XX' X 4- X

iu ~\- V — 2w iu — V

Le plan mené par 0 et dont Q, Q' sont les points circulaires, a donc l'équation suivante :

i (1 + XX'). ce + (4 — XX') y + (X + X') z = 0.

La perpendiculaire 0 P à ce plan a donc pour équations

i(l + XX') 4 — XX' X + X'

Cette perpendiculaire perce au point P le plan de l'infini. Le point P est le pôle de la droite QQ' par rapport au cercle de l'infini, en sorte que PQ, PQ' sont les deux tangentes issues de P à ce cercle et les plans OPQ, OPQ' sont les deux plans isotropes menés par OP, c'est-à-dire les plans menés par OP tangentiellement au cercle de l'infini.

Les formules (53) reviennent à représenter toute droite OP issue de 0 à l'aide des paramètres X, X' des points Q, Q' où le cercle de l'infini est touché par les plans isotropes menés par OP (i).

(1) Ces coordonnées ont été introduites dans l'étude des propriétés des figures planes autour d'une conique par M. Darboux, sur une Classe remarquable de covrbes et de surfaces. Je m'en suis servi dans mon Mémoire sur les lignts géodésiques (Sav. étrangers).

symétriques.

Désignons par 7 la valeur commune des rapports (53); quand

G varie, x, ij, z représentent les coordonnées d'un point quelconque

de la droite OP.

Application Cherchons en particulier les poinis M, M' où cette droite perce

aux figures |g gphère de rayon 1 et de centre 0. Il faut exprimer que x* + y*

sphériques; ,

coordonnées +^' = 1, OU que

0' [~ (1 + xv)' + (1 - aa')^ + (A + ry] = 1,

c'est-à-dire

ou z = :• Comme rien ne distingue X de X', nous pouvons

prendre a = — ' Seulement il faut observer que si l'on échange

\ et X', X, y, z changent de signes et que l'on passe dès lors du point M à son symétrique M' . Nous aurons ainsi :

^,x .r . - j x,x -1 +>^>^' 1-aX' X + X' (o4) (Coordonnées de M) x = i — ry- ' y = -r rr ' ^ = :^ ^ '

1 + XX' 1 — XX' X -j- X' (54)' (Coordonnées de M') x = î -— r-' y = -^, r- ' ^ = v ~/

Les paramètres X, X' ont été appelés coordonnées symétriques à la

surface de la sphère à cause de la forme symétrique qu'elles font

, dXdX' (0 prendre au ds* de la sphère, ds' = 4 — r-7-^ •

Il est aisé de se rendre compte que X, X' sont, sur la sphère, les paramètres des génératrices rectilignes imaginaires. En effet, si X reste fixe, le point Q reste fixe et le point M se meut dans le plan mené par le point 0 tangent en Q au cercle de l'infini, ou plutôt sur la ligne d'intersection de ce plan avec la sphère.

Or, ce plan est tangent suivant la génératrice OQ au cône asymptote (isotrope) de la sphère, c'est donc un plan asymptote qui coupe la sphère suivant deux génératrices rectilignes qui concourent au point Q à l'infini. Le point M décrit une de ces droites et le point M' décrit l'autre.

Même interprétation pour X' ; en sorte que X, X' sont les paramè-

(1) Voir Darboux, Leçons sur la théorie des snr/aces, t. I.

Introduction

de

l'homographie

créée par un

déplacement

sur le cercle

de l'infini.

CHAP. XII. — CAS PARTICULIER d'hOMOGRAPHIE. 337

très des deux points Q, Q' où les génératrices rectilignes de la sphère qui passent en M vont couper le cercle de l'infini.

Du reste, la forme linéaire des équations (53) suffirait à prouver que lorsque X ou X' varient seuls, le point M décrit une droite située sur la sphère.

Ceci posé, imaginons que l'on effectue un déplacement autour du centre de la sphère. Un point M de la sphère viendra occuper une position Mj sur la môme sphère. Les génératrices rectilignes de la sphère issues de M^ seront les homologues de celles qui sont issues de M, en sorte que les points Q,, Q[ où les premières coupent le cercle de l'infini sont les homologues des points Q, Q' où les secondes coupent ce même cercle. La raison en est que ce cercle est le lieu des homologues de ses propres points.

