CHAPITRE XII
Le déplacement comme cas particulier d'homographie.
100 Les transformations homographiques comprennent les déplarrro-L cernent; comme cas particuliers. Prenons d'abord 1'exen.ple d'une surelle-rné.ne. j^.^j^^ ^j glisge sur elle-même d'une longueur a. Soit II un plan normal à cette droite et x la dislance, avant le glissement, d'un po.nt M de la droite au plan fixe II. Après le glissement, le point M se sera éloigné de la quantité a et la distance x, de sa nouvelle position Mj au plan II sera devenue (•,) x, = x-\-a.
Le point M. est ainsi, sur la droite considérée, l'homologue du point M dans l'homographie particulière représentée par la for-
mu1e(l). .11
Celte homographie est particulière, car, en gênerai, dans une homographie reliant les points d'une droite, il y a deux points de coïncidence, c'est-à-dire qui coïncident avec leurs homologues.
Pour certaines homographies spéciales, ces points de coïncidence sont confondus. C'est ce qui a lieu ici, car l'unique point de coïncidence est le point à l'infini sur la droite.
Identité dos
lormuies .[ui Wlouvement d'une figure plane.
ropréscntciit
déplacement iQ!. Examinons le cas du déplacement d'une figure plane dans
aveccellesdun .op^ plan,
cl.ungementdc • Il ^^^^ rectangulaires lixes; M un point de
cooidonuco. ooieiiL v^f^p ^Ui
CHAP. XII. — CAS PARTICULIER D'ilOMOGRAPIIIE. 309
la figure mobile et Mj la position qu'occupe le point M après le déplacement. La correspondance entre les points M et Mj est une homographie.
On s'en rend compte de la façon suivante. Imaginons deux axes rectangulaires liés à la figure mobile et coïncidant avec 0^x^, 0^y^ avant le déplacement.
Après ce déplacement, ces axes sont venus occuper une certaine position Ox, Oy. Les coordonnées x, y du point M par rapport aux axes 0^x^, O, j/t sont évidemment les mêmes que les coordonnées du point M, par rapport aux axes Ox, Oy, attendu que ces axes et le point Mj sont liés invariablement entre eux.
Si donc nous désignons par x^, y^ les coordonnées du point M, par rapport aux axes Oj^j, 0^y^, on voit que x^, y^ devront se déduire de X, y par les formules d'un changement de coordonnées, puisque (.Cj, y^) {x, y) sont les coordonnées d'un même point Mj par rapport à deux systèmes d'axes différents (OiCCj, 0^y^) et (Ox, Oy). Nous aurons ainsi
x^ = a + x cos 6 — y sm 0, y^ z=zh + xsinO + iy cos 6.
Si nous remplaçons x, y par -> -> et Xj, y^ par^> — nous
pourrons remplacer les formules (2) par les suivantes :
/ pXj = cosO.x — sin^. y + az,
(3) I pî/j =: sinO.x 4- cosO.i/ 4- hz,
où p est un coefficient de proportionnalité.
102. Ces formules rentrent évidemment dans le type général suivant :
/ pXj = ïx + niy + HZ,
(4) ] py^= V X + m'y -h n' z,
\ pz^ :=: Tx -f- m" y + n"z,
où l, m, n, V , m\ n' , l", m", n" sont des constantes, et qui convient à la transformation hornographique la plus générale du plan. d„no I^ y a généralement 3 points qui, dans une homographie plane
«omographie. donnée, coïncident avec leurs homologues. Si, en effet, dans les for-
TJNIVERS;
mules (4) on exprime que x^, y^, z^ sont proportionnels à x, y, z, on est conduit aux équations
iSoc = Le + my + nz, Sj/ ^ r X + m' y + n' z, ^ Sz = Vx + m'y + n' z,
dont la compatibilité exige que le déterminant suivant soit nul
Équation Cette équation (lu troisième degré en S est appelée Véquation
caracteiistiqiip caractéristique de l'homographie.
Les racines de l'équation caractéristique présentent vis-à-vis d'une transformation linéaire, équivalente, comme on sait, à une transformation de coordonnées, la propriété d'invariance.
Supposons, en effet, que les formules de transformation s'écrivent
/' X = a^ -h ^y 4- Yc
(7) Y =a'x'.-^- ^'y -^ y'r, ( Z zr: y."x -\- ^" y ^- y" Z ,
en sorte que l'on tire de ces équations AX 4- A' Y -I- A"Z
ex
G'Y-f- CZ
BX + B'Y -f R'Z
où A est le déterminant 2^ ± a (S' y" et A, B, G, ... ses mineurs.
