IV. — De l'emploi du trièdre de référence mobile
10. — Quelques formules relatives à la déformation en général.
L'étude de la déformation d'un milieu conlinu peut être envisagée comme étant celle du système triple de surfaces qui, dans le milieu déformé, correspond au système orthogonal de plans coordonnés auquel le milieu est rapporté avant la déformation.
Adjoignons à ce système triple de surfaces un trièdre mobile dont l'origine est au point Pj, dont les coordonnées, par rapport aux axes fixes, sont :
OJj = 33 + u, 7/, = // + V, Cj = s + w,
et dont les axes Pja;', P, //', V^z' ont des directions définies par le *
(•) Remarquons, en passant, que lorsque les c,-, gi sont nuls, les considérations précédentes ne diffèrent pas de celles qui se trouvent pages 108 et 109.
tableau du n° 1 ; en conservant les notations de ce numéro, sauf en ce qui concerne les paramètres p,, p,, p,, qui seront désignés ici respectivement par x, y, z, les formules (1) nous donnent les suivantes :
1 + — = açj+ bra+ cl,,
àw
âx
et les six analogues.
Désignons par u', v', w' les projections du déplacement (u, v, w) sur les axes du trièdre mobile; le point dont les coordonnées sont X, y, z par rapport aux axes fixes a pour coordonnées par rapport aux axes mobiles correspondants — u', — v', — w'; nous pouvons donc identifier les trois expressions
adx -{- a'dy + a"dz, hdx + h' dy + h"dz, cdx + c'dy + c^dz
avec celles qu'on déduit des formules (3) où l'on remplace p,, pj, p.^, X, y, z respectivement par x, y, z, — u', — v', — w'. 11 vient ainsi les relations
/ . an'
; Cl =c + -j^ + Pi"" -^1^
et six analogues, que l'on pourrait aussi établir par un calcul direct.
Maintenant, en rapprochant les formules (7) de celles du no 3, nous avons les relations
Parmi les parLicularisations du triètlre mobile qui sont utiles dans les applications, on peut signaler la suivante; prenons pour trièdre mobile le trièdre qui s'obtient en donnant au trièdre de sommet P, , et dont les axes sont parallèles aux axes des ce, y, z, la rotation au
pomt P (x, y, z) définie au n" (7), Les relations (22) deviennent ici, en vertu des formules (28), les suivantes :
(30) Y):} = ra , ^, = ^3 > ^i = 'Or
17. — Formules relatives à la déformation infiniment petite lorsqu'on particularise le trièdre mobile : équations de Barré de Saint-Venant.
Cherchons ce que donnent ici les considérations développées aux n°s 11 et suivants, à l'égard de la déformation infiniment petite, lorsqu'on particularise le trièdre mobile, comme nous venons de l'indiquer, de telle sorte que l'on ait les relations (30). Les relations (29) et leurs analogues, jointes aux résultats du n» 13, et aux formules (2), donnent alors immédiatement les développements suivants :
Çj = 1 + (', + ..., ^, = ^ f/j 4- ... , Ç3 = 2 î/a + ••• j
(^Ti ^-^ d^i
à-, âx, â
' dx ' âji ^' dz
^ dx ' àij ^ âz
où gj, Cj, Cj, g^, g,, gfj sont définis par les formules (23), et par les formules du no 13.
Si nous portons ces développements dans les équations (4) et (5), et si nous n'avons égard qu'à la première puissance de t, il vient, en outre des relations identiques telles que
âxâij âgdx les relations (26).
Nous sommes donc ramenés au système rencontré dans la démonstration que nous avons donnée, d'après M. Beltrami, des équations de Barré de Saint-Venant; les considérations précédentes doivent
4Ï4 LEÇONS DE CINEMATIQUE.
être évidemment rapprochées de celles que nous avons développées au no 15 relativement à l'application de la notion du système auxiliaire de M. Darboux.