Or, quand deux points Q, Q, d'une conique se correspondent homographiquement, et que X, l^ sont, comme dans l'espèce, deux paramètres correspondant d'une manière hi-univoque à ces deux points, l'homographie se traduit par une relation linéaire entre les deux paramètres,

ttA + 6 cX + e

Considérons alors les coordonnées (X, X') du point M sur la sphère et soient l^, Xi les coordonnées du point Mj, homologue du point M; comme Xj, Xj sont les paramètres des points Q,, Qj homologues des points Q, Q' sur le cercle de l'infini, on passera des uns aux autres par la même transformation linéaire.

h , aX' -i- h

ak

cX -t- e

aX'

Ainsi s'explique qu'à tout déplacement autour d'un point fixe se trouve attachée une certaine transformation linéaire à une variable.

112. Un calcul facile permet tout à la fois d'obtenir l'équation (55) et de traiter la question réciproque, c'est-à-dire de remonter de la transformation (55) au déplacement lui-même.

Soient x, y, z, 0 les coordonnées homogènes du point Q situé sur le cercle de l'infini ; x^, i/, , Zj, 0 celles du point Qj situé sur le même cercle. Comme Qj est l'homologue de Q dans le déplacement, on doit avoir

x^ = cLX + cl' y + d'z, î/^=^a;+..., Zj=:va;+... Cinématique. gj

Mais les coordonnées x, y, z sont proportionnelles à (1 + V)%y (1 A«), 2X et .Tj, î/p ^1 proportionnelles à (1 + AÎ)i, (1 — Xi),2Xt; on aura donc, p désignant un coefficient de proportionnalité,

/ p (1 + \\)i = a (1 + X')i + a' (1 - X*) + Sa"/., (57) p (1 - Xn = ^ (1 + >^')i + ^' (1 - >^*) + ^p-'X,

On tire des deux premières de ces équations 2ip = (a + pi) (1 + X«)i + (a' + P' i) (1 - X') 4- 2 (a^ + P"i)X, d'où par division avec la dernière,

T - (a + iit)(l4-r)i + (a' + P'i)(l - X') + 2(a" + P'»)X

Or, la fraction du second membre se simplifie par suite d'un facteur commun aux deux termes et se réduit à

(iï - y') a + Y^-i .

(58)X, = ■ — — .. a+ Si + a'i— S'

Ce qui est bien une équation linéaire de la forme (55).

Maintenant, en partant de l'équation linéaire, on peut se proposer de retrouver le déplacement.

Regardons dans la formule (55) a, h, c, d comme donnés et cherchons les expressions correspondantes des 9 cosinus a,<x' ,0.",^,^ , ....

Nous nous donnerons a, b, c, d sous la forme suivante :

a = r + in, h = mi — ly c=mi + 1, d = r — in, où l, m, n, r seront des arbitraires réelles ou imaginaires comme

L'équation (55) prend la forme

(r + in) X -\- mi— l i^^y ^* "^ (mi -\- l) y^ + r -^ in

Identifions-la avec l'équation (58).

Nous serons amené à écrire

^, y' = P (r + in), v" — 1 = P (mi — /),

CHAP. XII. — CAS PARTICULIER d'hOMOGRAPHIE. 339

a + 3i + a't — (â' = P (mi + i),

^^y^ (a + ^i + a'i - (3') =: P (r - in),

où P est un coefficient de proportionnalité.

En combinant ces équations et posant P = 2 — > en sorle

que D est encore un coefficient de proportionnalité, on trouve

/ . , o (^ + in) (mi + l) ' tY — y' = 2' '^ S

Par soustraction, les deux dernières équations (59) donnent '

équation qui fait connaître D.

On trouvera, au contraire, par addition

D et, par multiplication,

d'où l'on tire, en se souvenant que (ty + y') (iy — y') = v"« j^

iy y' == ï'" - ^ = 2 (^^ + ^') (n^ + r') iy — y' d (r -f- m) (mi + i)

„ {mi — l) (r — in)

De cette équation combinée avec la première équation (59) on tirera y, y' par addition et soustraction; comme on a déjà trouvé y' on aura, en somme, les valeurs de y, y', y"

Pour avoir maintenant a, a', a" p, P', fi" nous aurons recours aux formules (57).

