M. M' ' ' ^'' ~ MM
m^m\ — m^m\ m,jn\ — m^)n\
^" ~ wm' ' ^'*~' or '
l'équation symbolique qui précède s'écrit
PP' ^i'uPlP. +J5.3P,P3 +PuPlP.
elle exprime que le segment PP' est équivalent à six segments S,2, S, 3, ... portés par les arêtes du tétraèdre de référence et qui s'obtiennent par la règle suivante : le segment S;^. est le produit par le nombre p.^. du segment ik égal à l'arête du tétraèdre.
On reconnaît donc dans les nombres p,^ les nombres qui ont été définis dans la note I. Mais on voit ici l'avantage de la méthode de Grassmann. Non seulement elle nous prouve la possibilité de cette représentation tétraédrique du segment PP', mais encore elle nous fournit l'expression des coordonnées p^. en fonction des coordonnées tétraédriques m^, m- des extrémités P, P' de ce segment.
Grassmann a exposé sa méthode dans son traité Die Ausdelmiing'ilelire, publié d'abord en 1844, puis en 1862.
NOTES DE l'auteur.
Propriétés infinitésimales des complexes linéaires.
1. Un complexe étant donné, il existe dans l'espace une infinité de courbe3 dont les tangentes font partie de ce complexe. Le plan osculateur à ces courbes donne lieu à un théorème que nous allons démontrer.
Soit d'abord ABCD. ... un polygone gauche dont les côlés font partie d'un complexe donné.
Les côtés BA, BG qui se croisent en B sont deux génératrices du cône du complexe qui a pour sommet le point B. Si l'on passe au cas d'une courbe dont AB, BC seront les tangentes, on voit que le plan ABC, qui devient le plan osculateur en B à la courbe, coupe le cône du complexe de sommet B suivant deux génératrices voisines BA et BC, ce plan est donc tangent suivant BA à ce cône. De là ce théorème général :
Si les tangentes d'une courbe font partie d'un complexe donné, le plan osculateur en tout point B de cette courbe est tangent, suivant la tangente en B, au cône du complexe qui a pour sommet le point B.
Dans le cas particulier d'un complexe linéaire, le cône se réduit au plan polaire et le théorème devient celui-ci :
Si une courbe appartient par ses tangentes à un complexe linéaire, le plan osculateur en chaque point de la courbe n'est autre que le plan polaire de ce point.
Supposons qu'on ait pris un tétraèdre de référence dont les arêtes opposées 12, 34 soient conjuguées par rapport au complexe linéaire;
nous avons vu plus haut (p. 422) que l'équation du complexe acquiert la forme simple
Introduisons ici les coordonnées tétraédriques {x^, x^, x^, x^) (Viy Vif y 31 Vi) de deux points quelconques de la droite dont les coordonnées tétraédriques sont (p^, p^^, ...); nous avons vu dans la note II que p^^ est proportionnel ^x^y^ — y^ x^ ^^ p^i ^ '^aVi — Vs^i' Donc, l'équation
^iVi — Vi^i + a i^iVi — yi3C^) = 0
exprime que la droite qui joint le point x au point y fait partie du
complexe.
Détermination Supposons qu'il s'agisse d'exprimer que la tangente d'une courbe des combes fait partie du complexe; il faudra que les points voisins x, x + dx enveloppes des vérifient cette équation qui devient alors
droites d'un complexe linéaire.
(XjdXj — Xjdx^) •+■ a (Xgdx^ — x^dx^) = 0
ou encore
Nous poserons
où 9 est une fonction arbitraire, et il viendra
S=V/-''^'fê>
Propriétés de ces courbes.
Cette équation, jointe à la précédente, résoud complètement le problème de trouver toutes les courbes dont les tangentes font partie d'un complexe linéaire.
Les courbes que nous venons de trouver présentent une série de propriétés curieuses. Nous signalerons entre autres la suivante :
Soit G une courbe appartenant par ses tangentes à un complexe linéaire et A une droite quelconque de ce complexe. Menons en un point M de la courbe G le plan osculaleur [j., qui coupe en P la droite A; soit t: le plan mené par M et A. Le plan r. est le plan polaire du point P.