V. — Du cas où le milieu non déformé est rapporté à des coordonnées curvilignes quelconques.
18, — Formules relatives à la déformation en général.
Proposons- nous de chercher ce que deviennent les formules établies dans les paragraphes précédents lorsque le milieu non déformé est rapporté à, un système triple quelconque de surfaces dont les paramètres sont p,, Ps, Ps-
Pour ne pas multiplier les notations, nous conserverons, pour ce système triple, celles adoptées au n° 16 pour le système triple du corps déformé. Nous considérerons donc un trièdre mobile dont le sommet est au point P, qui a pour coordonnées x, y, z par rapport aux axes des x, y, z, et dont les axes Pas', Py' , Vz' ont des directions définies par le tableau du n^ 1 ; Ç; , r,;, C,: seront les composantes de la vitesse de l'origine des axes mobiles relativement à ces axes, quand p; varie seul et joue le rôle du temps; p,, g,-, r, définironf, par rapport aux mêmes axes, la rotation du trièdre relative au paramètre pj.
Les coordonnées x, y, z, par rapport aux axes fixes, de l'origine P du trièdre mobile sont des fonctions de ses coordonnées curvilignes qui vérifient, d'après les formules (1), les relations
/ dX =Z^ (rt;; + b-/]; + C'Çi) dp,-,
<31) d!i=.^{a''q, + b'r,,-\-c'Qdp„ ^i = l,2,3),
f dz =2 (a% 4- b'rj, + c"!;,.) dp,,
que l'on peut encore écrire
;' adx + a'dy -h a"dz — ^ ç,tip;, (32) I hdx + Vd[i + Vdz = 2 Y)idp,-,
f cdx + c'dy 4- c'dz =^ 'd^ipi- Soient u, v, w les projections sur les axes fixes du déplacement PPi
du point P, et u', v', w' les projections du même déplacement sur les axes mobiles.
Considérons le carré de l'arc élémentaire décrit par le point Pj, ■savoir :
{dx + du)* + (dj/ + dvy + (dz + dwf,
ou encore, avec les notations du n" 3,
(1 + 2£,) dx'- + (1 -H 2-:,) d>f + (1 + 2e,) dz^ + Sy^ dydz
( + ^y^dz dx + Syjdx dy.
Nous pouvons le calculer au moyen des formules (3); il nous suffit de remplacer dans les trois'espressions (3), les lettres a-, y, z par les lettres u', v', w', et de faire la somme des carrés, ce qui nous donne
[St' + ^+î''^' -?."■)]'
Nous tufoïïSd'é'lâ" la ^ÔiteUMon "suivante .' ••••'•
Potir calculer les six com.'posante^.j.i, y^ de j£i déformation au point P, on effectuera dans la forme, <J}foii^d7iatique (34) en dp^, dp^, dp3, la substitution dé finie j^a^r la ^résolution des formules (31) ou (3^); on identifiera la noiiy^Ue forme quadratique en dx, dijy dz ainsi obtenue avec la forme quadratique (33).
On peut présenter la règle précédente ^sous utie^autre- forme.
Prenons comme inccyinues- auxiliaires les composantes s/, y,' de la déformation au point Ppar rapport aux axes'Po;', Pj/', Vz' issus de ce point. D'après ce que n,ous avons dit au n" 10, dès que les six quantités s,', y; se; ont connues, nous aurons les e^, y,- par les formules
(35) y^, = 2i[a'a"-\-2e[b'b'-^ Scjc'c"-!- yl (6'c"+ &"c')
et les quatre analogues; d'autre part, d'après le même numéro, si l'on effectue sur la forme quadratique (33) la substitution définie par les formules
dx = adx' + hdy'+ cdz' ,
/ dx = a< * dy = a'
'rlr'
(36) dy = a'dx'+ b' dy' + c'd
( dz ^a'dx'-h b'dy' -h c'dz'^
on trouve la forme quadratique
( (1 + 2s;) dx'^ + (1 + 24) dy'^ + (1 + 2s;) dz'^ ^ ' ( +'2Yidy'dz'+2Yidz'dx'-i-'2Y3dx'dy'.
