TV

, y. Fig.91.

avec la bissectrice et de joindre 0,', au point G; la droite O^G coupe

en jj, la nornnale.

On pourrait aussi se servir du point KJ, rabattement du point K'.

La parallèle MGj à 00,', coupe en Gj la bissectrice; la droite KJG^

coupe la normale au point [j..

Le rabattement du point K donnerait une construction analogue.

Considérations La construction de Savary donne lieu à quelques remarques géo-

géométriquos métriques dont nous avons déjà donné un exemple dans la proposi-

, ^"' tien du no 54. On peut rattacher cette proposition à un ensemble de

la construction '^ , . . '^ '^

d' Savarv ^^'^^ d'ordre tout à fait élémentaire.

Rai)pelons que nous avons démontré au no 52, page 152, la formule

où r^ est la valeur de r pour laquelle p est infini. Cette valeur de r correspond, par conséquent, au point A où la droite OM coupe le cercle des inflexions qui est décrit sur OK' comme diamètre.

Considérons le cercle G qui a pour centre le point M et qui passe au centre instantané 0 f(ig. 92).

La formule (2) s'écrit encore

MiJ..MA = MÔ',

elle exprime que la droite K'A, qui est perpendiculaire en A à OM est la polaire du point ]j. par rapport au cercle C.

NOTES DE l'auteur.

Ainsi, le centre de courbure \). est le pôle par rapport au cercle G de la droite K'A.

Fig. V2. '.

On en conclut aussitôt que :

La polaire du point K' par rapport au cercle G coupe la norî courbure, maie 0^1 au centre de courbure ij,. Ge qui fournit une nouvelle construction de ce centre, construction qui ne tombe jamais en défaut.

Effectuons actuellement une transformation par rayons vecteurs réciproques, en prenant le point M comme pôle et MO comme puissance d'inversion. Le cercle G se transforme en lui-même et la droite K'A devient le cercle G' décrit sur Mjx comme diamètre. De plus, la droite K'A est l'axe radial du cercle G et du cercle G', ainsi que cela résulte des propriétés connues de l'inversion.

On a donc ce théorème :

Le cercle décrit sur le rayon de courbure M\t. comme diamètre et le cercle qui a pour centre le point M et qui passe au centre instantané ont pour axe radial une droite passant au point K'.

C'est le théorème du no 54.

Transformation quadratique bi-ralionnello.

La construction de Savary et la formule d'Euler, dont elle découle, font correspondre à tout point M du plan un point [t. déterminé et inversement tout point [a du plan est le centre de courbure, à un instant donné, de la trajectoire d'un certain point M du plan. La correspondance est une de celles qu'a étudiées Cremona et qu'on a depuis appelées bi-rationnelles, pour rappeler que chaque point, M ou <^., a ses coordonnées exprimables sous forme de fonctions rationnelles des coordonnées de l'autre.

Dans la note de la page 151 nous avons indiqué que si x, y sont les coordonnées rectangulaires de M, ^, r, celles du point [j., les axes étant la tangente et la normale communes aux roulettes, on a les expressions rationnelles de^, t] en x, y

kyx

ky*

a;* + y* -h ky

X + j/' 4- ky

et que l'on tire ces autres expressions rationnelles

ç* + r; — krt

kr,

Si l'on fait usage de coordonnées homogènes x, y, z, ç, r^, Z, on voit que l'on a

et

^ ! ^ '. ^ '. '. kyx \ ky^ \ x^ + y* -i' kyz X '. y '. ~ '. '. ^'-.'^i '. ^Yj' '. ;' + ■')' — ^■'l^-

La transformation rentre dans la classe des transformations quadratiques bi-raiionneiles. Dans ces transformations, à une droite du plan il correspond une conique, en sorte qu'à l'ensemble doublement infini des droites du plan il correspond une double infinité de coniques. Ces coniques passent par trois points fixes généralement distincts, et tel est le cas de l'inversion.

Ici ces trois points sont coïncidents, en sorte qu'aux droites du plan il correspond une double infinité de coniques osculatrices entre elles en un point fixe.

