LX

^"Y'^-[Na4-N'(i-^^M]z'.

Il faut, pour que la transformation de coordonnées (15) soit légitime, que le déterminant de la substitution, Xa, soit différent de zéro. Mais en général, on pourra choisir a, (3, À, ;/ (Xa étant différent de zéro), de sorte que l'on ait

(Na + N'^)-k — a\jMz=zO.

Il n'y aurait exception que si M et N' étaient nuls en même temps. Ce cas mis à part, on voit qu'on peut toujours supposer que N = 0, et alors les formules deviennent

/ pX, = LX + M Y,

(D) J pYj =LY 4- N'Z, ( pZ, =LZ.

Si M et N' s'étaient trouvés nuls, on aurait la forme

pX, = LX + NZ,

(E) ?Y, =LY, ( pZ. =LZ.

Mais ce cas rentre dans le cas (D) où l'un des coefficients ^I ou N' serait nul.

Ce cas (E) rentre aussi dans le cas (B) où l'on supposerait N'' = L.

Le cas (E) est donc un cas limite de l'homologie.

On voit, en effet, que tous les points de la droite Z == 0 se correspondent à eux-mêmes et que deux points homologues quelconques sont constamment alignés sur le point Y = 0, Z = 0. Nous sommes donc dans ce cas d'homologie où le centre dlxomologie est situé sur l'axe d'homologie.

Si cet axe est rejeté à l'infini, toutes les droites homologues sont parallèles et toutes les droites de jonction des points homologues sont parallèles entre elles.

Soient dès lors (M, M')(N, N') deux couples de points homologues; les droites MM' et NN' sont parallèles; les droites MN et M'N', qui sont homologues, sont également parallèles et par suite la figure MM'N'N est un parallélogramme. Il en résulte que les côtés opposés MM' et NN' sont égaux. On voit donc que l'on construira l'homologue N' d'un point quelconque N en construisant le segment NN' équipollent au segment fixe MM' ; l'homographie consiste ainsi, dans ce cas, en une simple translation.

La réciproque est évidente, toute translation est une homologie dont l'axe et le centre sont rejetés à l'infini.

103. Nous allons maintenant montrer que tout déplacement qui ne se réduit pas à une translation est une homographie du type général.

Prenons, en effet, les formules (3) qui définissent en coordonnées homogènes un déplacement quelconque.

Si l'on cherche les points de coïncidence, on sera conduit aux équations

, . ^A(cos^—S)x— sind .y + az=0, sin6.x + (cos6 — S)i/4- tï=0 (^^)î (1-S)c=0,

et l'équation caractéristique s'écrit

(1 S) [(S — C03 6)* 4- sin'e] = 0.

La racine S = 1 est simple tant que 0 est différent de zéro, mais si 6 = 0, on est dans le cas d'une simple translation, que nous venons d'étudier.

nUAP. XII, — CAS PARTICULIER D'hOMOGRAPHIE. 317

Si donc 0 n'est pas nul, les formules (16) nous donneront |)our S = 1 un point à distance finie qui coïncide avec son homologue. C'est le point autour duquel il suffit de faire tourner la figure pour l'amener d'une position dans l'autre. On sait, du reste, que 0 est l'angle de rotation.

i^renons maintenant les deux autres racines

S == cosO ± 1 sinO = e-'^,

qui ne seront égales, le cas de 0 = 0 exclu, que si 9 = r.

Les équations (16) nous donnent alors z r= 0, ce qui prouve que les deux autres points doubles sont à l'infini.

Supposons que 0 ne soit pas égal à z ; alors les deux autres équations se réduisent à

y cosO — S

X sinô ~ '

les deux points de coïncidence sont donc les points circulaires à l'infini. Ainsi un déplacement plan est une homographie dans laquelle les points circulaires à l'infini sont chacun leur propre homologue.

On observera que dans le cas actuel Sj = 1, S, = c®, S3 = e-'^ sont les trois racines de l'équation caractéristique. Or, considérons d'une façon générale une homographie rapportée à son triangle P, P,P3, dont les sommets sont les points de coïncidence.

Si S,, Sj, S3 sont les trois racines de l'équation caractéristique, les équations canoniques de l'homographie s'écrivent, comme on le constate sans peine d'après la propriété d'invariance,

( pX, = S,.X,

pY. =S,.Y, l fZ, =S,.Z.