Si l'on compare (32) et (36), on a donc la règle suivante :
Pour calculer les six composantes s,', y/ de la déformation au point P par rapport aux axes Px' , Py', Pr', on effectuera dans la forme quadratique (34) en dp^, dp,, dp^ la siihstitutioii di'.finic par la résolution des formules
(38) dx'=^B,dpi, dy'==^T,;dp,, dz'=yz,dpi,
et on identifiera la nouvelle forme quadratique en dx', dy' , dz' ainsi obtenue avec la forme quadratique (37).
19. — Formules relatif es à la déformation infiniment petite.
Supposons, comme au n" 11, que u,v,w soient fonctions d'une variable t en même temps que de p^, p^, p,, et puissent être développées suivant les puissances entières positives de t, par des séries absolument et uniformément convergentes dont les premiers termes soient II, V, w; les neuf cosinus a, h, c, ..., étant indépendants de t, u', v', w' seront aussi développables par des séries dont les premiers termes u' , v' , iv' seront respectivement les projections sur les axes mobiles du segment, dont les projections sur les axes fixes sont ii, v, w.
Si nous cherchons les premiers termes e,, g/ des développements de £;, Y;, il suffira d'utiliser l'une des règles du numéro précédent; prenons la seconde; en désignant par e,', gl les premiers termes des développements de e,', y/, pour en déduire les e,-, g^, il suffira de remplacer, dans les formules (35) et leurs analogues, s,, y^, s,', yj respectivement par C;, gi, el, g'.
D'autre part, on aura la règle suivante :
Pour calculer les six quantités cl, gl , on effectuera dans la forme quadratique en dpi, dp^, dp^ suivante:
la substitution définie par la résolution des formules (38), et l'on identifiera la nouvelle forme quadratique en dx' , dy' , dz' ainsi obtenue avec la forme quadratique
e[dx'^ -{- e'^dy'^ + e'^dz'^ -i- g[dy' dz' + g'^dz' dx' + g'^dx' dij' .
Il est intéressant de reprendre, pour le cas général que nous venons d'envisager, les considérations développées aux n°s 16 et 17, mais nous nous bornerons ici aux indications précédentes.
Ctnema tique. 27
NOTES DR L'AUTEUR
Coordonnées télraodrii[i.ies des segments.
suivant
les arêtes
d'un télraèdre
Décomposition 1 • Soit un tétraèdre dont les sommets seront désignés par 1,2, 3, 4 d'un segment et AB un segment. Joignons le point A à trois des sommets, à 1 , 2, 3, par exemple; on peut regarder A]{ comme la somme géométrique de trois segments portés par les droites 1 A, 2A, 3 A. Ces trois segments, à leur tour, peuvent être décomposés en d'autres portés par les six arêtes du tétraèdre, et en composant entre eux les segments portés par une même arête, on arrive à constater l'exactitude de ce théorème :
Tout segment AB est équivalent à un système de six segments portés par les arêtes d'un tétraèdre donné.
On peut ajouterque cette représentation n'a lieu que d'une manière, Sojent, en effet, plus généralement, (S,^, Sjj, S,^, S,,, S^j, 8, J et (S^,, SJj, ..., Sj^,) deux systèmes de segments équivalents portés par les six arêtes d'un même tétraèdre. S,, et S^j par l'arête 12, S,.j et SJj par l'arête 13, etc. L'équivalence de ces deux systèmes exige que leurs moments résultants relativement à tout axe de l'espace soient les mêmes. Prenons les moinents par rapport à l'axe dirigé suivant l'arête 12, tous ces moments sont nuls sauf ceux des segments Ssi et S3J portés par l'arôle opposée; l'égalité des moments entraîne ici celle de ces deux segments eux-mêmes. Même démonstration pour tous les autres segments.