En efîet, la droite MP, issue de M dans le plan [j., appartient au complexe, car le plan [j, est le plan polaire de M. Le plan polaire de P doit donc être le plan mené par A et par PM, c'est le plan t..
Si le point M décrit la courbe G, le point P décrit la droite A et
NOTES DE L AUTEUR
le plan tc varie en correspondant homographiquement à ce point. (Voir à la page 51.) Le lecteur démontrera aisément la réciproque suivante :
Si une courbe C est telle que la trace P de son plan osculateiir sur une droite A et le plan - mené par A et le j^oint de contact se correspondent homographiquement, la courbe G appartient par ses tangentes à un complexe linéaire et A est U7ie droite de ce complexe.
Voici encore une importante propriété des courbes que nous considérons.
Soient A, B, G, ... les points de rencontre d'une de ces courbes avec un plan 5 quelconque; les plans osculaleurs a, |3, y, ... en ces points sont les plans polaires des points A, B, C, ... qui sont dans le plan ç, donc ces plans osculateurs vont tous passer au pôle F de ce plan ç. Réciproquement, considérons un point F dans l'espace et soit ç son plan polaire; les plans osculateurs à la courbe issus du point F doivent avoir leurs points de contact dans le plan ®, puisque ces points de contact sont les pôles des plans cherchés. On applique ici le théorème 1 du n" 15, page 43.
On remarquera dès lors que la classe de la courbe est égale à son degré.
Hélices 2. Il y a une infinité d'hélices dont les tangentes font partie d'un
'un complexe, complexe linéaire donné. Considérons, en effet, une droite A d'un complexe linéaire et envisageons l'hélice tangente à A qui aurait pour axe l'axe central du complexe. Les tangentes de cette hélice appartiennent toutes au complexe, car elles ont toutes même moment et même paramètre de projection par rapport à l'axe central.
L'équation qui termine le n" 13, page 39, prouve que toutes ces
droites font partie du complexe du moment où l'une en fait partie.
Cubiques Parmi les courbes algébriques jouissant de la propriété d'appar-
gauchcs. tenir par leurs tangentes à un complexe linéaire, il faut signaler les
cubiques gauches. Toute cubique gauche appartient par ses tangentes
à un complexe linéaire.
Pour le prouver, prenons deux points 1 et !2 sur la courbe; soit 3 la trace de la tangente en 1 sur le plan osculateur en 2, et 4 la trace de la tangente en 2 sur le plan osculateur en 1 . Nous prendrons le tétraèdre de référence 1234. Soient x^, x^, x\j, x^ les coordonnées barycentri* ques d'un point M de la courbe; le plan mené par M et l'arête 24 touche la courbe en 2 et ne la coupe qu'au point variable M; soit
ccj — tx^=z 0 l'équation de ce plan. Les coordonnées de M seront des polynômes du troisième degré du paramètre t.
Observons que t s'annule au point 2, et comme le plan x^ = 0 est osculateur en 2, il faut que îj admette la racine triple < = 0, on a donc 9i (t) = at'. On verra de même que ç, doit admettre une racine triple infinie, car le plan rr^ = 0 est osculateur en i, c'est-à-dire au point qui correspond à ( = oc ; donc <f^=^h est une constante. Quant
OC
à .Tg, on a par définition Xj = — z= at^. Enfin, le plan x^=0 ou
1, 2, 3 touche en 1 la cubique et la coupe en 2 ; donc l'équation ç^ = 0 doit admettre une racine double infinie (donnant deux fois le point 1) et une racine simple nulle (donnant le point 2); ç>^ a donc la forme l^^ = et, où c est une constante. La cubique est donc représentée par les équations
On en tire facilement
ce qui prouve bien que les tangentes de la cubique font partie du complexe linéaire
Pl2— — l'34 = 0-
Chasles a le premier attiré l'attention sur cette propriété des cubiques gauches, qui a été l'objet d'une belle étude présentée comme thèse par M. Âppell.