Considérons la droite Y = XZ issue du sommet P, (Y = 0, Z = 0), on a identiquement

s. (Y - aZ),

ce qui prouve que la droite Y — / ' ' Z = 0 est l'homologue de la première. Elle est avec elle en correspondance homographique et

PjPj, PjPs sont les rayons doubles de celte homographie, le rapport

Enharmonique de ces deux droites homologues et des deux rayons

doubles doit être constant; il est, en effet, égal à ^' Ainsi -? est la

valeur du rapport anharmonique V^ (D' , D, P^, P3) de deux droites homologues D, D' issues de P^ avec les droites doubles également issues de Pj.

Conception Appliquons ceci au cas du déplacement; nous considérerons une

projuciive des droite D issue du point double P, situé à distance finie et l'homologue

an;rles, o

D' de D, qui est aussi issue de P, et fait avec D, l'angle 6; ^ sera le

rapport anharmonique p que forment D' et D avec les droites isotropes issues de P^.

S Or, on a trouvé Sj =: e'^, S3 = e~'^, donc ^ = e-'^, d'où

(17) O = ^logp.

On retrouve ainsi la définition projective, due à Laguerre, de l'angle de deux droites : c'est le quotient par 2i du logarWime népérien du rapport anharmonique que forment ces droites avec les droites isotropes issues de leur point de concours. Symétrie Lorsque l'angle 6 est égal à t., l'équation caractéristique admet la

pat- rapport a racine double — 1. Mais alors le système des équations (16) se réduit à z = 0. Chaque point de la droite de l'infini se correspond à lui-même; nous sommes dans un cas particulier d'homologie, celui où cette transformation se réduit à une symétrie par rapport à un point fixe. Ici encore, du reste, les points circulaires à l'infini sont leurs propres homologues comme tous les autres points de la droite de l'infini.

Remarque, Nous terminerons par une dernière remarque.

Dans tout déplacement qui ne se réduit pas à une translation, les cercles qui ont leur centre au point de coïncidence sont leurs propres homologues.

Or, une homographie, en général, ne possède pas la propriété de transformer aucune conique en elle-même.

En fait, les trois racines de l'équation caractéristique sont ici 1, e'^, e~*^ ; cette équation est donc réciproque. C'est là un cas particulier d'une proposition plus générale établie par M. Camille .lordan dans

CIIAP. XII. — CAS PARTICULIER d'hOMOGRAPHIE. 319

un beau mémoire inséré dans le Journal de mathématiques, tome IV, série IV, sous ce titre : Sur les transformations d'une forme quadratique en elle-même.

Dans le cas d'une translation, les cercles se réduisent à des droites parallèles à la translation.

Déplacement d'une figure dans Tespace.

104. Nous venons de voir que tout déplacement d'une figure dans un plan est une homographie du type général, dont l'équation caractéristique est réciproque.

Dans le cas d'un déplacement dans l'espace, il n'en est pas tout à fait de même.

L'équation caractéristique, qui est alors du quatrième degré, possède toujours, s'il s'agit d'un déplacement, une racine multiple.

D'abord, un raisonnement analogue à celui du n^ 101 nous prouvera l'identité de la représentation analytique d'un déplacement avec les formules ordinaires de la transformation des coordonnées.

Soient, en effet, T^ un trièdre fixe et x, y, z les coordonnées, par rapport à T,, d'un point M d'une figure dans une première position. Après un déplacement de la figure, le point M occupe une position Mj dont x^, y^, -^ seront les coordonnées.

Imaginons un trièdre lié à la figure, qui coïncide avec Tj dans la première position et qui soit venu dans la position T après le déplacement. Gomme le point M est lié invariablement à ce trièdre, les coordonnées de Mj par rapport au trièdre T seront les mêmes que les coordonnées de M par rapport à T^, c'est-à-dire x, y, z. Ainsi x, y, z et Xj, 1/j, z^ sont les coordonnées d'un même point M, par rapport aux trièdres T et Tj ; on passera donc des unes aux autres par les formules ordinaires de transformation des coordonnées

ioCj =: « + arc + x'// + a"z, "i = C + yx- + y'.'/ + y"^'

Observons de plus que puisque T coïncidait originairement avec T,, savoir 0.c avec 0,.-c,, Oy avec 0,2/,, Oz avec 0,z,, le déter-

liemarquos générales sur Ihomograpliie dans l'espace.

minant

est égal à + 1 .