Ceci posé, considérons le segment S,jt porté par l'arête ik; ox\ peut regarder ce segment comme le produit du segment ik par un nombre algébrique pn,. La valeur absolue de p^. est le rapi>ort des longueurs
de S,^. et de l'arête ik;]e signe de p^. est + ou — selon que 8,^. et l'arête ik sont de même sens ou bien non.
Si l'on changeait le sens de l'arête, ce qui revient à échanger i et k, on voit quep,^. changerait de signe; ce que l'on peut exprimer en écrivant
îhi = — Piky
on voit donc que l'on a six quantités
Piî^ Pi3y Pii^ PiSi Psiy Piti
Coordonnées qui définissent complètement le segment AB par rapport au tétraèdre tétraédiiques. proposé. Ces six quantités constituent les coordonnées tétraédriques
du segment.
Considérons le système des six segments S,j, S,,, Sj^, Sj^, S^j, 8,3.
Les moments de ces segments pris deux à deux sont tous nuls sauf
pour les trois couples portés par les arêtes opposées. L'aulomoment
(p. 25) de ce système se réduit donc à
moment (Sj^, SgJ + moment (Stg, S^J + moment (s,^, Sj,).
Or, si [j. désigne le moment des arêtes 12 et 34, lequel est égal à celui des arêtes 13 et 42, et à celui des arêtes 14 et 23, et égal en valeur absolue au sextuple du volume du tétraèdre 1234, on voit facilement, d'après le n° 6, que
moment (Si2, SjJ rrr;),2.p3^.;j,,
moment (Sjg, S,J = p^^.p^^.\^., moment (S,j, S,,) r=p,j.p^3.[j.,
d'où pour l'aulomoment,
!^-[PlîP3i +Pl3Piî +PuP.3l-
Mais le système étant équivalent à un segment unique AB, cet automoment est nul, on a donc
Relation
liJeniique. Réciproquement, si six nombres p^, p^y ... sont liés par l'équa-
tion ci-dessus et si on les regarde comme des nombres par lesquels on multiplie les segments 12, 13, ... de manière à obtenir des segments S(2, Si;j, ... portés par les arêtes du tétraèdre, ces six segments forment un système dont l'aulomoment est nul et qui, par consé-
NOTES DE L AUTEUR
Moment de deux sosmenis.
Au'res coordonnées tétraédriques.
quent, est équivalent à un segment unique ou exceptionnellement à un couple.
Soient deux segments AB, A'B', dont p,^., j^'k sont les coordonnées tétraédriques.
Si, par le même raisonnement que ci-dessus, on cherche le moment de ces deux segments, on sera conduit à chercher les moments de segments S;^ et de segments S;„„ portés par les arêtes du tétraèdre. Six seulement de ces moments seront différents de zéro et l'on trouvera, comme ci-dessus, que le moment de AB, A'B' a cette expression:
moment (ÂB, .VB"') = (p,^p;^ + p^.^p[^ + p^^p'^^
+ P'iiPn + PuPii + P'iiPn) l^-
Cherchons, par- exemple, quel est le moment q^^ du segment ÂB et du segment 34. Les coordonnées de ce dernier segment sont toutes nulles, sauf sa coordonnée p^,^ qui est égale à l'unité; on a donc, d'après cela, p^^, p^^, ... étant les coordonnées de ÂB,
'lu = '^-Pn- .
On aura ainsi pour les six arêtes.
(la = l'-Piv
lii = V-Pi:i,
'/l4 = V-Pisy
On peut prendre comme coordonnées du segment AB, au lieu des nombres p-^,. les nombres 7,^., qui représentent ses moments par rapport aux six arêtes du tétraèdre. Les formules de transformation précédentes montrent que les six coordonnées g,-^. d'un segment vérifient la relation
et que le moment de deux segments a pour valeur, avec ces coor données,
Coordonnées Observons que si les p^. viennent à varier en conservant des raptéiraédriques ports constants, ces quantités deviennent les coordonnées d'un segment de longueur indéterminée sur sa ligne d'action, elles constituent les coordonnées tétraédriques d'une droite.
d'une droite.
