point I; il dépend des deux paramètres Mj, u^ et décrit dans l'espace une certaine surface I,-; il décrit aussi dans le corps une surface I„, qui sera le lieu des points du corps avec lesquels le point I peut venir coïncider.

Le théorème de Ribaucour consiste en ce que les surfaces Ij et I„, sont tangentes l'une à Vautre au point I, le plan :: est leur plan tangent commun et enfin elles sont applicables l'une sur l'autre.

Supposons, en effet, qu'on prenne pour «j, u^ des fonctions quelconques du temps; le point I va décrire sur I,„ et sur I^deux courbes C„„ C/, C,„ sera sa trajectoire relative et C/sa trajectoire absolue. La vitesse d'entraînement du point I étant nulle, puisque, quel que soit

le déplacement, il est constamment sur l'axe instantané de rotation, il en résulte que sa vitesse absolue se confond avec sa vitesse relative. Les courbes G,,^ et Cy sont donc tangentes et roulent sans glisser l'une sur l'autre. Ceci étant vrai quelle que soit la courbe G„, que l'on obligera le point I à décrire sur I„„ on peut en conclure déjà que les deux surfaces ly, I,„ se touchent au point I,

Gomme de plus, puisqu'il n'y a pas glissement, à un arc de courbe C,„ tracée sur I,„ correspond un arc égal de la courbe Gy tracée sur ly, on voit que la correspondance ponctuelle qui existe entre les surfaces ïf, I,„ est de telle nature que les arcs correspondants sont égaux.

Les deux surfaces I/, I„, sont ainsi applicables l'une sur l'autre.

Soient x, y, z les coordonMées du point de rencontre I des axes des deux rotations p,, q,, )\, c,, r,,, 'C, et p^, q^, r^, E„ r,^, ç„ on a

?1 = — f^i^ + ^'iV^ ^a = — r^X + p,Z,

>'jl/,

r^x -j- p^Zj Lj —

Si nous écrivons alors les conditions d'intégrabilité nous trouverons

ày

'''du.

dx ''du.

dz ^'du.

dx ~''du.

dz ^'du,

^'du'

dx '^'du.

ày

^' du.

dz du.

dx dy Multiplions ces trois équations respectivement par - — ■> - — i

(/ lit 0 tf|

ajoutons et nous trouverons

du.

dUf

ày

du.

du,

du.

dx dy dz

en multipliant au contraire par -; — ■> -r— ,> -z — et ajoutant encore ^ du, dir du.