Ainsi, prenons le cas où l'on aurait
Il est clair que P, Q, R sont nuls et que l'on a
P' = 1, Q' = m, IV = n.
Les équations (11) et (12) et celles qu'on en déduit par permutation s'écrivent
/ Ix — p == 0, my — p = 0, 7iz — p = 0, \ i' + WÎ-' — n' = — 'Ulrnz,
(*^) i P — m^ + n^ = — 2lny,
\ — i« 4- m' + n* = — 2mnx-.
Il faut trouver les solutions communes à ces équations.
E.\cluons d'abord l'hypothèse où l'un des paramètres l, m, n serait nul. Des trois premières équations (15) on peut tirer x, y, z; et, en portant leurs valeurs dans les trois autres, il vient
l* — m* — n' = 2mn . y
OU
et de même
l^ (i* — w* — »') = 2Zmnp,
n' (— f — m' + n*) = 2lm7ip.
On a donc ^* (^î ^|2 n*) = m* (— P + m^ — ^i") = n'' (— i^ — m« 4- n*)
ou encore
( ^î + in' — M«) (l' — m') = 0,
Si deux des trois quantités /-' + m' — î«*, l^ — m^ + n\ — ï» + m' + n* sont nulles, il en est de même de l'une des quantités l, m, n; ce cas étant réservé, il faudra alors que deux des seconds facteurs P — m*, n* — l\ m' — n' soient nuls, et alors ils le seront tous les trois.
On aura donc '
et de là on déduira
m = al, n = ^l,
où a, ^ désignent 1 ou — 1.
Les équations (15) donnent ensuite x, y, z et p,
Gomme on a pour a, ^ quatre combinaisons de signes + et — possibles, nous obtenons de la sorte quatre points, à savoir les points :
décrivant le plan X + Y + Z — - = 0;
décrivant le plan — X + Y + Z + -=0;
décrivant le jJlan X — Y + Z + - — 0;
décrivant le plan X + Y — Z + -:=0.
Jà
Ces quatre premières solutions sont fournies par un point a; = y = ^ = — ^ et ses symétriques par rapport aux axes du trièdre Oxyz.
Les quatre plans décrits sont le plan X + Y + Z = - et ses symé-
Jà
triques par rapport aux axes du trièdre fixe OXYZ.
Voyons maintenant si l'hypothèse que i ou w ou n soit nul donnera une solution.
Si l'on suppose i = 0, £c restant fini, on doit avoir, d'après les équations (15), p = 0; et si m, n ne sont pas nuls en même temps, on a // = 0, z = 0. Les équations (15) donnent alors
m} = n', et puis
n On a donc les solutions
i = 0, m = l, n=za,x=: — a, y = z=zO,
où a = ± 1. On a ainsi deux solutions correspondant à l'hypothèse l = 0; les hypothèses m = 0, n r= 0 en donneront chacune deux autres, ce qui fera en tout six nouvelles solutions, dont voici le tableau :
1° Le point x = i,y=^0, z = 0 décrit le plan Y + Z = 0; 2° Le point x = — i, y = 0, z =zO décrit le plan Y — Z = 0; 3» Le point a; = 0, ?y = 1,2 = 0 décrit le plan X + Z = 0 ; 40 Le point x = 0, y = — i, z = 0 décrit le plan X — Z = 0; l 50 Le point x = 0, y = 0, z = i décrit le plan X 4- Y = 0;
6° Le point x = 0, y = 0, z = — i décrit le plan X --> Y = 0.
Donc, en tout dix points décrivent des plans.
Exemple 8. Dans certains cas, ce nombre dix se trouve abaissé,
d'abaissement Prenons, par exemple,
du nombre
des points; fi = — A* + [j,* + v% f^ = \* + ^* — ^^, f^ = X^ + [a» — v'.
On trouve
P = — l -h m + n, Q = l — m -h n, R = — l + m -{- n^ P'—Oi Q' = Oi R'=0.