En effet, si le point M (ce, y, z) décrit la droite

iix -h vy + wz = 0, les formules (4) montrent que le point [j. (ç, y;, Z) décrit la conique (5) uk^-r, -h vkr;- + iv (^' + t;' — kr^Vj = 0.

Or, il est aisé de voir que le cercle des rebroussements, qui est

NOTES DE l'auteur. 445

représenté justement par l'équation

est osculateur à toutes ces coniques au point 0, centre instantané, et que réciproquement toute conique osculatrice en 0 à ce cercle a une équation de la forme (5). Donc :

inique Quand le yo'int M décrit une droite, le point \). décrit une coni-

Rivals. quQ osculatrice au centre instantané au cercle des rehroussements et réciproquement.

Quelques géomètres donnent à cette conique le nom de Rivais, du géomètre qui a le premier remarqué son existence. On observera que le cercle des rehroussements est la conique de Rivais de la droite de l'infini.

Si l'on cherche de même quel lieu doit décrire le point M pour que le point [X décrive une droite, on trouvera que M doit décrire une conique osculatrice au centre i^istantaiié au cercle des inflexions et réciproquement.

NOTE YII

Sur les accélérations.

Interprétation des équations

de l'accélération.

La distribution de l'accélération dans un solide en mouvement a fait l'objet de diverses recherches parmi lesquelles il convient de citer un mémoire détaillé de M. Gruey, publié en 1878^ Sur les accélérations des points d'un solide en mouvement; le livre plus récent de M. Schœnfïies Sur la géométrie du mouvement, et enfin un mémoire de M. Gilbert, publié en 1890, sous le titre : Recherches sur les accélérations en général.

La forme linéaire des équations établies à la page 131 :

ou

L = Çi + Tp' y— q' X -h

on

ôx

dn

dy dH ~dz

(2) <2R = (px + qy + rzf — (p' + 7* + r^) (x^ + y' + "'),

et le fait qu'elles sont entières par rapport à x, y, z prouve que si MJ est le segment représentatif de l'accélération du point M (x, y, z), le point J correspond homographiquement au point M; de plus, dans celte homographie, le plan de l'infini se correspond à lui-même.

On peut aussi supposer qu'on a transporté en une origine fixe 0, en ÔJ^, l'accélération MJ; le point Jj, dont J,, J^, L sont les coordonnées, correspond encore homographiquement au point M et le plan de l'infini est encore son propre homologue dans cette homographie.

NOTES DE l'auteur.

Ces remarques sont la base des considérations développées par M. Gruey dans son mémoire.

D'abord, l'existence du centre des accélérations, qui ne disparait que dans des cas particuliers, permet en général de ramener à zéro les valeurs de ^^, t,i, ^^ relatives à l'époque que l'on considère. Les formules (1) sont alors homogènes en x, y, z, en sorte que, soit dans l'homographie M qui relie J et M, soit dans l'homographie 3i\ qui relie J^ et M, le centre 0 des accélérations est son propre homologue.

Gomme le plan de l'infini est son propre homologue, il y aura clans ce plan trois points A, B, C qui seront leurs propres homologues ; on obtiendra ces points en résolvant les équations

an

q'z— r'y -h —. = Sx, âx

an ', r X —p' z -h -^~ = Sw,

p'y~q'x-\--—=z Sz, oz

Uéhmmalion de x, y, z entre ces équations fournira l'équation en S du troisième degré dont dépend le problème de la détermination des trois droites OA, OB, OG. (Voir le chapitre XII.)

On obtiendra ainsi trois directions de droites 0 A, OB, OG, réelles, imaginaires, distinctes ou confondues, selon la nature des racines de cette équation du troisième degré; M. Gruey en a fait la discussion.

On observera que, dans l'une et l'autre des deux homographies, la droite OA est sa propre homologue, et de même pour OB, OG.

Si l'on prend un point M sur l'une de ces droites, J, J^ y seront aussi. Les droites OA, OB, OG sont les lieux des points M do7it Vaccélération passe par le centre des accélérations 0.