Par l'introduction de variables homogènes on peut écrire les équations (18) sous la forme

I pa-j = txx + a' y -\- az + at, (19) py^ = px + ^'y + ^^'z-hbt,

yx ■+- y'y + y"" + et,

105. Ces formules rentrent dans le cas plus général d'une transformation homographique de l'espace.

^x^ =: Ix + my + nz + pf,

^y^=LV X -\' m' y + n' z -^ p' t,

pz^ = l"x + m" y + n' z + p"t,

pf, = r'x + m'" y -h n"'z -+- p"'t;

Si l'on cherche, comme on a fait pour le plan, les points de coïncidence, on se trouve amené aux équations

(l — S) X + 711 y + nz + pt =0,

\ V X -h {m' —S)y+n'Z'hp't= 0,

I V'x + m'y + in" — S) z + p7 =0,

dont la compatibilité exige (jue S soit racine de l'écfuation du quatrième deffré

qui reçoit ici encore le nom d'écjuation caractéristi({ue.

On démontrerait encore que les quotients des racines sont des invariants absolus, indépendants dos coordonnées, indépendants au.ssi d'un facteur par lequel on multiplierait les coefficients l, m, n, ... dans les formules (20).

Il y a généralement quatre points de coïncidence ou points doubles et la discussion, ainsi (jue la réduction aux formes canoniques s'ef-

CHAP. XII. — CAS PARTICULIER d'hOMOGRAPIIIE. 321

fectuent par les mêmes procédés que nous avons employés plus haut pour le cas de trois variables.

L'équation caractéristique peut avoir ses quatre racines inégales : une racine double, deux racines doubles, une racine triple, une racine quadruple.

Ces divers cas donnent lieu aux diverses classes d'homographies dans l'espace à trois dimensions, s particulier Appliquons ceci aux formules (18) où il faut se souvenir aue a, a , a , ... verihent les relations connues qui équivalent à l'identité

d'un éplacement

(23) (xx + a'y + a'zy + (jBcc -f- ^' y + p'z)*

+ (y as + y' y + y'zy r= x* + y- + z», avec

On sait que, dans ces conditions, tout terme du déterminant (24) est égal au mineur correspondant.

L'équation caractéristique s'écrit alors

a — Sa' a'

Or, le déterminant se développe ainsi

- KP'y' - Y'n + (Ya" - aY") + (a^' - ^a')] S a a' a' ?> 3' ^" Y y' y'

et en se souvenant que a = ^'y" — ^ ^\ ... et que le déterminant des neuf cosinus est égal à + 1, on voit que le déterminant s'écrit

et, par conséquent, l'équation caractéristique sera

(25) (S - iy [S' - (a 4- ^' + y") s + 1] = 0.

On voit qu'elle a toujours deux racines égales à + 1. Cinématique. 21

Si nous formons d'autre part les équations (21), nous trouvons (a — S)x+ a'i/ + a.''z + at = 0,

pcc + (^' -S)j/4- ^"z + ht = 0,

yx + y'î/ + (y" — S)^ + et =0.

Si l'on prend S = 1, la dernière équation devient une identité et les trois premières donnent en résolvant :

-la' a"

Cas de l'indétermination.

Le déterminant, qui est en dénominateur de t est nul, donc si les trois autres ne le sont pas, on a f =r 0, et par suite le point de coïncidence correspondant à la racine S = 1 est rejeté à l'infini.

Si l'on prend maintenant les deux autres racines qui sont en général simples et distinctes de 1, la dernière des équations (26) est

et donnera t = 0, puisque 1 — S n'est pas nul. Donc les points de coïncidence qui correspondent à ces racines simples sont aussi à l'infini. Ainsi, dans l'homographie qui correspond à un déplacement d'un corps solide il n'y a pas en général de point double (ou de coïncidence) à distance finie.

Ce résultat est en concordance avec cet autre que nous connaissons déjà, que dans le déplacement infiniment petit d'un solide, il^ n'y a pas en général de point à distance finie dont la vitesse soit nulle.

Pour que les équations (27) pussent fournir un point à distance finie, il faudrait que tous les déterminants qui sont en dénominateurs de X, y, z fussent nuls, auquel cas le système des équations (26) serait indéterminé et se réduirait à deux équations distinctes. Il y aurait donc alors une droite dont tous les points coïncideraient avec leurs propres homologues. Le déplacement se réduirait à une rotation autour de cette droite.