Les équations (9) deviennent
— l{x — i) -[- m {ij — i) + n {z — i) = p, l (x — 1) — w {y — 1) + n (z — 1) = p, l (x — i) -h m [y — i) — n {z — i) = p;
d'où l'on déduit, par addition des équations deux à deux
les équations (10) s'écrivent, du reste,
(17) mz-\-ny = 0, Iz + nx =:0, ly + mx = 0.
Si l, m, n ne sont pas nuls, les équations (17) prouvent que x, y, z doivent l'être; on a ainsi la solution
ce = 0, y = 0, z = 0, l = m = 71 = — p.
Si, au contraire, ï, par exemple, est nul, on a p =:0, et si ni m ni n ne sont nuls, on doit avoir y :=i, z = i.
Les équations (17) donnent alors x =zO,m = — n. On a donc la solution
cc = 0, ?/ = !, z = i, l = p=Oj m — — n.
L'hypothèse m = 0 et l'hypothèse n = 0 donneront de même les solutions
X = 1, î/ = 0, c = 1, m = p = 0, l = — n et
Mais deux des quantités l, m, )i peuvent être nulles. Soit m=:n=:0; on a p = 0 et, comme l ne peut être nul, il vient x- = 1. Les équations (17) donnent alors y = z=zO. D'où la solution
a; = l, y = z = 0, m = n = p=zO.
On aurait de même les solutions
On trouve de la sorte sept points qui décrivent des plans et sept seulement. Ces sept points sont sept sommets d'un cube.
Le huitième sommet est le point x ^= y z= z = i; et décrit, comme tous les autres points du corps mobile, une surface de Steiner; pour ce point, en effet, les formules (8) donnent
X = 2a(ix + v), Y = 2ix(X + v), Z = 2v(A+p.), T=:a* + |x' + v'.
et la surface ainsi représentée est bien une surface' du quatrième degré de Steiner sans abaissement.
Du degré de la
suiface
trajectoire
9. Ici, se présente, sous une forme particulière, une question générale dont nous allons dire quelques mots, d'un point. Reprenons les formules (5). Si l'on regarde H comme une cons-
tante qu'on pourra prendre égale à 1, si X, tx, v, p sont des polynômes de deux paramètres u, v du degré p et A, B, G des polynômes du degré 2p de ces mêmes paramètres, tout point du corps décrit une surface du degré 4p', du moins en général.
Posons, en eflot,
^1 (w, v) = Xt+ (p' + X» ,,,^ - V») a; + 2 (X;/ - vp) i/ + 2 (Xv + [^.p) r , (I)j(M,v) = Bt + 2(X[j.+ vp)a' + ..., $,(M,v) = Gt + 2(Xv— jj.p)^ + ..., 4>4 (m, v) = (X* 4- îx' 4- v' -+- p') L
Représentation Les équations (5) deviennent sur le plan.
X = ci>^ (u, t>), Y = ci,^ (u,v) Z = (I>3 (ti, v), T = (D, (m, t.) ;
ces formules constituent une représentation sur le plan de la surface trajectoire du point (.r, y, z, t). A tout point (m, v) du plan (u, v désignant dans le plan des coordonnées rectilignes) correspond un point de la surface; à toute courbe tracée sur la surface correspond une courbe tracée sur le plan et réciproquement. En particulier l'intersection de la' surface par le plan
IX + niY + nZ -h pT = 0
se trouve représentée par la courbe plane dont l'équation est
(18) U]\ + nn]\ + >?(1>3 + p(l>^ = 0,
et cette courbe plane est du degré 2p.
Considérons une droite quelconque A dans l'espace; menons par celte droite deux plans If, Il ' représentés par les équations lX-h...~0, l'X 4- ... = 0; les sections de la surface par ces plans sont respectivement représentées par les deux courbes
..(,^ ( ^*I\ -i- mi]>, + n%+p<l>^ = 0,
Les points où la droite A perce la surface correspondent à des points de rencontre de ces deux courbes planes de degré 2p. Considérons, réciproquement, un point commun à ces deux courbes planes. Si les coordonnées u, v de ce point n'annulent pas les quatre Cinématique, 24
fonctions $ à la fois, il lui correspond un point (X, Y,Z,T) déterminé, qui est évidemment un des points de rencontre de la droite A et de la surface.