Les formules (4), qui représentent l'homographie, vont se transformer dans les suivantes :
pX, = LX -I- MY -i- NZ, p\\ = L'X + M'Y -^ N'Z, pZj =L'X + M'Y-t-N-'Z,
où Xj, Yj, Z, ont les expressions suivantes, qui se déduisent de (7) en remplaçant x, y, r par x^, y^, z^,
/ Xj = ax^ -f- Hy^ + Y"n
a'Xj + 1^'//, + v'm,
!i"yi + Y"-f
CHAP. XII. — CAS PARTICULIER d'iIOMOGRAPIIIE. 311
Or, de la première de ces équations on tire, en tenant compte des équations (4) et (8),
IpXj =z ci.(lx + my + nz) + ^ {V x + m'y + n'z) + Y (V'x + 7n"y + n"z) = LX + MY + NZ, pY, = a' {Ix + my + nz) + ^' {V x 4- m'y + n' z) ^''^ ' + y' {l"x + m" y + n"z) = L'X + M' Y + N'Z,
pZj = a" (ix + m»/ + nz) + (S" (r^c 4- m' y + n' £) \ , + v" (r'a) + m'y + n"z) = L"X + M"Y + N"Z.
Au moyen de ces identités, si l'on y remplace x, y, z par leurs valeurs (7)', on aura aisément les constantes L, M, N, L', M', N', L", M", N". Mais ces identités vont nous suffire.
Des équations (5) on tire, en effet, en les ajoutant après les avoir multipliées par a, [3, v,
S (xx + ^y -+- -rz) r= X {Ix + my + nz) -\- ^ {V x -\- m' y -\- n'z) + Y {l"x + î^*"?/ + n"z),
ou d'après la première identité (9) et la première des équations (7)
SX=LX +MY +NZ, et de môme
SY=i;X + M'Y + N'Z, SZ=:L"X + M"Y + N"Z.
Telles sont les équations transformées des équations (5). On en déduit que S, qui est racine de l'équation (6), est aussi racine de l'équation
qui n'est autre que l'équation caractéristique avec les nouvelles variables X, Y, Z. On voit par ce qui précède que cette équation a les mêmes racines que l'équation (6), pourvu que l'on y prenne pour L, M, N, L', M', N', L", M", N" les valeurs constantes qui se prêtent aux identités (9). Si l'on multiplie ces coefficients par une même constante k, il est clair que les équations (8) introduisent dans Xj, Y,, Zj un même facteur; l'homographie n'est pas altérée, mais les racines de l'équation (10) sont alors multipliées par k. Il convient de remarquer que les quotients de ces racines demeurent en
tous cas invariables. Si, par exemple, une racine est douMe, un de ces quotients sera égal à l'unité dans (6) et par conséquent aussi dans (10), quand même on aurait multiplié L, M, N, ... par un même nombre; le fait d'une racine double est donc indépendant des coordonnées et de l'introduction d'un facteur dans les coefficients L, M, N, ...; de même pour une racine triple.
Cette remarque préalable relative à l'invariance des rapports des racines de l'équation caraclérislique permet de simplifier notablemont l'exposition de la réduction des homographies à leurs types canoniques.
On doit encore observer que le système des équations (5) en ,c, y, : ne se réduit jamais à une seule équation si S est une racine simpl(; de (6).
Si, en effet, les équations (5) se réduisent à une seule, les mineurs de (6) sont nuls identiquement pour la valeur correspondante de S. Or, la dérivée du déterminant (6) est une fonction linéaire homogène de ses mineurs. Donc, s'ils étaient tous seuls, la dérivée serait nulle et S serait racine multiple.
Ajoutons enfin que l'équation (6) ne saurait admettre une racine nulle, car alors le déterminant des équations (4) serait nul et nous ne pourrions plus résoudre ces équations par rapport à x, y, z en •^^15 UiJ "i 5 nous n'aurions plus une transformation homographique.
Discussion Ceci étant posé, supposons d'abord que l'équation caractéristique
*^^^ n'ait que des racines simples. Les équations (5) font correspondre
," ' ' ^ chacune d'elles un point différent, ce qui fait en tout trois points
Pj, P^, P:j, possédant la propriété de coïncider avec leur homologue.
Nous allons montrer que ces points forment un triangle ou que le
point P3 ne peut être sur la droite PjPj.