Coordonnées tétraédriques d'nn système de seçfmenls.
Forme réduite quand
on rapporte à deux droites conjuguées.
2. Considérons plusieurs segments (p[^, p[^, ..,) (p[^, pj,, pj^, ...) (PÏ's» P"i3i V"u-> •")i et posons d'une façon générale
si l'on multiplie l'arête ik par P-^., on obtient un certain segment S;j,, ce qui fait en tout six segments Sj,, Sjg, Sj^, 8,3, 83^, S^ portés par les arêtes du tétraèdre; de plus, l'ensemble de ces six segments forme évidemment un système équivalent au système des segments proposés. On peut dire de ces quantités P,^. que ce sont les coordonnées du système de segments. Cberchons l'expression du moment résultant du système de segments en question avec un segment donné X (^î,,, p,,, p^,, ^,3, pj,, pj.
Ce moment résultant sera la somme des moments de chacun des segments considérés avec le segment X, c'est-à-dire
^- 2 (plsPsi + PI3P42 + v'uVz, + P'uPii + P'iiPn + p'uPii)
= H' [PlîP3i + Pl3p4î + PuP34 + ^nPii + P4,Pi3 + ^U^ul
Si, en particulier, la droite qui porte le segment X a un moment nul, on voit que le complexe linéaire qui est le lieu de ces axes sera représenté par l'équation
^uPsi + ^uPii + ^uPn + PsiP.a + P42P13 + PjsPii = 0-
Supposons, par exemple, que les. arêtes 12 et 34 soient deux droites conjuguées du complexe. Alors il existera un segment Sjj porté par l'arête 12 [et un segment 83^ porté par l'arête 34, formant à eux deux un système équivalent au système proposé. 11 en résulte que tous les P;;;. sont alors nuls sauf P^^ et V^^, et l'équation du complexe acquiert la forme plus simple.
Pn-Pai + Pai-l'ia^O»
ou encore p^^ + ap^^ = 0, a désignant une constante.
NOTES DE l'auteur. 423
La théorie de Grassmann sur l'étendue figurée.
Systèmes 1. Soient des points Pj, P^, ... affectés de coefficients ou masses
de points. ^^j^^ i>j^^ ... et ABC un triangle quelconque doué d'un sens de parcours, par exemple le^sens ABC.
Formons la somme
Wj tétraèdre (ABCP,) + m^ tétraèdre (ABCP,) ^- ...,
où le tétraèdre ABCP, est le tétraèdre construit sur le segment AB et sur le segment GP,-; supposons que pour d'autres points Pj, Pj, ... affectés des masses mj, Wj, ..., le triangle ABC restant le même, la somme ci-dessus garde la même valeur, et cela quel que soit le triangle ABC. On dit alors que les deux systèmes des points P,, Pj, ... et Pj, Pj, ... sont équivalents.
Tout système de points est, à ce point de vue, équivalent à un point unique affecté d'un coefficient ou masse égal à la somme des coefficients ou masses des points du système; ce point unique est le centre de gravité du système des points proposés.
Cette conception des systèmes de points équivalents, due à Grassmann, correspond au Calcul Baryoentrique de Môbius et à la théorie classique des centres de gravité.
Systèmes Considérons encore avec Grassmann des segments Sj, Sj, ... affectés
I.' segments, de coefficients n?,, m^, ... et soit X un segment arbitraire quelconque, formons la somme
wij .tétraèdre (Sj, X) + m, tétraèdre (S^, X) -+- ...
où les signes sont pris conformément à nos conventions. Si, pour un
4S4 LCÇ09B IX. aXÉMATIQUE.
i de M^fls Sî, S^ ... et de eoeffidents m^, m^ ..:, X restant le nêaie, la sotBiiie pféeédente cwueiic la Talev et cela çiiei ^ Mit le M^nx^nf X, on dît que ks deux de wgiwBlt «B«t éyritdeats.