D'après les pi'opriétés de l'homographie, les points M, J, J, supposés variables, décriront des surfaces du même degré ou des courbes "du même degré.

De plus, les points à l'infini de ces surfaces ou de ces courbes sont homologues entre eux, en sorte que si l'une de ces courbes ou surfaces n'a pas de point réel à l'infini, il en est de même des autres.

G'est ainsi que si OJ^, c'est-à-dire l'accélération de M, a une valeur conslante, J^ décrit une sphère de centre 0. Le point M décrit alors un ellipsoïde E.

C'est ce que donne du reste le calcul. On a, en effet,

: ÔJ^ = JJ 4- J^ + J|.

Point d'accélération

minimum dans un plan.

Théorème de M. Gruey.

Tlîéorème de M. Résal.

On reconnaît, de plus, que le centre des accéléralions est le centre de l'ellipsoïde E, et que si l'on fait varier la longueur constante de OJj, les divers ellipsoïdes E sont non seulement concentriques, mais homothétiques.

Étant donné un plan x, les ellipsoïdes E découpent sur lui des ellipses concentriques sur lesquelles se groupent les points de ce plan qui ont même accélération.

Le centre commun P de ces ellipses est le point de contact du plan r avec celui des ellipsoïdes E qui touche ce plan.

Le point P est le point du plan t. dont V accélération est minimum.

Soit PP' l'accélération de ce point P.

M. Gruey a démontré ce curieux théorème :

Les projections sur la droite PP' des accélérations des divers points M du plan z sont constantes et égales en grandeur et sens à l'accélération môme PP' du point P.

M, Gruey a groupé autour de ces ellipsoïdes E un grand nombre de propriétés des accélérations.

Signalons encore la proposition suivante :

Si un plan r. passe au centre 0 des accélérations, les accélérations de ses points sont rectangulaires avec une droite OR ci réciproquement. Le diamètre conjugué du plan tc dans les ellipsoïdes E a les accélérations de ses points parallèles à la droite OQ.

Du reste, d'une façon générale, les accélérations des points d'une droite sont parallèles à un plan fixe et engendrent un paraholoide hyperbolique.

M. Gilbert, dans son mémoire déjà cité, est revenu sur ces diverses questions et en a généralisé certaines.

Sa méthode repose sur le théorème suivant, dû à Resal, dont la démonstration résulte immédiatement des méthodes générales développées dans le texte de ce livre :

-Si un solide tournant autour d'un point fixe 0 est rapporté à un trièdre de référence mobile ayant son sommet en 0, l'accélération angulaire absolue du solide est la résultante de l'accélération angulaire relative, de l'accélération angulaire d'entraînement et de l'accélération angulaire composée.

Nous avons défini au no67 l'accélération angulaire. Soit 00 le segment qui représente la rotation absolue du solide; OQ' le segment

NOTES DE L AUTEUR

qui représente sa roLation relalive par rapport au trièdre Oxyz et enfin 00" le segment qui représente la rotation du trièdre Oxyz lui-même. Il est clair que OQ est la somme géométrique de OQ' et àeOQ".

OQ =z oçï + ôlr .

La vitesse absolue de Cî est l'accélération angulaire absolue. La vitesse de Q' par rapport au trièdre Oxyz est l'accéléralion angulaire relalive, enfin la vitesse absolue de Q" est l'accélération angulaire d'entraînement.

Or, si X, x', x" sont les projections de OQ, 012', OQ" sur un axe fixe, la relation géométrique ci-dessus donne

X = x' -h x', d'où

dx dx' dx" dt ~ di Hï

On peut en conclure que la vitesse absolue de Q est la somme géométrique des vitesses absolues de Q' et de Q".

Vitesse absolue de Q =r: vitesse absolue do Q' -f- vitesse absolue de Q'.

Or, il est clair que la vitesse absolue de Q' est égale à sa vitesse relalive plus sa vitesse d'entraînement. Désignons par y, y', y" les accélérations angulaires absolue, relalive et d'entraînement, on aura

y = y' + y" + vitesse d'entraînement de Q'.

