CHAP. XII. — CAS PARTICULIER D HOMOGRAPHIE
Dans le cas d'un déplacement infiniment petit, nous nous trouverions avoir ce que nous avons appelé une rotation tangente. Forme Dans tous les cas, il y a un point à l'infini correspondant à la racine
canonique double S = 1, qui est un point de coïncidence. On peut supposer les léplacement ^^^^ tellement choisis que Oz coupe justement en ce point le plan de fini. l'infini. Alors les équations (26) sont vérifiées par t = 0, x = 0,
y = 0, ce qui entraîne a" = 0, ^" = 0, y" = 1 (on doit se souvenir I que S = 1).
P Les relations aa" + p|3" + y y" = 0, a' a" + p'^" + y' y" = 0
donnent alors y = y' = 0 et l'on peut poser
a = cosO,
= — sinO,
P = sin6,
= cosO,
Les équations (26) se réduisent alors aux suivantes, qui ne contiennent pas z.
(cos6 — 1) £c — sine.î/ +at=:0,
sinO.cc H- (cosô — 1) î/ + bi = 0,
et =0.
Si c n'est pas nul, ces équations sont distinctes et ne donnent qu'un point unique à l'infini, sauf le cas de 0 = 0 qui correspond à une translation et dans lequel tous les points du plan de l'infini correspondent chacun à lui-même (homologie spéciale comme dans le cas du déplacement plan). Dans le cas général où ni c ni 0 ne sont nuls, les équations (19) revêtent la forme
x^ = xcosS — î/sinô + a, Vi = ccsinO 4- î/cosO -f- h, z. = z + c.
Ces formules représentent un déplacement du plan xOy sur luimême, comme le témoignent les deux premières, accompagné d'un déplacement du même plan parallèlement kOz avec une amplitude c.
Le déplacement du plan sur lui-même équivaut à une rotation d'amplitude 6 autour d'un axe A parallèle à Oz. On voit donc que tout déplacement fini d'un solide peut être obtenu par une rotation autour d'un axe A accompagnée d'une translation parallèle au même axe.
Forme hélicoïdale
de tout
déplacement
fini.
Le cercle de l'infini et les déplacements.
Il est clair que le mouvement hélicoïdal qui s'effectuerait autour de A avec le pas h = - et l'amplitude angulaire ô, aurait pour effet
d'amener la figure d'une de ses positions à l'autre.
Le point de A, qui est à l'infini, reste invariable dans ce mouvement ; les deux autres points de coïncidence, qui doivent être fournis par les racines simples de l'équation caracléristique, sont les points circulaires à l'infini des plans normaux à l'axe A.
En effet, dans le déplacement de translation les points du plan de l'infini se correspondent chacun à lui-même et dans le mouvement du plan xOy sur lui-même les points circulaires de ce plan se conservent. C'est, du reste, ce que le lecteur établira aisément sur les formules (28).
Dans le cas particulier où c = 0 les équations (28) sont indéterminées et tous les points d'une droite perpendiculaire au plan Z = 0 sont leurs propres homologues. Le déplacement résulte d'une simple rotation autour de cette droite. Ce cas se présente forcément dans le déplacement d'une figure autour d'un point fixe.
Nous avons vu que les déplacements dans le plan sont des homographies qui conservent chacun des points circulaires à l'infini. De même, dans l'espace, tout déplacement est une homographie qui conserve le cercle de l'infini.
En effet, des formules (19) nous tirons
où P désigne abréviativement une fonction linéaire x, y,z,t; comme on a ç>t^ = t, on voit que les équations f = 0, x' -t- y* + z* = 0 entraînent les équations t^ = 0, oc^ -i- yl + zf = 0. Ce qui suffit à démontrer la proposition.
Cette propriété du cercle de l'infini dans un déplacement quelconque dans l'espace, comme celle des points circulaires pour un déplacement dans le plan, ouvre l'accès aux quantités complexes dans la représentation des déplacements, et c'est ce point que nous allons traiter, en commençant par le plan.
Recherche des ■ . f -• j i
homographies Lgs Imaginaipes dans la cinématique du plan.
planes
qui conservent ^^^ Puisque les déplacements dans le plan jouissent de la pro-
circSel priété de conserver les points circulaires, il est naturel de rechercher
CHAP. XII. — CAS PARTICULIER D'iIOMOGRAPIIIE. 325
d'une façon générale les transformations homographiques qui conservent les points circulaires à l'infini.
Observons que cette conservation peut avoir lieu de deux manières, soit parce que chacun de ces deux points se correspond à lui-même, soit parce que l'homographie les échange l'un dans l'autre.
