OC

Interprétées en coordonnées rectangulaires x, y, r, ces équations représentent la section plane d'une surface du troisième ordre, c'està-dire une cubique plane. Or, une cubique plane est une courbe elliptique, c'est-à-dire du premier genre, et les coordonnées de ses points sont des fonctions uniformes doublement périodiques d'un paramètre. On pourra donc représenter ainsi x, y, z, et par suite cos a, cos (3, cos Y, sin a, sin ^, sin y ; M- Darboux a développé ces calculs. La cubique devient vmicursale si le plan est tangent à la surface cubique. On trouve qu'il faut avoir pour cela une relation de la

forme

a±h±c±d=zO.

Comme il est impossible qu'un côté égale la somme des trois autres, il faut que la somme des deux côtés a et d égale celle des deux autres

On peut supposer que a est le plus petit côté; alors d doit être le plus grand. On retrouve donc le cas limite déjà considéré. Le quadrilatère est alors constamment circonscriptible à un cercle.

Les quadrilatères qui ont plus de trois pivots à révolution complète correspondent aux cas où la cubique se décompose.

■epréscntation.

La méthode précédente fait correspondre des points imaginaires de la cubique à des positions réelles du quadrilatère.

On peut se proposer de trouver une représentation où les rapports de réalité soient conservés. Nous opérerons comme il suit : Autre Nous partons des équations

c? + a cos a + & cos p + c cos Y = 0, a sin a + & sin ^ + c sin y = 0,

«, h, c, d étant l'ordre de succession des côtés du quadrilatère.

Ces équations nous donneront cos y et sin y quand cos a, cos p, sin a, sin (3 seront connus. Or, nous tirons de ces équations

{d + a cos a + b cos ^f + (a sin a + 6 sin ^y = c%

ou encore

«2 .i. 52 c^ + ^2 ^ <2da cos a + 2cl& cos 3

{ + 2a& cos a cos ^ + 2a& sin a sin ^ = 0.

Il est clair qu'à chaque système de valeurs de sin a, cos a, sin p, cos (3 qui vérifient cette équation, il correspond une forme déterminée du quadrilatère. Si donc nous posons

(8) sma^i 5' cosx = ;j ^^ sin^^j— — ■,? cos3=— — ,,

^ '' 1+it^ 1 + ti* '^ i+v- 1+ ti-

en sorte que m, v sont liés par l'équation

a' + h^ — c^ + d' + 2ad • . -, + Ihd ■ -^

l + ^^^^ (1 + tO (1 -V v^) -^ ^ ""^ (1 -^ ^<') (1 + v^) - ^'

à chaque système de valeurs de m, i; vérifiant cette équation il correspond une forme déterminée du quadrilatère. Il faut observer que l'équation précédente admet à la fois les deux systèmes de solutions (w, v){ — M, — v), et que ces deux systèmes de valeurs fournissent deux quadrilatères symétriques par rapport à la droite AD, c'està-dire qui peuvent être amenés en coïncidence par une rotation de 180" autour de la droite AD.

Les formules précédentes reviennent à faire correspondre à chaque forme du quadrilatère un point d'une courbe du quatrième degré du genre 1, dont it, v seraient les coordonnées d'un point courant.

Posons, pour abréger,

a = — a+ h + c + d, ^=:a — b-\-c~{-d, y=za + b — c + d,

ix'==d^a — h — c, ^' = d + h — a — c, y'=:d + c — a — h,

réquation précédente rendue entière s'écrit

— By'm'v* + a^'M^ 4- [ia'u* + Sabuv + yz = 0, et en résolvant par rapport à v,

Aabu ± l^o (u)

où l'on pose

0 (u) = (a^'n^ + Y^) Oy'W — (Sa') + i6a^b''u\

Ces formules vont nous permettre de résoudre la question suivante : Avec des tiges de longueur donnée se succédant dans un ordre donné a,b, c, d, on a construit deux quadrilatères Q,,, Q^^, est-on assuré de pouvoir passer de Q^, à Qj par voie de déformation en faisant varier les angles d'une façon continue? Désignons par (tt^, Vg) (i<j, t\) les valeurs de ii, v, correspondant aux deux quadrilatères; il faudra qu'en suivant de proche en proche des valeurs de u, v vérifiant l'équation ci-dessus, on puisse passer du système de solutions {vq, Vq) au système (Uj, t\).

Considérons l'ensemble des nombres réels et soient p, q deux de ces nombres; ces deux nombres réels partagent l'ensemble précédent en deux, savoir : l'ensemble des nombres tous finis compris entre p et q, et en second lieu l'ensemble des nombres qui ne sont pas compris entre p et q. Les premiers nombres constituent une suite continue; on peut en dire autant des seconds malgré que l'infini en fasse partie, et à la condition de ne point regarder comme une discontinuité le passage brusque de — 00 à + 00 ou inversement. Cette conception est, comme on sait, en harmonie avec une multitude de faits géométriques; nous allons l'utiliser ici en observant que le passage par l'infini de u ou de v est un fait secondaire qui ne correspond à aucune discontinuité dans la déformation du quadrilatère. De même on peut dire que quatre nombres réels p, q, r, s partagent l'ensemble des valeurs réelles en

quatre ensembles pq, qr, 7*s, sp; l'un de ces ensembles comprend l'infini; ils sont tous extérieurs les uns aux autres.