C'est à cette dernière viiesse qu'on donne le nom d'accélération angulaire composée.

Je terminerai celle noie en disant un mol sur les accélérations iccéléraiions d'ordre supérieur dont la définition a été donnée à la page GG. supérieures. Lg calcul qui permet de passer de la vitesse à l'accélération donne aussi les composantes des accélérations d'ordre supérieur.

Par un point fixe A menons un segment AJ„ équipollent à l'accélération du Ji'^'"* ordre d'un point mobile M rapporté à un trièdre de référence mobile Oxyz. La vitesse absolue du point J„ est, par définition, l'accélération de l'ordre {n 4- 1) du point M,

Or, soient J„ .j, J„ j,, J„ ^ les projections de J„ sur les axes Ox, Oy, Oz; •^"oi Voi -0 '^^ coordonnées du point A, les coordonnées du point J„ seront

\ =z Xq -i- J„^j., \ = î/„ -I- J„,„, Z =z Zq + J„,.

Cinémnlintie. . 29

Les projections de la vitesse absolue du point J„ sur les axes Oc. Oj/, Oz seront les projections J„+i,i, J„ + i,.,/» Jn+i,c de l'accélération d'ordre {)i -h 1), et on aura, dès lors, en appliquant les formules connues

ai

et deux autres équations analogues. En remplaçant X, Y, Z par leurs expressions et remarquant que l'on a

puisque la vitesse absolue de A est nulle, il reste

T T T ^J".* J» + i,x = qK,z — rS„^,j H —■>

et les deux autres équations analogues

dt

dt

Telles sont les formules qui, par voie de récurrence, permettront de calculer de proche en proche les diverses accélérations d'ordre supérieur.

NOTES DE L AUTEUR

NOTE YIII

Sur la théorie de la vis de M. Bail

Rappel

e la définition

de la vis.

out système le serments ist le produit d'une vis .r un nombre.

ixemple tiré es rotations.

A la page 36 on a donné la définition de la vis. Si l'on multiplie ou divise les segments d'un système par un même nombre positif ou négatif, les coordonnées de ce système sont évidemment multipliées ou divisées par ce nombre, et l'on peut dire alors que le système luimême a été soit multiplié, soit divisé par ce même nombre. En divisant ainsi un système de segments par la longueur de sa résultante de translation prise en valeur absolue, on obtient un système de segments unitaire, c'est-à-dire une vis, dont l'axe a le sens de la résultante de translation du système et dont le paramètre ou pas est égal au paramètre du système (voir p. 26).

Si, au lieu de diviser par la longueur de la résultante de translation prise positivement, on avait divisé par cette longueur affectée du signe — , on aurait obtenu encore une vis dont le pas serait égal à celui de la première, mais dont l'axe aurait eu le sens opposé. Tout système de segments donne ainsi naissance à deux vis opposées de même pas, mais d'axes opposés, de même que tout segment donne lieu à deux axes opposés entre eux, dont l'un a le sens du segment et l'autre le sens contraire.

On peut donc dire que tout système de segments est égal au produit d'une vis par un nombre positif ou négatif, selon que l'axe de la vis considérée a ou n'a pas le sens de la résultante de translation du système.

Supposons, par exemple, que les segments représentent des rota^ lions; leur système représente un mouvement hélicoïdal dans lequel, dans un temps infiniment petit, chaque point du corps décrit un élément d'hélice. Toutes les hélices ainsi décrites ont même axe, même pas, ce dernier égal au paramètre du système. L'ensemble de

ces hélices constitue une vis, en ce sens que si l'on prend toutes celles

qui traversent un contour fermé dans l'espace, elles forment un noyau

solide hélicoïdal, comme la vis en offre un exemple. La définition

d'un tel système de vis est complète si l'on connaît son axe et son

pas, c'est-à-dire les éléments d'un système de segments unitaire.