Soit un système de coordonnées homogènes dans lequel as = 0, y = 0 représentent deux droites rectangulaires et z = 0 la droite de
OC ti
l'infini. Les quotients - = X, - = Y représentent les coordonnées
rectangulaires ordinaires. Posons aussi x -h iy = u, x — iy =z v
où i = y — 1 .
Enfin, x^, y^, Zj, u^, v^ seront les valeurs des coordonnées qui correspondent au point homologue d'un point donné ce, y, z, u, v.
Puisque les points circulaires se correspondent, la droite de l'infini est, dans les deux cas, son homologue. On aura donc, entre autres formules de transformation,
pz^ = z.
Si le point circulaire z = 0, w = 0 se correspond à lui-même, il faut que ces deux équations entraînent celles-ci z^ = 0, m^ = 0, ce qui exige qu'on ait
pu^■=z \u ■+■ \).z,
et de même pour l'autre point circulaire. Les formules de transformation peuvent donc s'écrire
/ pMj = Xu -+- y^Z, I pv^ == V V -f- i).'z, \ P^l =^- X XI
On en tire, en posant — = X^, — = Y, les formules
Zi z^
X, + iY„ = X (X -t- iY) 4- [/.,
X, — iY„ = X' (X — iY)4- [x'.
Posons
XX' = r% X = re'^ X' = re-*^ IJ, -H [x' = 2a, [x — [x' = 2t&,
il viendra
(30) î ^' "^ ^^' ~ ^^^ (X -+- iY) -^ a -+- ih,
^ ^ j Xi — iYi = re-'5 (X — zY) + a — i&,
d'où résulte
(^ X^ = r (cosô.X — sin6.Y) 4- a, ( Y^=: r (sinô.X + cosÔ.Y) + h.
Déplacement compliqué
d'une homothétie.
Homographies
qui échangent
les points
circulaires.
Si l'on se borne aux transformations réelles, c'est-à-dire qui font correspondre un point réel à tout point réel, r, 6, a, b sont réels et X', [a' sont imaginaires conjuguées de X, |j,.
L'interprétation de ces formules est évidente. Elles représentent un déplacement, accompagné (suivi ou précédé, comme on voudra) d'une homothétie dont le pôle est le point 0^ et dont r est le module de transformation.
Supposons maintenant que la transformation échange l'un dans l'autre les points circulaires.
Conservons les mêmes notations. On aura toujours pz^ = z, car la droite de l'infini est sa propre homologue.
Seulement, les équations z = 0, u = 0 entraînent z^ = 0,v^=0 et les équations z = 0, v = 0 entraînent z^ =i 0, u^ = 0. On a donc ici
pVj = X'w 4- ;x'z.
Si l'on revient maintenant aux coordonnées ordinaires, il viendra
X, + iYj = X (X — iY) -+- ;x, Xj — iYj = X' (X -^ iY) + [j.'.
Si dans ces formules on remplace Y par — Y, ce qui revient à prendre la figure symétrique de la proposée par rapport à l'axe 0^x^ dans sa position primitive, on retombe sur la transformation précédente. Renversement, Appelons renversement l'opération qui consiste à faire tourner de 180o une figure autour d'une droite ou, ce qui revient au même, qui consiste à prendre la figure symétrique d'une figure par rapport à une droite. On voit que l'on peut énoncer cette proposition :
Toute homographie qui échange les points circulaires à V infini dans le plan consiste en un renversement accompagné d'une homothétie et d'un déplacement.
Produit
de deux
homographies .
107. En appliquant à une figure F une transformation homographi- •ï*^^ H, nous obtenons une transformée que nous représenterons par HF.
CIIAP. XII, — CAS PARTICULIER D HOMOGRAPHIE.
Appliquons une seconde homographie H' à la figure H F, nous obtiendrons une nouvelle figure H' H F, qui se déduit directement de F par une homographie H" = HH' qui est dite égale sl\i produit des deux premières. Ce produit symbolique n'est pas commutatif en ce sens que HH' et H' H représentent en général des homographies différentes.
Considérons un ensemble de transformations homographiques définies par une propriété commune. On dit que ces transformations forment un groupe si le produit de deux quelconques d'entre elles est encore une transformation de l'ensemble.
D'après cela, les déplacements d'une figure dans un plan constituent un groupe de transformations homographiques.
Plus généralement, les transformations qui conservent chacun des deux points circulaires à l'infini forment un groupe, et ce groupe comprend celui qui est formé des déplacements.