Surfaces dont 3. Si l'on rapporte un complexe linéaire à un trièdre trirectangle
les normales dans lequel Oz soit l'axe du complexe, la condition pour que la droite
appartiennent ^ Y, Z, L, M, N fass3 partie du complexe s'écrit, comme on l'a vu, a un complexe
Il est aisé de se convaincre d'après cela qu'il existe une infinité de surfaces dont les normales appartiennent au complexe.
Soient x, y, z les coordonnées d'un point de la surface, |5, q les
dérivées ——■> -r~' les équations de la normale s'écrivent, a;,, Vn z. dx ây * ' *' "^^ *
NOTES DE l'auteur.
étant les coordonnées courantes,
d'où l'on tire
.PVy — qx^=py — qx;
on en déduit que — p, — q, +i, y + qz, — x — pz, py — qx sont les coordonnées de la normale; l'équation différentielle des surfaces cherchées est donc
py — qx -h h = 0.
Si l'on fait un changement de coordonnées en posant x = r cos 0, y = r sin 0, on trouve qu'en coordonnées cylindro-polaires l'intégrale de l'équation ci-dessus s'écrit
£ = + /lO + F(r),
où F représente une fonction arbitraire; c'est l'équation générale des hélicoïdes de pas h qui ont Oz pour axe.
Les lignes asymptotiques de ces surfaces présentent une propriété intéressante; leurs bi-normales appartiennent au complexe linéaire. Cela résulte de ce que leurs bi-normales sont justement les normales à la surface.
Pour la môme raison, les normales principales des géodésiques de ces surfaces appartiennent au complexe.
Les réciproques sont vraies, en sorte que la détermination des lignes dont les normales principales ou les bi-normales font partie d'un complexe linéaire se ramène à la recherche des géodésiques et des asymptotiques des surfaces hélicoïdes.
Cinématique.
Sur l'expression du travail virtuel des forces appliquées à un corps solide.
Supposons des forces F^, F,, ... appliquées aux points P^, Pj, ... d'un corps solide.
Si l'on représente ces forces par des segments, on obtient un certain système de segments auquel Pluecker a donné le nom de dyname et Bail celui de torseur. On démontre en statique que si l'on remplace un ensemble de forces agissant sur un corps solide par un autre ensemble, ces deux ensembles de forces sont statïquement équivalents pourvu que les systèmes de segments qui les représentent soient eux-mêmes équivalents.
■ 3i (Xi, j/f, z^ sont les coordonnées du point d'application de la force Fi et X^, Y,-, Z^ les projections de cette force elle-même, les coordonnées du système de segments constitué par les forces seront
Ceci posé, imaginons qu'on imprime au corps un mouvement hélicoïdal infiniment petit, dont le système des rotations ait pour coordonnées (p, 7, r, ;, '0, 0 et proposons-nous d'évaluer le travail virtuel effectué par toutes les forces pendant le laps de temps It.
Le travail virtuel effectué par la force F; appliquée au point P^ sera évidemment
NOTES DE l'auteur. 435
OÙ Vi^^, V,- y, Vi^, sont les projections de la vitesse d'entraînement du point P;, en sorte que
v.-,x = q-hqZi — ry^, Vi,y = y; + rx^ —pZi, t',- , = l^+py. — qx..
Le travail virtuel (otal sera la somme des travaux virtuels analogues,
^^ = 2 l^^' (' "+■ ^'' ~ ''y») + ^i (^ + rxi—pzi)
■ + ^2 {z,X, - x,Z,) + r^ {x,Y, î/,X,)] Sf
ou encore, en introduisant les coordonnées du dyname,
Stl = [%i, + qj,r; -hZ'^ + ^£p + 91lg + %r] 5f.
le travail virtuel est donc égal au produit du temps écoulé ot par le moment des deux systèmes de segments qui représentent, Vun le dyname des forces, et Vautre le système des rotations.