Mouvement Quant au mouvement hélicoïdal, on peut dire qu'il a lieu sur la vis

suivant une vis. qq qu'il est supporté par elle; il est différentié de tous les autres

mouvements qui ont lieu sur la même vis par la longueur de la

résultante de translation, c'est-à-dire par sa vitesse angulaire.

Semblablement, si l'on envisage un ensemble de forces appliquées

à un corps solide, cet ensemble constitue un système de segments

que l'on pourra regarder comme provenant du produit d'une certaine

Système vis par le nombre qui représente la longueur de la résultante de

de forces translation. Plueckera appelé dyname et Bail torscur tout système

agissan ^^^ forces appliqué à un solide. D'après cela nous saurons ce que îUivantunc VIS. • , ,

Signifie l'expression de dyname ou de iorseur portée par une vis

ou qui s'exerce suivant une vis.

Vis Ces explications données, considérons un corps solide mobile pos-

de coordonnées sédant le degré n de liberté.

dans un corps Soient t/,, r<,, .... u„ les n paramètres dont dépend sa position. Les doué d'im .... , , . /->--> r^ i-.

de"ré n projections sur trois axes rectangulaires Ox, Oy, uz lies au corps,

de libellé. de la vitesse d'entraînement d'un point x, y, z de ce corps ont, nous le savons (p. 226), des expressions de la forme

~di.

dU;

dt

dUi dt '

dUi dt

+ xiri

d tf;

dt

-zlp^

dUi dt '

dU;

dt

-^y^Pi

dUi dt

-XlfJ;

(1) { ■^. = ^-ni

Considérons les n vis S^ qui ont pour coordonnées

Pi Qi ^ ^ -Tu ^

ïï: u; u,' u/ u/ IV

OÙ \]i= -h Vpi' + q-^ + r,.«.

Tout déplacement du corps résulte, d'après les formules précédentes, de n mouvements hélicoïdaux infiniment petits, sur les vis S,, d'amplitudes égales respectivement à U,di(;.

Les H vis S; constituent le système des n vis de coordonnées.

Si l'on efïectue un changement de variables portant sur les m,,

NOTES DE l'auteur.

il est clair que le système des vis de coordonnées se trouve changé.

Ces vis jouent un rôle analogue aux tangentes aux courbes de coordonnées dans la géométrie sur les surfaces.

Il est naturel, comme on le fait pour les surfaces, de chercher des systèmes de coordonnées qui présentent des caractères propres à simplifier les formules ou les raisonnements. C'est ainsi qu'il est souvent commode dans la théorie des surfaces de rapporter celles-ci à leurs lignes de courbures ou à une famille de géoclésiques accompagnées de leurs trajectoires.

Dans ce genre de questions, la considération de certaines formes quadratiques joue un rôle fondamental. Une de ces formes sera ici celle qui exprime le carré de la vitesse

ys

dui Ht

dU;

(du-, '' dt

(dU; •' dt

dU:

dui ~dt

dU;

'dt

d'i di

+ ylPi

— xiq^

du,Y

d Hj ~dt

Dans le cas de 2 paramètres on est toujours certain de pouvoir, par un changement de variables, la ramener à une somme de deux carrés.

Dans le cas de 3 ou d'un plus grand degré de liberté il n'en est plus toujours de mémo.

Nous nous bornons à signaler ici cette intéressante question.

Des considérations dynamiques ont conduit M. Bail à la notion importante des vis principales.

On sait que, dans le cas d'un solide mobile autour d'un point fixe, il y a trois axes principaux issus de ce point, qui possèdent la propriété que si l'on imprime au corps une impulsion représentée par un couple dont le plan soit normal à l'un de ces axes, le mouvement qui tend à se produire consiste en une rotation autour do ce même axe.

Considérons plus généralement un corps doué d'un degré n de liberté; supposons que dans une position déterminée on lui imprime brusquement un ensemble de forces, un dyname ou torseur, porté par une vis S, et que le mouvement que prend le corps consiste, au moins au début, en un mouvement hélicoïdal suivant la même vis S. Nous dirons alors que la vis S est principale. Ily a n vis principales.

