W~''^ IF IF
dn dm dm
^ dt ~ ^ ~dt 'dt
en intégrant il vient
dn dm . /dm\'*
dt dt
où A est une constante. Or, cela s'écrit
dt d'où
\mj 1 /dmY"
"" n? \dt) '
f/dmy dt n =: Am I I — — I • — r + Bm, J \dt / m* '
en sorte que la formule symbolique 7.^ =z mZ + n devient
En transportant les axes mobiles parallèlement à eux-mêmes, on pourra faire disparaître B; il restera donc
On traiterait de même le cas où a = 1.
Dans le cas particulier où m est de la forme e'^, et où 0 = wf, déplacement avec rotation uniforme, la quadrature s'achève et le problème peut être conduit jusqu'au bout.
CHAP. XII. — CAS PARTICULIER d'hOMOGRAPHIE. 331
Au lieu de supposer que l'on prend le lieu du centre instantané et celui du centre des accélérations dans le plan fixe, on pourrait se poser le même problème dans le plan mobile.
Alors les racines Z', Z" des équations (33) et (35) devront vérifier l'équation
V = aZ' + h,
c'est-à-dire
que
'on doit avoir
dn
dt*
dt
dm
dt*
dt
ou
d*n dt*
dt^ dm
dn 'dt~
d*m 11*' dt'
Cette équation s'intègre encore par quadratures, comme l'équation (38).
Si a est différent de 1, on trouvera, h pouvant être pris nul,
et si a 1= 1, il vient au contraire
(43) n = — bj (log-^j dm + Bm 4- G,
où A, B, G sont des constantes.
Supposons, en particulier, que l'on s'assujettisse à une rotation uniforme, on aura m = e'^, 0 = wt et w = constante. Dans le cas de la formule (42) il viendra
(42)' n = Ae'"^ + B
et dans le cas de la formule (42)
(43)' n=z — biO.e'^ -h Be'^ -h G.
Mais par un changement de coordonnées fixes ou mobiles on peut
réduire B et C à zéro dans les deux formules, et il reste
(42)" n = Ae'«^
Si l'on suppose, en particulier, que a soit de la forme a = qi où q est une quantité réelle, on trouve que le mouvement est celui d'une spirale logarithmique roulant sans glisser sur une droite avec une vitesse angulaire constante. Dans ces conditions, le centre de courbure de la spirale est précisément le centre des accélérations. Il en résulte donc que la spirale logarithmique possède la propriété de se réduire à sa propre développée par un mouvement (une rotation de 90" autour du pôle) accompagné d'une homothétie.
On a ainsi une solution particulière du problème posé et traité autrefois par Victor Puiseux dans le Journal de Liouville, trouver les courbes semblables à leur développée.
Les substitutions linéaires à une variable et les déplacements autour d'un point fixe.
Recherche 109. Nous avons vu que tout déplacement d'une figure dans l'es-
^^^ . pace est une homographie qui conserve le cercle de l'infini.
de l'espace Traitons le problème inverse et cherchons toutes les homographies
qui conservent de l'espace qui conservent ce cercle.
le cercle de Soient a;,y, z, t les coordonnées homogènes d'un point; x., y., z., t. l'infini. ,, , o .
celles de son transforme.
Nous supposerons que a; = 0, y = 0, z = 0 sont trois plans rectangulaires et t = 0 le plan de l'infini; dans ces conditions, comme le plan de l'infini est son propre homologue, une des équations de transformation sera
en sorte que les équations de l'homographie auront la forme suivante :
px^=:lx -hl'y .-hl'z + at, pj/j =: mx -h m'y 4- m'z + bt, pz^=nx + n' y + n"z + et,
pt, = t.
