CHAP. XII. — CAS PARTICULIER D HOMOGRAPHIE
Il faut exprimer que dans cette homographie le cercle de l'infini se correspond à lui-même ou que les équations t = 0, x* + t/* + z* = 0 entraînent t^ = 0 et x\ -+- y\ + z\ =0. 11 faut pour cela et il suffit que l'on ait une identité de la forme
(Ix -h V y + l" zY + {mx -\- m' y -h m" zf -\- {nx + n'i/ + n'z)* =. /i* (x- + t/* H- z^).
Posons alors
il viendra
(ax + a'y -I- a"zy + {^x+ ^'y + ^"z)«
+ (vx + y' î/ 4- y'^)* = x' -h 1/* + 2*.
On aura donc les identités caractéristiques des transformations orthogonales
( aa' + PP' 4- Yï' = 0.
Il convient de remarquer que l'on peut, sans inconvénient, dans les formules (45) changer les signes de toutes les quantités a, a' a", ^5 ^\ ?>% Tî ï') ï"> à la condition de changer aussi le signe de /t. Nous pourrons donc toujours supposer que le déterminant
qui est égal à ± 1 d'après les relations (4), est égal précisément à + 1. Dès lors, le trièdre trirectangle T, dans lequel a, P, y, a' , ^', y' , a", jâ", y' soï^t les cosinus directeurs des ai'êtes Ox, Oy, Oz est superposable sur le trièdre Tj (Oj, x^, y^, z^) et peut être considéré comme résultant d'un déplacement de celui-ci. Les formules (44) en y prenant maintenant p =zt = ti = i, deviendront
x^:=h (ax + a'y + a"z) + a, y, = h{^x + a'y + ^"z) + h, z^ =ih (yx + y'î/ + ï'^) + c.
Déplacement
et homothétie.
Ces formules représentent évidemment un déplacement accompagné d'une transformation homothétique dont h est le rapport d'homothétie et 0^ le pôle. L'homothétie sera directe ou inverse selon le signe de h.
Nous sommes donc à même d'énoncer la proposition suivante :
Toute transformation homographique qui conserve le cercle de l'infini consiste en un déplacement accompagné, sHl y a lieu, d'une homothétie directe ou inverse.
Comme tout déplacement équivaut à une translation accompagnée d'une rotation autour d'un point fixe, comme, d'autre part, la translation laisse invariable chaque point du plan de l'infini, nous pourrons, dans l'étude des relations entre un déplacement et l'homographie qu'il établit sur le cercle de l'infini, faire abstraction de la translation et nous en tenir au cas où l'homographie conserve un point 0 à distance finie (et alors une infinité répartis sur une droite).
Nous prendrons 0 pour origine commune des deux trièdres et alors, pour rester dans le cas général où le déplacement serait compliqué d'une homothétie, nous aurons
x^ = h {(XX -h (x'y -\- ix"z), y^ = h{^x+ &'y + ?^"z), z, =h{^(x + y'y -h y"z).
Si h = — 1, l'homothétie se réduit à une symétrie par rapport au point 0; si /i = 1, il n'y a plus d'homothétie.
Coordonnées 110. Ceci posé, introduisons l'homographie qui relie les points rapportées d^ cercle de l'infini, et, en premier lieu, cherchons une représentaau cercle de ^.^^ ^^^ points de ce cercle en fonction d'un paramètre X.
Si nous prenons x, y, z proportionnels à (1 + X^) i, 1 — X% 2X, en sorte que
(50) po; = (1 -f- A*) i, pî/ = 1 - X», pz = 2X, t = 0,
le point correspondant à ces coordonnées est un point Q du cercle de l'infini, car ses coordonnées vérifient l'équation
pî (ce* + if + jï) ::= (1 + Xy + (1 X")^ + 4X' = 0.
Pareillement à une valeur X' du paramètre X il correspondra un
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autre point Q' à l'infini pour lequel a;, y, z sont proportionnels à (1 + V«) i, (1 —V*), 2X', en sorte que
Les points Q et Q' sont les points circulaires du plan mené par la droite QQ' et par le point 0. Ce plan a une équation de la forme
ux -h vy -h wz = 0.
En exprimant que Q, Q' sont deux points de ce plan, nous voyons que X, X' doivent être racines de l'équation
ui (1 + X') + v (1 — X') + 2ioX = 0,
ce qui donne, en calculant XX' et X + X',