Cette iMlioa ot -aAnfauneat la Méae q[oe celle des systèmes de •fgfrts éqwfalols qae mnh aioBS dwiirfe. Si Fon remplaoe, ea efct, le a^gMCBt ^i pau* le prodait de ee segment par le mtmhn m^, et de aièaie po«r tons les aesneats, «M Toit que Ton peid, saas iaeiMirénieBt, réàmn tovs les m. à roaité dans la notkm de la coaune «â-dranw, Gepeadanit, en me des applications nlténeores de la ootioD de Ciriiiiminii il v a atanta^ à eonaerver ces 6Defïk'ieDt«.
Enfin, panr eoMpléta' la trilogie »— *r"fff par fîmaniinn, supposons des trianf^ A,B,C„ A,B,C^ ... donés de sens de pareoon (Tofdre procèdent des lettres peot étfe supposé fbnmir ce sens) et de wiWFf m,, m^ — , prenons un point P quiconque et b
m, tétnëdre(A,B,C,P) -4- »t, tétraèdre (A,B,C,P) -j- ..., on les tétraèdres sont définis, quant au s%;ne, comme dans le fte-
■> ^xaSbns tnaai^ aÊktté» d'autre mases et supposons qne, pow ces triangles et ponr le même point P, la somme précédente reste la même quH que êirit le point P. On dit alors qœ les denx sjalèmes de triangles sont équivalents.
On démontre aisément que tout st^tème de triangles est réductible i nn triangle unique affecté d'une certaine nutsse.
Grassmann appelle Cormes dn premier ordre, dn denxiâne ofdre, do troinéme ordre les sjstémes de points, de segments, de triangles.
2. On peut exprimer réqoîfalenee de denx ^rstèmes de points en attelée. écrivant
«tjP, -f- «,p, -i- ... = »;pi -♦- m^p; + ...;
celte égalité sjidboiifne remplace ré;galité de d^nition
m, (P.ABC) + m, (P,ABC> + ...
= m[ (P; ABC) -f- m; (F, ABC) -h ... .
On peut en dire autant ponr les formes équivalentes du second ordre et ponr criles de troisième ordre. Une égalité symbolique lefle^pw
«iP.Qi + »»,P,Q. + .-. = »»iP;Q; -H »«;p;q; + ...
NOTES DE L'AtJTEUR. 425
exprime sous forme simplifiée l'égalité de définition
m, (P,Q,RS) + m, (r>,Q,RS) + ... =: m[ (P;Q;RS)
+ w;(p;q;rs) + ...,
où RS est un segment qutîlconque.
Il est clair que dans une équation symbolique on peut réduire les termes semblables; que si, par exemple, Pj coïncide avec P, on peut écrire {m^ + m^) P, au lieu de m^V^ + »i^P^, et que l'on peut appliquer toutes les règles de l'addition et de la soustraction algébrique. De même dans le cas des formes du second ou du troisième ordre. Si, par exem[)le, on a un ensemble de termes tels que aPQ + PQP, comme PQ et QP sont deux segments opposés, on pourra remplacer ces deux termes par le terme unique (a — ,3) PQ. Toutes ces règles résultent immédiatement de ce fait que les équations dites symboliques ne sont que des écritures abrégées d'équations algébriques ordinaires.
La remarque due à Grassmann et qui a trait à la multiplication est beaucoup plus cui'ieuse et en même temps féconde.
Supposons que l'on prenne deux formes d'un môme ordre <I», »!>' équivalentes et qu'on les multiplie par deux autres formes équivalentes M", M', mais m tenant compte de l'ordre des fadeurs dans l'écriture de chaque produit partiel. On obtient ainsi deux formes équivalentes, ou plutôt les symboles de deux foinies é(iuivalentes.