Mais si u, v annulent à la fois tous les <ï), la conclusion ne subsiste plus; les formules qui donnent X, Y, Z, T sont indéterminées et les valeurs u, v ne correspondent plus à un point de rencontre de A avec la surface.
Pour avoir le nombre des points de rencontre de la droite arbitraire A avec la surface, il faut donc compter en combien de points variables avec l, m, n, p, V , m', n' , p' se coupent les courbes (19) et faire abstraction des points fixes par lesquels il se peut que viennent passer toutes les courbes planes contenues dans l'équation (18) ; ces points fixes ont reçu le nom générique do points de hase de la représentation.
S'il n'y a pas de points de base, les courbes (19) se coupent en ^p^ points variables; et 4p* est, dès lors, le degré de la surface décrite.
L'abaissement de ce nombre est subordonné à la question de l'existence des points de base.
Examen II pourra arriver, par exemple, que les courbes a = 0, \j. = 0,
des conditions v = 0, p^O, A=rO, B = 0, G=0 aient des points communs. Le
d abaissement ^q^^q des surfaces trajectoires s'en trouvera abaissé. Mais ce n'est du degré. , ,
pas le seul cas.
Observons d'abord que les points de base doivent vérifier l'équation <ï>, = 0, c'est-à-dire
On a ensuite les identités
Ap + Bv — G[;. = p<i'i -H v*, — 1^*3 — ^ ^ï*u
Bp 4- Ga — Av = ptl», + A*,— v<I>i — ^ <I>„ (20)
Cp + Ai/— Ba = p*, 4- \j.^i — yA\ — ^*4
Ap + BiJ.— Gv = A<I'i + \)A\— v(I)3 j- — - fl\;
et, par suite, les points de base, puisqu'ils annulent (p,, *„ <!)„ véri-
fieront les équations
iAp + Bv— C[;, = 0, Bp + ex — Av =0, Cp + A;;.— Ba=:0, a'a+ B;;.- Gv =0,
qu'il faut joindre à l'équation supposée
Si les quatre courbes (21) et la courbe (22) ont des points en commun, alors seidement l'aljaissement dont nous nous occupons pourra se produire (').
Supposons que l'on ait un système de valeurs de ii, v vérifiant à la fois les équations (21) et (22). Les identités (20) donneront, outre
les relations suivantes
f X<î>i -h IJ.% + v<I)3 = 0.
La dernière équation est une conséquence des trois premières dans tous les cas. Oi-, ces trois premières, en vertu de «I\ = 0, se réduisent à deux relations distinctes. On verra facilement que les fonctions <I>^, «I)^, (I>3 ne peuvent èlre nulles toutes les trois pour toutes les valeurs de x, y, z et qu'il suffit d'égaler à zéro l'une de celles qui ne sont pas identiquement nulles pour que les autres le soient et pour que l'abaissement ait lieu. Il suffira d'avoir, par exemple, (I), =: 0 ou
-kt + ip' + X* — ij.' - v^) ic + 2 (a;x - V p) 1/ + 2 (av + [;.p) z = 0,
ou, en tenant compte de l'équation (22),
At + 2 (p" + a') X + 2 (a;;, — vp) */ + 2 (av + ^.p) z = 0.
L'abaissement se produira donc pour tous les points du corps contenus dans ce plan. En général cet abaissement sera de 1. L'identité -•
(p^ + Xy + (X,,vp)* + (Av + i.p)'
= (p' + A*) (X" 4- IJ.' -h v' + p') =: 0.
prouve que ce plan est un plan tangent au cercle de l'infini.
A un second système de valeurs de u, v qui vérifie les équations (21)
(') Un autre cas d'abaissement serait celui où des systèmes de valeurs différents ie 11, V donneraient le môme point de la surface^
de Steiner,
et (22), il correspondra un second plan isotrope pour les points duquel le degré s'abaissera aussi d'une unité.