Nous allons voir que le groupe des transformations homographiques qui conservent chacun des points circulaires à Vinfini est identique au groupe des transformations linéaires de la forme
Zj = wZ -H ?t,
où Z et Zj sont deux variables imaginaires et w, n deux constantes imaginaires.
Revenons, en effet, aux formules générales (31) qui sont équivalentes aux formules (30) et représentent un déplacement plan quelconque accompagné d'une homothétie. Ces formules (30), où nous supposons r, 9, a, h réels afin que la transformation soit réelle, peuvent être comprises dans une formule unique, à savoir la première, car la seconde s'en déduira par le changement de i en — i.
Nous poserons donc m = re'^, n = a + ib, Z = X + iYy !^, = Xj -h iYj et les équations (30) se trouveront condensées dans l'équation unique
Zj =:: wZ -+- n.
Si le module r de m est égal à 1, l'homothétie disparaît et le déplacement seul reste.
Si m lui-même est égal à 1, le déplacement se réduit à une translation.
Si m est réel, la transformation se réduit à une homothétie accompagnée d'une translation, etc.
Expre-sion de la vitesse d'entraînement.
L'introduction des variables imaginaires Z et Z, et leur représentation d'après la manière de Cauchy ramène ainsi à la théorie des transformations linéaires entières à une variable celle des transformations homographiques qui conservent chacun des points circulaires à l'infini.
L'emploi de la représentation de Cauchy offre, au langage près, la même méthode que le calcul des équipollences de Bellavitis. Sous la forme analytique que nous adopterons ici, elle a été développée par plusieurs géomètres.
Supposons que m, n soient des fonctions d'un paramètre f, qui sera la mesure du temps.
Si l'on prend le point de la figure qui est caractérisé par rapport aux axes mobiles xOy par son affîxe Z, l'affixe Z^ de ce point par rapport aux axes mobiles variera avec le temps et par une extension de mots, malgré qu'il ne s'agisse pas d'un simple déplacement, mais d'un déplacement accompagné peut-être d'une homothétie; nous appellerons vitesse d'entraînement la vitesse du point Z^ sur la courbe qu'il décrit. Si, par l'origine Oj des axes fixes on mène une parallèle 0,Vj à cette vitesse, l'affixe du point Y^, extrémité de ce segment, sera, par rapport aux axes fixes,
L'équation
dZ^ dm
nr^'dt
dm dn
'dt '^ 'di
dn 'dt'
Centre instantané.
fournira un point dont la vitesse d'entraînement est nulle et que nous appellerons encore le centre instantané. L'affixe absolue du point en question, c'est-à-dire son affixe par rapport aux axes fixes, sera donnée par l'équation Z, = mZ -+- n où Z sera remplacé par sa valeur tirée de (33), nous avons ainsi
dn
dm.
Ht
dm.
Ht
Accélération. Pareillement, la vitesse absolue de V, sera représentée par un
CHAP. XII. — CAS PARTICULIER d'hOMOGRAPIIIE. 329
Centre segment O^Vj dont l'extrémité V, a pour affixe absolue -—• Cette
d'accélération.
vitesse absolue de V^ est, du reste, l'accélération d'entraînement. On a donc le centre d'accélération en écrivant
(36) Zj = mZ + n =
d^ni
Traitons un problème où cette méthode donnera plus directement la solution que toute autre.
108. Exemple. — Cherchons les mouvements plans dans lesquels le centre iiistantané et le centre des accélérations décrivent deux courbes semblables, ea occupant au même instant des positions homologues sur les deux courbes.
On passe d'une figure à une figure semblable par une homothétie accompagnée d'un déplacement. Si donc Z[, %\ sont les affixes, par rapport aux axes fixes O^Xj, Ojj/j du centre instantané et du centre des accélérations, on devra avoir
(37) z; = az; + &,
où a, & sont deux constantes imaginaires. Or, Zj et ZJ sont donnés par les formules (34) et (36).
On peut donc écrire immédiatement l'équation différentielle qui exprime le problème
d'n d*m dn dm
,„^, dv dv dt dt
^ ' a wî. dm
di* ~di
Si a = 1 , il saute aux yeux que l'on passe de la courbe G lieu du centre instantané à la courbe G' lieu du centre des accélérations par une simple translation.
Si a n'est pas égal à 1, effectuons un transport d'axes équivalent à
l'addition aux affixes Z, d'une constante imaginaire k, on aura
et si l'on choit k de sorte que (1 — a) k^h, ce qui est possible si 1 — a n'est pas nul,
Z[ = az;.
Nous pourrons donc supposer b = 0 si a n'est pas égal à 1 et l'équation (37) devient
<Pn d^m d^m
