SYSTÈME MOBILE

ÔX

ày

dz

dii^

Ces deux équations expriment que le plan des deux axes est précisément le plan tangent à la surface I„, au point I.

Le théorème de M. Ribaucour ramène ainsi la question des surfaces applicables sur une surface donnée à l'étude de certains mouvements de cette surface. Le cas particulier où l'on fait rouler une surface sur sa symétrique donne lieu à des propositions analogues à celles que nous avons déjà rencontrées pour les courbes. Il est bon de dire ici que ce cas joue un rôle à part et qu'il semble échapper à la théorie qui fait l'objet du cas général.

Mouvements à trois paramètres.

Mouvements à trois

paramètres réductibles à des rotations

successives.

85. Les mouvements à trois paramètres ont été beaucoup moins étudiés que les- mouvements précédents.

Un corps qui a un point fixe et un corps dont un plan peut librement glisser sur un autre plan sont deux exemples de mouvements à trois paramètres. Dans ces deux cas une circonstance remarquable se produit : quelle que soit la loi de mouvement que l'on impose au corps, à chaque instant le mouvement hélicoïdal tangent se réduit à une rotation. Autrement dit, tout déplacement infiniment petit équivaut à une rotation.

L'équation

+ 2 ^^tjjdMidMj -t- 2 à{)^^du^du^ + 2 cfC^^^du^dii^ = 0

qui définit les déplacements infiniment petits réductibles à dos rotations est, dans ces deux cas, une identité, ainsi que cela se produit avec deux variables à propos du théorème de Ribaucour.

Il y a quelque intérêt à rechercher si ces deux mouvements à trois paramètres sont bien les seuls qui présentent cette circonstance.

Observons d'abord que l'on a par hypothèse ces six équations

SpVière

glissant

sur elle-même.

Plan glissant sur lui-mt'ine.

Mouvement d'une (Igure qui reste symétrique dune figure fixe.

cHU = 0.

Les trois premières expriment que les quantités (p^, Çj, r,, ^1» "^MJ '^i) (^25 7s? ^'ii ki, "Tit, 'Q (Pi, q„ î*3, Ça, vi3, Q sont les coordonnées de trois segments représentatifs de trois rotations autour d'axes Aj, Ag, A^. Les trois dernières équations expriment que ces axes sont deux à deux dans un même plan.

Or, si trois axes pris deux à deux sont dans un même plan, ou bien ces axes forment un trièdre, ou bien ils forment un prisme, ou bien ils forment un triangle. Car nous excluons le cas où les trois axes étant dans un même plan seraient concourants ou parallèles. On prouverait, en effet, que dans ce cas le nombre des paramètres indépendants ne saui-ait être égal à 3.

Nous allons donc examiner les trois hypothèses précédentes. La première hypothèse ne fournit pas d'autre mouvement à trois paramètres que celui dans lequel un point du coi'ps est fixe, ou ce qui revient au môme, dans lequel une sphère du corps glisse arbitrairement sur elle-même.

La deuxième hypothèse ne donne que le mouvement d'un corps dont un plan glisse sur lui-même.

Reste la troisième hypothèse.

Dans ce cas les axes des rotations instantanées doivent être contenus dans un même plan et y former un triangle. Or, on aperçoit tout de suite un mouvement qui remplit cette condition.

Supposons une figure F qui se déplace de telle sorte qu'elle soit, dans toutes ses positions, symétrique d'une figure Fj par rapport à un plan variable de l'espace. Comme la position du plan de symétrie dépend de trois coordonnées, nous aurons ainsi défini un mouvement à trois paramètres.

Or, soient F, F' deux positions de la figure; -, r: les plans par rapport auxquels elles sont respectivement symétriques d'une même figure Fj de l'espace. C'est une proposition de géométrie élémentaire facile à établir qu'on peut amener F sur F' par une rotation autour de la droite d'intersection des plans :: et ::', rotation dont l'amplitude est le double de l'angle de ces deux plans. On voit donc que tout déplacement infiniment petit de la figure F est équivalent à une rota-

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ d'uN SYSTÈME MOBILE. 241

tion infiniment petite autour d'un axe A situé dans le plan i: par rapport auquel F est symétrique de la figure fixe Fj.

Prenons, dans la figure fixe, un trièdre trirectangle Tj ; son symétrique par rapport au plan z est un autre trièdre trirectangle T. Chaque arête de T s'appuie sur l'arête homologue du trièdre symétrique et la coupe au même point que le plan ::, en sorte que T, ^^ déterminent sur le plan - le même triangle.

Réciproquement, si deux trièdres trirectangles T, Tj définissent sur un plan z le même triangle, on sait que ces trièdres sont symétriques par rapport au plan de ce triangle. On peut donc définir sans ambiguïté le mouvement qui nous occupe en disant que :

Un trièdre trirectangle T lié au corps est assujetti à s'appuyer par ses arêtes sur les arêtes d'un trièdre trirectangle ^^ fixe dans l'espace.

Si A, B, G sont les points d'appui des couples d'arêtes concourantes, les deux trièdres sont symétriques par rapport au plan ABC et toute figure F liée au trièdre T est symétrique, par rapport à ce plan, d'une figure F^ liée au trièdre fixe Tj.

Toute courbe G liée au trièdre T ne cesse de s'appuyer sur une courbe Gj liée à Tj et dont elle est la symétrique, etc.

Ce mouvement intéressant convient à notre troisième hypothèse. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu'elle ne comporte pas d'autre solution.

Si l'on vient à assujettir le plan t. à une condition, il enveloppe dans le corps mobile une surface fixe S, et dans l'espace une surface Sj dont S est la symétrique, en sorte qu'on obtient alors un mouvement à doux paramètres dans lequel une surface S roule sur une surface Sj dont elle est sans cesse la symétrique par rapport au plan tangent commun. Nous retrouvons ainsi le cas particulier de roulement de surfaces signalé à la fin du numéro précédent.

luiriVBr.

Cinématique. \ >> oar***