Si un corps peut librement effectuer un déplacement hélicoïdal donné, un dyname appliqué à ce corps ne pourra y être en équilibre que si le travail virtuel de ce dyname est nul dans ce déplacement, c'est-à-dire si le dyname et le système des rotati ns constituent deux systèmes de segments en uiv l utin (n° 11, p. 25)
%^ + '\}r, + ZZ + 'ip + 91lg -f- %r = 0.
Supposons un corps doué d'une liberté égale à m et soient tf^, Mj, ..., u„, les m paramètres dont dépend sa position.
Tout mouvement hélicoïdal imprimé au corps aura, comme on l'a vu, des coordonnées de la forme
Piw; + p,tt; -f- ..., q^K'i + q,u^-h ..., rjtt; -^ r.^M; -+- ...,
, ,, , , du,
ou 1 on a pose u, = —— ; le travail virtuel d'un dyname appliqué au
corps aura dès lors celte expression
2f5 = {%z,, + '}\r,, -+- Z'Ç, + 'ip, + dMq, -^ %r,) lu,
+ {%ç^ + Ij y;,,. + SC,„ + [ip,n + STlg,,, -+- %,r„) lu,,,.
Pour que le dyname laisse le corps en équilibre, il faudra que l'on ail les équations
%h + ^j -^^ + Z<, + Ip, + ^q, + %r, = 0,
Si, en particulier, le corps est entièrement libre, m est égal à 6 et les équations précédentes exigent que l'on ait f| = 0, 9ÏÏ. = 0, % = 0, % = 0, ^ = 0, % = 0. Ce sont les six équations de l'équilibre d'un corps solide libre.
NOTES DE l'auteur. 437
Sur les volumes engendrés par un contour fermé.
J'ai dit dans l'introduction que la théorie de segments peut avoir d'autres applications que la statique et la cinématique du corps solide. En voici un exemple que j'ai déjà fait connaître ailleurs (Comptes rendus de l' Académie des Sciences elJournal de Mathématiques.)
On connaît les curieux théorèmes de Guldin, dont on trouve le germe dans un énoncé obscur de Pappus et qui concernent soit le volume, soit la surface engendrés par la rotation d'un contour plan fermé tournant autour d'un axe tracé dans son plan.
Le théorème relatif aii volume est susceptible d'une extension remarquable qui nous fournira précisément la nouvelle application à laquelle j'ai fait allusion.
Considérons en premier lieu un petit élément de surface plane w, dont X, y, z seront les coordonnées" du centre de gravité, et impiùmons à cet élément un déplacement hélicoïdal dont le système des rotations ait les coordonnées {p, q, r, E, -r;, Q.
Cet élément engendre un petit volume qu'on peut assimiler, si le mouvement a lieu pendant un temps infiniment petit of, à un cylindre oblique dont w serait la base et dont l'arête serait égale au déplacement infiniment petit du centre de gravité de l'élément. Ce déplacement a pour projections
i = (; H- qz — ry) Zt, m = (yj 4- rx — pz)^t, n = (î; -+- py — qx) 2f.
Soient a, P, y les cosinus directeurs de la normale à l'élément. Le volume du cylindre est égal au produit de sa section droite par la longueur de son arête. Or, la section droite a pour valeur
u) ces ô,
OÙ G est l'angle de la normale à l'élément avec l'arête du cylindre,
en sorte que
al -+■ (3w -I- yn cos 0 =
le volume du cylindre est donc égal à
(0 cos G k^Z* -+- w* + n* = (1) (ai 4- ^m + yn) = 0) [(^ 4- qz — ry) a + (y; -+- rx—pz) P 4- (C + Pî/— qx) y] ht.
Considérons maintenant une portion finie de surface, que nous découperons en petits éléments w.
Dans le déplacement hélicoïdal infiniment petit, le volume balayé par la surface totale sera la somme des volumes balayés par les éléments ti). On aura donc pour le volume total .
-\- q 1 j {oiz — fx) ti) + X I I ((3x — ay) o) | Sf.