Pour démontrer cette proposition, nous allons d'abord établir les équations générales du mouvement.

Partons de l'équation de]d'Alembert

où les 0 correspondent aux variations compatibles avec les liaisons. Nous allons introduire les paramètres Wj, m^, ..., î(„ qui sont indépendants et dont dépend la position du corps.

Appelons '2T la force vive, qui s'exprimera en u^, ttj, ..., m„, u[, itg, ..., u'„ par la formule

(4) 2T = ^m\ {IcjU'i + zlq.u'i — ylViUiy

+ {iTti U'i -h xlVi U'i — 2 I Pi U\ )*

+ (iCfW; + ylPiUl — xlqiulf j,

du,

on a pose m, = — — • ai

On sait se transforme en

que l'expression V w /^ §^ + ^gy + ^ g^A \ar dr dt^ /

-^ ( dt \dui

d /âT\ âT ) àUi

Quant à ^ {Xhx + Ycy + Z5z), c'est la somme des travaux virtuels des forces appliquées au corps dans un déplacement virtuel quelconque compatible avec les liaisons.

Soient A:>y ^, C, '£, £Tl, % les coordonnées, par rapport aux axes mobiles Ox, Oy, Oz, du dyname constitué par ces forces; d'après le résultat établi dans la note IV, le travail de ces forces dans un déplacement virtuel quelconque aura pour expression

et, par conséquent, les n équations différentielles du mouvement s'écrivent

(§^)-r^] = M,^sir,.-.r.

(5) j di [à u'i) \âuj

en désignant, pour abréger, par ?< le second membre.

Soit A,. 3, le coefficient du terme u' u', dans 2T, les équations précédentes peuvent s'écrire, en désignant par ul la dérivée seconde de u.

NOTES DE l'auteur. 455

par rapport au temps,

Supposons que le corps étant dans la position caractérisée par les valeurs wj, u^, ..., u" des paramètres, on lui applique brusquement le dyname A), ^, C, H!, 9TC, %; un certain mouvement va se produire qui sera défini par des équations de la forme

(7) u, = uf -4-^ + wr»^V ...;

une étoile marque l'absence du terme ul'^t, car les m,'^ sont nuls par hypothèse.

On aura aussi

(8) ul=u'iH + ....

Les valeurs de u"° seront données par les équations (6) où l'on fait Ui = uf, u'i =: 0, et qui deviennent alors

(9) 2 H=u'^''='P^=Mf +3'or,? + e^? + 'Xp? +^q? -h%r?.

Quant aux coordonnées p, q, r, ^, r„ ^ du mouvement hélicoïdal tangent, elles sont données par les formules

où l'on a

(11) pp =r ^P + plH + ..., ^p = g! + qlH + ..., etc.

Les expressions dep, q^ r, ^, y;, l, deviennent donc, en n'écrivant que les termes du premier ordre en t,

p = Zpliil'.t + ..., ç

(12) } q=lq^u'^'.t + ..., Y] = ZY]p°.jÇ.< + ..., [ r = lr!ul\t + ,.., ^^l^.uj'.t + ....

Le mouvement hélicoïdal instantané qui se produit d'abord a donc lieu sur une vis dont les coordonnées sont proportionnelles aux expressions ...

(13) Ip^^iÇ, IqUÇ, Zr^ul% SHp^wJS Zt;.u:\ ii:^u',\

Pour que cette vis coïncide avec celle qui porto le dyname appliqué, il faut et il suffit que l'on ait, À désignant un coenicieat de proportionnalité,

^ ^ ( 1^^^ ni » = A [i, 1 y;P ul « = X911, 1^ ni « = X %.

Ainsi, les valeurs des u''^ tiiées des équations (9) doivent vérifier les i-elations (14),

Mais on peut remarquer qu'il suffit de connaître les u'^ pour que les équations (14) fournissent .{>, Sj, (3, 'X, 911, %, et l'on peut se débarrasser de ces inconnues. On trouve, en éliminant ces quantités entre les équations (9) et (14),