Ceci posé, si p, q, r, s sont les quatre racines de ç (u) = 0 supposées réelles, il est clair que, dans deux ensembles contigus, ç. (m) acquiert des signes contraires, tandis que o (u) sera positif dans deux ensembles non contigus. Si donc on prend ii^ dans l'un de ces ensembles, et u^ dans l'autre, il sera impossible d'aller de proche en proche de u^ en u^ en laissant o (u) positif, comme il doit l'être, et l'on pourra trouver deux quadrilatères Q^, Q^ irréductibles l'un à l'autre par voie de déformation. Il faut donc que ç (w) ait seulement deux ou même zéro racines réelles.

Or, nous allons montrer que la dernière hypothèse doit être écartée. Si, en effet, le radical ne s'annule pour aucune valeur réelle de u, il sera impossible de passer du système de valeurs (v, u) au système (u', u) où V et v' correspondent l'un au signe -h, l'autre au signe — • du radical. Il sera, par exemple, impossible de passer d'un quadrilatère Q(, à son symétrique par rapport à DA. En résumé, il faut donc que o (u) admette deux racines réelles, qui seront forcément égales et de signes contraires. Posons u^ =: U. Le trinôme du second degré

devra admettre une racine positive unique; l'autre racine sera donc négative, et par conséquent le produit des racines sera négatif. On eu conclut, a, ^, y, o, 7 étant positifs, la condition

On aura remarqué que les équations (4) d'où nous sommes partis ne tiennent pas compte de l'ordre des côtés du quadrilatère. La condition précédente est naturellement dans le même cas, et les côtés y figurent symétriquement. Supposons alors, pour fixer les idées, que a soit le plus petit côté et d le plus grand; (î', y' sont positifs d'eux-mêmes, et la condition ci-dessus se réduit à

Ainsi nous letombons sur la même différence qui nous a déjà servi de critérium dans la question des pivots.

Si cette condition est vérifiée, on constate aisément par les mêmes

raisonnements que ci-dessus que l'on peut toujours passer d'un ^ quadrilatère à l'autre par voie de variation continue des angles.

Si a' est nul, la courbe du quatrième degré devient unicursale et les cosinus et sinus des angles a, [3, y sont des fonctions rationnelles d'un même paramètre qui, par sa variation continue de — oo à + oc, fournira tous les quadrilatères possibles en passant de l'un à l'autre par voie de déformation.

Le seul cas, par conséquent, où il y ait deux catégories de quadrilatères irréductibles les uns aux autres par voie de déformation, est celui où la différence

est négative, c'est-à-dire les quadrilatères qui admettent deux pivots à révolution complète, et non circonscriptibJes à un cercle.

Transforma- 90. Supposons que dans un quadrilatère articulé ABCD on fixe tion des ,^,^6 tige AD; on peut alors faire abstraction de cette tige et se con-

, , ^. " tenter de porter l'attention sur les pivots fixes A et D. Les autres

de rotation au ^ ^

moyen de tiges AB, BC, CD constituent alors ce que les Anglais ont appelé quadrilatères u^ trois-harres. Dans la pratique, les tiges AB, DG portent le nom de manivelles ; BC est la bielle.

Si A et D sont des pivots à révolution complète, quand la tige AB tournera continûment autour du point A, la lige DG tournera continûment autour de D. L'appareil transforme ainsi un mouvement de rotation continu autour de A en un autre autour de D.

Si A étant toujours à révolution complète, le pivot D était au contraire à révolution limitée, une rotation continue autour de A se transformerait en une rotation oscillatoire ou alternative autour du pivot D. Ou réalise alors avec l'appareil la transformation d'un mouvement circulaire continu en un mouvement circulaire alternatif.

Enfin, en toute hypothèse, un mouvement circulaire alternatif autour de A se trouvera transformé en un mouvement circulaire alternatif autour de D.

Cependant si A est à révolution limitée et D à révolution complète, et si l'oscillation autour de A embrasse toute l'étendue de la révolution limitée, qui peut être accomplie autour de ce pivot, la tige DG tournera continûment autour de D et l'appareil permettra de trans-

former le mouvement oscillatoire autour de D en un mouvement continu autour de A.

Ainsi on peut, au moyen du trois-barres, réaliser la transformation d'un mouvement circulaire continu en un mouvement circulaire continu; d'un mouvement circulaire continu en un mouvement circulaire alternatif et inversement; enfin, d'un mouvement circulaire alternatif en un autre mouvement circulaire alternatif, et le tout autour d'axes parallèles.

L'application des inégalités (1) ou (2) permettra, dans tous les cas, de définir la nature du mouvement ou inversement de construire un système qui transforme l'un dans l'autre deux mouvements donnés.

Il y a lieu d'observer qu'en dehors du cas du parallélogramme (où

il est égal à l'unité) le rapport — des vitesses angulaires des tiges

(i) AB, DG est variable.

La tige CB s'appuyant par ses extrémités sur les cercles de centres

A, D et de rayons XB = a, DC = c ffig. 66), le centre instantané de

rotation est le point de rencontre I des rayons prolongés AB, DG; si

l'on appelle e la vitesse de rotation instantanée autour de I, w, w' les

• Fig. 00.

vitesses angulaires autour de A, D, les vitesses de B, G auront chacune deux expressions : aw = BI . e pour B et cw' = GI . e pour G; on en peut conclure

a.o) BI ou

o>' n CI ^~c ' Bl'

Cinématique. 17

BI