Équations de Barré de Saint -Venant

Nous avons vu au n" 4 que six fonctions quelconques de x, tj, z ne peuvent pas représenter la déformation d'un milieu continu et qu'elles doivent vérifier un système d'équations aux dérivées partielles du second ordre, qui représente la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (12) et leurs quatre analogues, où l'on considère les c;, y,- comme des fonctions données, déterminent les inconnues u, v, w.

On peut dire encore que l'intégrale générale du système dont nous venons de parler est définie par les formules (12) et leurs analogues.

(1) Remarquons, en passant, la particularité qui se présente si l'on veut écrire des formules déterminant toutes les intégrales du système (2i).

OÙ u, V, W désignent des fonctions arbitraires. Ceci posé, envisageons la solution qui correspond aux valeurs u=:0, v = 0, w = 0 de ces fondions arbitraires, et qui est ainsi constituée de fonctions toutes nulles, et formons, à l'égard de cette solution, le système auxiliaire du système considéré. Envisagé comme définissant six fonctions inconnues. e,-, ff;, ce système-auxiliaire admettra une intégrale générale définie par les formules (23), où tt, v, lu désignent des fonctions arbitraires. Donc,

Six fonctions quelconques de x, y, z ne peuvent pas être prises pour représenter les dilatations linéaires et les glissements relatifs à une déformation infiniment petite; elles doivent vérifier un système d'équations aux dérivées partielles du second ordre qui représente la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (23), où les Cl, gi sont supposées des fonctions données, déterminent des inconnues u, v, w; ce système n'est autre que le système auxiliaire, formé à V égard de la solution constituée de fonctions toutes nulles, du système auquel satisfont les fonctions ti, Y« dissociées à une déformation quelconque.

Pour établir directement les équations dont nous venons de parler, on peut, avec M. Beltrami, procéder de la façon suivante. Prenons comme inconnues auxiliaires les composantes t^, t^, t, de la rotation; nous obtiendrons le système suivant :

dTv

dx~ 2 '^'^'

â IV g^

Ox~ 2 '^'■

dy 2^^''

àv gf, dz~ 2~ '''

Oiv

Les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence des fonctions u, V, w, lorsque Tj, Tj, t., sont supposées connues, s'obtiennent en écrivant :

^ 1 /^3 \ ^— ^(l^ . \ dy ~ dx\2 ^V' àz âx\2 'V'

dz\2 ''J~ dy\2 "^ -y et six relations analogues.

Lés neuf relations ainsi obtenues se résolvent immédiatement par rapport aux dérivées partielles de Tp Xj, T3 et les conditions nécessaires et suffisantes de l'existence de u, v, iv sont celles qui expriment que le système suivant :

i âx

là.,

\àz

2ây

2 âz

ây^ âe, âx âz

iâg, 2'âx '

â., âx

1 âg, âe,

2 âx ây

2ây

âe, âz'

àT^__iâg, ây 2 âz

. -1 àg, 2âx '

âx^ ây-

âe, 1 âg^ âx 2 ây

âe,

2 âz '

à-,.^'^àg, Jï 2 âz

èx

âT,

âz

iâg, iâg, 2 âx 2 ây

déterminant les auxiliaires t,, t^, Tj, est compatible (^). Nous obtenons ainsi les six équations données pour la première fois par Barré de Saint-Venant :

/ ^2 ^ ^ '^'9i ^ Q 2 ^'''' + -- (ti^ — ^Jb — ^Jl\ — 0 l âz- ây* âyâz ' âyâz âx\âx ây âz) '

(27) f-^'+^-ZlL^O; 2|^ + ^(^.^£2l) = o, \âx^ âz' âzâx âzâx ây \ây âz âx)

I â^e. â*e^ â^g, ^ ^ â*c^ â /âq., âg, âgA

\ ây^ âx^ âxây âxây âz \âz âx ây J