Nous allons, i)ar exemple, prouver (jue le produit do deux formes du premier ordre fournit une forme du second ordre équivalente à la forme obtenue en multipliant entre elles deux formes du [)remier ordre é(iuivalentes rospeclivement aux deux premières.
Soient deux couples de formes équivalentes du premier ordre,
/>/jA, -I- />/jA, -+• ... = in[\.[ 4- »/jAj -+- ... n^\\^ | H,B^ ■-{- ... = n[n[ -f- n'^W^ -h ....
La première ('galité symbolique exprime au fond les égalités de sommes de tétraèdres,
^m,(A,PUR)==2K(A;PQR), '■ J
où (A,P(,)H) repiéseut(; le tétraèdi'e construit sur A, et sur le triangle quelconque PUR. l'renons pour le sommet P le point n^.,nous aurons
^m, (A,R,QH) = 2"'' ^^^'^^*^'^^' et en prenant /?= 1, '2, ... et ajoutant, après multiplication par
n^, >?,, ... il viendra
^m,», (A,B,QR) = ^m'jn, (A,'B,QR).
Considérons actuellement les formes équivalentes composées des points B et B' ; on a, par définition,
prenons pour P le point Aj, multiplions par m] et ajoutons en prenant successivement j = i, 2, ..., il viendra
2%.»^; (B.XJQR) ='^nim] {b'.XJQR);
si on échange dans tous les tétraèdres les deux premiers symboles, ils changent tous de signe; on a donc encore
^m'j n, (Aj B,QIl) = ^m] n', {k} BiQR);
kj j,h
on a donc, en comparant à l'égalité du haut,
^moik (A,B,QR) = ^m'j ni (A^^B^QR).
Comme QR est un segment quelconque, on a donc symboliquement
c'est-à-dire que le produit des symboles
et le produit des symboles
équivalents aux premiers, constituent deux symboles d'éléments du second ordre équivalenis. 11 faut bien observer que dans cette multiplication l'inlerversion des facteurs n'est pas permise.
Applications. 3. Dans les conceptions abstraites de ce genre il importe au plus haut point de bien montrer qu'elles se prêtent utilement aux applications. L'exemple suivant donnera une idée de la simplicité que l'on peut atteindre par l'application de la belle méthode de Grassmann.
NOTES DE l'auteur. ^7
Affectons des masses m^, m,, m^, m^ les sommets Pj, P^,Pj, P^ d'un tétraèdre de référence.
Soit M la somme de ces masses et P leur centre de gravité, en sorte que »?i, m^, m^, m^ sont les coordonnées tétraédriques (ou barycentriques) du point P. On aura l'égalité symbolique
m^V^ + ?HjP, + rHjPj + m^V^ = M. P.
De même, si }n[, m'^, m[, m\ sont les coordonnées d'un second point P', on aura, M' étant la somme des ml,
Nous allons appliquer le tbéorème précédent. En formant le produit nous aurons
m,m\V,V, + Wim;PiP, + «?,w;P,P, + w,w;PjP, + m^m['P^V^ 4- 7H,w;P,P, + nujn[^^V^ + //(,m;PjP,
+ rr:^m\\\V, + m.,m\V,V^ -\- m,m;P,P3 + m,W7;P,P, = M.M'.PP'.
Les segments P^P^, P^P,, P3P,, P^P^ sont nuls, P^P, et P.P^ sont opposés, on peut donc écrire
MM'.PP' = (m, m; — m,m[) P,P, + {rn,m[ — m^w[) V,\\ -f- {m^m'^ — m^m[) P,P, + (m^ni[ — m^m'^) P.Pj + {m^m\ — m^m\) V^P^ ~\- {m^w\ — ni^m'^) PjP^. Posons
m^ml — m^m[ m^m'^ — m^ni[