On voit figurer dans cette expression six intégrales doubles étendues chacune à toute la calotte de surface considérée.
Or, c'est un fait digne de remarque que ces six intégrales sont égales chacune à une intégrale simple prise suivant le contour qui limite la calotte, en sorte qu'elles ne dépendent que de ce contour limité.
Ce théorème est une conséquence d'une formule célèbre due à Stokes (*). Dans le cas actuel on peut faire un raisonnement direct. Dans (i)a on reconnaît l'aire de la projection de l'élément w sur le plan des 1/, 2;; on a donc
wa = dydz, d'où
- zdy) = A; les intégrales simples sont prises suivant le contour et représentent
(1) (-e théorème de Stokes se trouve démontré dans le tome I du Traité d'Analyse de M. Emile Picard.
NOTES DE l'auteur. 439
l'aire de la projection du contour parcouru dans un sens convenable sur le plan des yz.
On a aussi
/T[îw = - Uzdx — xdz) = B,
jj y^ = ^j (^dy — ydx)=zC,
et B, G sont encore les aires des projections du contour sur le plan des zx et sur celui des xy. On trouve de même
JJiyy - ^2) co = - Ij (y' + 2') dx = L,
j («2 — t^)^ = — ^J (^' + a;») dy =z M,
JJ{?>x - ay) 0) = - ^ J(x^ + y') dz =r N,
et les intégrales sont prises encore suivant le contour parcouru dans le même sens que précédemment (').
On trouve donc que le contour seul intervient et dès lors on peut oublier la cloison et dire que le volume est engendré par le contour fermé.
Ce volume a cette expression
(A; + By; 4- Cr + L/) + M^ + Nr) cf.
Concevons maintenant que le contour subisse un déplacement continu. On pourra le regarder comme une succession de mouvements de torsion infiniment petits et le volume intégral sera
V = f\xi + B-^ + Cr 4- Lp + M^ -f- Nr) dt,
^i fé^^i P^ ^1 ^5 étant fonctions de t. Posons alors
a =: I pdt, ^= / ^idt, c= / ^dt,
J'é Jt, Jt,
1= I ^dt, m = I r,dt, n z= Zdt,
Jt» Jt, Jt,
(') Pour plus de détails sur ces questions de sens, voir mon Mémoire du Journal de Mathématiques, t. V (4« série), p. 321.
'OBRA^
et la formule ci-dessus devient
V = Ai 4- Bm -y Cn + La + Mb + Ne.
On voit que V représente le moment des deux systèmes de segments V (A, B, G, L, M, N) et j (a, b, c, l, m, n); le premier
systèmre dépend uniquement du contour mis en mouvement, le second ne dépend au contraire que du mouvement qui a été imprimé.
Supposons que le contour soit plan, prenons 0- normal au contour, au centre de gravité 0 de son aire et Oa?, Oy dans le plan du contour.
On trouve dans ce cas que A = B = 0 et G est l'aire du contour; de même L, M, N sont nuls, en sorte que le système des segments lié au contour se réduit ici au segment C élevé perpendiculaire au plan du contour au centre de gravité de l'aire et égal justement à l'aire du contour.
Dans une rotation d'amplitude angulaire 0 autour d'un axe A, le volume engendré par le contour sera égal au produit de 0 par le moment de G par rapport à A. Si A est dans le plan de C, ce moment est égal à la plus courte distance p de G et de A, ou à la distance à A du centre de gravité, multipliée par G, soit p. G. Donc, dans ce cas, CpO représente le volume engendré par le contour. On retrouve ainsi le théorème de Guldin relatif au volume.
Si le mouvement du trièdre T est réglé de telle sorte que les axes de ce trièdre soient constamment l'un la tangente, l'autre la normale principale, l'autre la bi-normaie d'une courbe, les expressions a, b, c, l, m, n ont des formes parliculièrement simples qui mettent en évidence de nouvelles propriétés des courbes de M. Berirand, Je renvoie pour ce point à mes Mémoires déjà cités en note.
NOTES DE l'auteur. 441