Si, d'abord, dans la dernière de ces formules nous remplaçons Y, y', y" par leurs expressions (Gl) et a, par son expression (58)', nous aurons la valeur de p

[{mi + l)\-\- (r — in]\ (62) p = ^

Les deux premières équations (57) deviennent alors, en y remplaçant X, par sa valeur (58)' et p par sa valeur (02),

^ {{mi + l) A + (r — in)Y + - [{r + in) A + {mi — l)f

- [{mi '^-1)1 + {r — in)Y — - [{r + in) 1 + {mi - 0]*

r= ^ (1 + a') i + fi' (1 - A*) + 2^"X.

Il suffit alors d'identifier dans les deux membres de chacune de CCS équations les coefficients de a', X, 1 pour avoir les expressions cherchées de a, a', a", p, ^', ^'.

On trouve ainsi les valeurs suivantes, auxquelles sont joinles les valeurs déjà trouvées de y, t'? t" •

i»,n' — ?i' + v' , Am + nr „ ln — m\''

a= , a=2— jy— . a i— ^^,

hn — nv ,, -^' + ^t' -»' + >•' ov 9""* + ^'\ P=2— j3— » ^= D ' ^-2—1)—'

iH + m>- , „wn-/r , -l^-m'' + n^ + T''

Ce sont les formules d'Euler, retrouvées par Olinde Rodri-jucs et démontrées à la page 197.

On peut donner des paramètres l, m, n, r l'interprétation géométrique suivante :

Cherchons les paramètres dos points diamétralement opposés I, I' où l'axe de rotation perce la sphère. Soient a, a' les paramètres de ces points (on sait qu'on passe de I à I' en échangeant simplement \ et V). I coïncide avec son homologue Ij, en sorte que les paramè-

CHAP. XII, — CAS PARTICULIER d'hOMOGRAPIIIE. 341

très de Ij, qui se déduisent de A, ).' par la formule (58)', doivent être encore égaux à X et à X'.

On voit donc que a, a' doivent être racines de l'équation

- (r + in) + mi — l

{mi + i) A + r — in ou

(l 4- mi) A* — 2in A 4- l — mi = 0.

On tire de cette équation les suivantes :

l -i- mi lin l — mi

d'où

1 "A + a' aX'

(1 + AA')i 1 — A a' X -h X

et il suffit de comparer aux formules (53) pour constater que les cosinus directeurs de l'axe sont proportionnels précisément à /, m, n. On verra dans la note I de M. Darboux que si 0 est l'amplitude de la rotation, on a la relation

(63) — = cotg ^.

Vl* -+- m* + n* -^

Le déplacement n'est réel que si les rapports des quantités /, m,

n, r le sont.

Les Nous avons vu comment les déplacements dans le plan se trou-

«ubstitutions vaient liés aux transformations linéaires entières à une variable. Il néaires et les , ,, , •.,!,.

rotations résulte de ce qui précède qu a toute rotation autour d un point se

autour d'un trouve attachée une transformation linéaire fractionnaire portant point lixe, g^p ^^jg variable complexe.

Nous avons déjà dit qu'un ensemble d'opérations est dit former un groupe si le résultat de deux opérations successives quelconques de cet ensemble est équivalent à une seule opération du même ensemble. Par exemple, l'ensemble de toutes les transformations linéaires forme un groupe. Dans ce groupe même on peut distinguer des transformations définies par un certain nombre de propriétés de manière que cet ensemble de transformations particulières forme lui-même un • groupe (on dit alors un sous-groupe dans le groupe général).

De même pour les rotations autour d'un point, leur ensemble forme

un groupe dans lequel il est possible de détacher des groupes plus particuliers ou sous-groupes.

Considérons, par exemple, l'ensemble des rotations qui ne font qu'échanger entre eux les sommets d'un polyèdre régulier. L'ensemble limité de ces rotations constitue un groupe au sens qui vient d'être défini.

Prenons alors l'ensemble des substitutions linéaires attachées chacune à l'une des rotations précédentes. Ces substitutions vont former un groupe qui est l'image analytique du premier.

Nous aurons de la sorte un groupe de substitutions dérive du groupe des rotations qui superposent à lui-même un tétraèdre régulier; ce sera le groupe du tétraèdre. On aura de même les groupes de l'hexaèdre, de l'octaèdre, du dodécaèdre, de l'icosaèdre. Ces groupes de substi tutions linéaires se trouvent liés à des questions d'analyse impor tantes. Nous renverrons pour ce sujet au livre de M. Félix Klein : Sur ricosaèdre.