En effet, l'homologue d'une droite joignant deux points s'obtient en joignant par une droite les homologues de ces deux points. Ici donc la droite P^Pj est sa propre homologue, en sorte que si M décrit cette droite, son homologue M' la décrit aussi; de plus M et M' se correspondent homographiquement. Or, on sait que dans toute homographie qui ne se réduit pas à une identité (nous entendons par là le cas limite où tout point M serait son propre homologue sur la droite considérée), il y a seulement deux points de coïncidence possibles; or, P,, P, sont ces deux points; donc, comme P., se corres-
CIIAP. XII. — CAS PARTICULIER D'HOMOGRAPHIE. 313
pond à lui-même dans l'homographie plane, il ne peut être sur la droite PtPj.
Puisque Pj, P^, Pj forment un triangle, on peut, par une transformation telle que (7), le prendre comme triangle de référence; les équations de l'homographie prendront la forme (8). Seulement, comme X, doit s'annuler avec X, Y,, avec Y et Zj, avec Z, attendu que les côtés du triangle de référence se correspondent à eux-mêmes, on voit que les formules (8) se réduisent à la forme
(A) pX,=LX, pY, = M'Y, pZ,--:=N"Z.
Telle est la forme canonique que peut recevoir l'homographie plane la plus générale.
Passons au cas où l'équation (6) aurait une racine multiple.
Dans tous les cas, à cette racine multiple il correspond au moins un point Pj qui coïncide avec son homologue. Les droites issues do Pj ont pour homologues des droites issues de P,, et la correspondance entre ces droites étant homographique, il existe au moins une droite issue de P, qui coïncide avec son homologue. On prendra cette droite pour côté Z = 0 du triangle de référence et pour Y = 0 une autre droite issue de Pj, le troisième côté X = 0 restant arbitraire. Alors les formules (8) devront être telles que le côté Z r=: 0 se corresponde à lui-même ainsi que le point Y = 0, Z =: 0. Gela nous donne L' = L" == M" = 0, en sorte qu'il reste
/ pX, =:LX 4- MY -f- NZ,
(11) pY, = iM'Y + N'Z, ( pZi = N"Z.
Le système (5) devient ici
( (L — S) X 4- MY + NZ = 0,
en sorte que l'équation (6) s'écrit
Supposons maintenant que S = L = M' soit racine double et S = N" racine simple.
Il y a, outre le côté Z = 0 du triangle de référence, une droite
issue de Pj qui coïncide avec son homologue. On lire, en effet, des formules (12) la relation
ce qui prouve que la droite
se correspond à elle-même.
On peut supposer que l'on a pris pour Y = 0 cette droite même, ce qui revient à supposer N' = 0.
Enfin, on peut supposer que l'axe X = 0 passe par le point de coïncidence Pg, autre que Pj et qui correspond à la racine simple N'. Pour S = N" les équations (12) deviennent, en se souvenant que N' = 0,
Pour que X = 0 soit une solution, il faut et il suffit que N = 0, Ainsi avec ce choix du triangle de coordonnées les équations de l'homographie deviennent
l pXi = LX + MY,
(B) pY, =LY,
( pZj =N"Z.
Cas singulier Tant que M n'est pas nul, les équations (11) ne sont indéterminées delliomologie. j^j ^q^y S = L, ni pour S = N". Mais si M = 0, les équations sont indéterminées pour S = L, en sorte que dans l'homographie
(pX, = LX,
(C) pYi = LY,
( pZ. =N"Z,
tous les points de la droite Z = 0 se correspondent à eux-mêmes; de plus, toutes les droites issues du point X = 0, Y == 0 se correspondent à elles-mêmes. L'homographie du type (C) n'est autre que Vhowologie.
Le cas où l'on aurait L = N" et où M' serait la racine simple conduit aux mêmes conséquences et avec des notations différentes.
CHAP. XII. — CAS PARTICULIER d'iIOMOGRAPIHE. 315
Reste le cas où la racine L est triple.
Nos formules ont le type (11), seulement on a L = M' = N'.
En sorte que les formules s'écrivent
/ pX^ = LX + MY + NZ,
(14) pY, = LY + xN'Z, ( pZ^ =LZ.
Faisons le changement de variables
/ X' =aX + 3Y + vZ,
(15) Y' = aY + ixZ,
on aura
pz; = pZ.:=.Lz
pY; = paY, + pr;.Z, = X [LY + N'Z] + y.LZ
= LY' + XN'Z' pX; = paX, + p3Y\ + pvZ, = L (aX + gY + ^Z)
+ Ma.Y + (Na + N'g)Z = LX' + ^ (Y' — IJ.Z') 4- (Na + N' ^) Z'