Considérons deux plans isotropes correspondant à deux systèmes différents de solutions (m, v) des équations (21) et (22). Pour leur droite d'intersection l'abaissement sera de deux unités.
Pour les points d'intersection de trois de ces plans isotropes, l'abaissement serait de trois unités.
Application 10. Sans insister sur ces généralités, appliquons les remarques
au mouvement précédentes au cas des mouvements à surfaces de Sleiner, c'est-à-dire à surfaces . .
au cas oup = 1.
Ainsi que nous l'avons vu, p peut être supposé nul.
Les équations (21) et (22) se réduisent ici au système
i G.a — Bv = 0, ex — Av = 0, A.^. — Ba = 0,
Si un système de valeurs des paramètres indépendants, qui seront ici -i -1 vérifie ces équations, nous obtiendrons un plan isotrope II
dont tous les points décrivent des surfaces du troisième ordre.
Si deux systèmes de valeurs vérifient ces équations, on obtient une droite dont tous les points décrivent des quadriques.
Les équations (24) pourront ainsi avoir en commun un certain nombre de solutions; nous allons montrer qu'elles pourront, dans certains cas, en avoir quatre et jamais davantage.
Supposons, en effet, que ces équations aient précisément quatre solutions en commun. Nous pourrons, par un changement de coordonnées, faire en sorte que les valeurs de X, [;., v correspondantes annulent deux formes quadratiques, dont l'une sera
X' + \}^ + v% et l'autre
aX* + &|j.' 4- cv'.
Comme A, B, G sont des fonctions du second degré, on pourra trouver six fonctions linéaires P, Q, R, P', Q', R', ou X, ;j,, v telles que l'on ait identiquement
Bv — CiJ. = P (X' + iJ.* + v') -4- P' {aV- + h'^} + cv'), ex - Av = Q (X' + !x' -+- v') + Q' {a,} -f- b[x' + cv»), AjA — BX = R (X' + îx' + v') + R' (aX' + hij} + cv').
On voit qu'on aura l'identité
(PX + Qix 4- Rv)(X' + \j} + v')
+ (P'X + Q'i^. + R'v) (aX' + hij} + cv') = 0,
laquelle entraîne les deux suivantes :
PX + Qî^. 4- 11 V = aX' + h'^} + cv', P' X + Q' ;x 4- ir V = - (a* + ;.,« + v').
Gomme P, Q, 1\, P', Q', R' sont des fonctions linéaires, on peut en conclure que l'on aura
P = al + q^ — ri)., Q= bp. + î'X — pv,
Rz=: CV + p[J.— g A,
où p, r/, )•, p', g', }•' désignent des constantes. Il viendra ainsi
Bv — CjA = (aX + ryv — r'^.) (X» + ij.'- + v')
+ (— X + g' V — r'ij.) (aX* -f- &;i.* + cv*), on encore
[B — (a — c) Xv — g (X' + [k* + v') — q' (aX« 4- fe pi* + cv*)] v
= lC — {h — a) X-i. — r (X* + ix' + v') — r ' (aX* + &iji' + cv')] y..
On voit ainsi que la fonction du second degré
C — (b — a)\[j. — r (X* + [jl* + v*j — r' (aX* + b;^* + cv')
est divisible par v et on peut poser
G — (6 — a) X[j. — r (X* + ;x* + v') — r' (aX* + fe;;.' 4- cv*)
= V (aX 4- Pix 4- yv). De là on déduira
B — (a — c) Xv — g (X* + ;j.' 4- v') — g' (aX' 4- ^i^* 4- cv»)
= iJ,(aX 4- P;j. 4- vv), et de même
A — (c — fe) |xv — j) (a* 4- [x' 4- v») — p' (aX* 4- biJL* 4- cv*)
= X (aX 4- ^[Ji 4- yv).
On a ainsi les expressions de A, B, G. En se reportant aux formules (8), on verra qu'il suffit de changer
x,y, z en a; — -» ?/ — 0' ^ ~~ 0 P^"'' ^"^'''^ disparaître aX 4- (Sjx
