VOA
deux bi-radiales ( —-^ 1, ( -— — - |. La première bi-radiale est pure-
V OA / V OA / ment scalaire, la seconde est rcclangle. Le théorème est donc d;hïiontré.
La première bi-radiale a reçu le nom de partie scalaire ou simplement de scalaire de la bi-radiale proposée, tandis que la seconde, la bi-radiale rectangle, a reçu le nom de vecteur ou de partie vectorielle.
Représentation La raison en est que toute bi-radiale rectangle est représentable
par un vcjteur p^j, ^j,^ vecteur.
'"'.® Soit, en effet, OÀ l'axe d'une bi-radiale rectangle; portons sur cet
rectangle ^^® ^^^^ longueur proportionnelle au tenseur de la bi-radiale. Nous obtenons de la sorte un segment Ov qui représente à lui seul tous les éléments capables de définir la bi-radiale rectangle, à savoir son axe, qui a le sens de Ôt' et son tenseur, qui est mesuré par la longueur de Ot\ Remarque. C'est donc à juste raison qu'on a pu dire qu'it?ie bi-radiale est
constituée par une quantité numérique (la partie scalaire) et par un segment (le vecteur).
Autre Nous allons déduire de là une nouvelle définition de l'addition des
dé!inition bi-radiale.s.
de I addition de Considérons deux bi-radiales qui ont le même dénominateur 0 A
deux •
bi-radi;des. et dontOB, OG seront les numérateurs; soit OD la somme géométrique de OB et de ÔG et OB', OC, OD' les projections sur la
OB' droite OA des segments OB, OC, OU; il est clair que
/ OC \ / ^ j représentent les parties scalaires des bi-radiales V OA / V ÔA /
NOTES DE l'auteur, 469
^Y (i^ Y ( -^ )• Mais Ôlr est évidemment la somme des
vecteurs OB', OC ; donc on a ce théorème :
la partie scalaire de la somme de deux hi-radiales est la somme des parties scalaires de chaque hi-radiale. Le calcul de cette partie se ramène à l'addition algébrique.
Considérons maintenant les vecteurs de chaque bi-radiale. Je dis que le vecteur de la somme est la somme géométrique de ces deux vecteurs.
Considérons, en effet, le plan w qui est normal à OA au point 0;
soient ÔlT, UU, ÔF les projeclions des segments OB, OC, OD sur
le plan w. OD" est évidemment la somme géométrique des seg-
ments OB", OC". De là résulte que la bi-radiale [-z=^ h P^r"'^
(•:— j- \ ^ O A / |, est la somme des deux autres
/ 0F^\ (:2E),partiesrec?anglesdesbi.radiales (-^Y (^X V ÔA/ VôA/ ^OA/ \0A/
Ou encore :
La bi-radiale rectangle de la somme de deux hi-radiales est la somme des deux hi-radiales rectangles de chacune d'elles.
On peut en conclure que le vecteur de la somme de deux hi-radiales est la SOMME GÉOMÉTRIQUE dcs vecteuvs de chacune d'elles.
Soient, en effet, sur les droites OB", OC", OD' les vecteurs ÔTpÔT^, Ôd"! obtenus en divisant OB", OC", OD" par le nombre qui mesure la longueur de OA; il est clair que Od^ sera encore la somme géométrique de Ôb^ et de Ôc^. Or, faisons tourner de 90° autour deOA, dans le sens direct, ces trois segments, ils vieiidionf dans les positions Ôb, Ôc, Ôd; ce dernier étant toujours la somme géométrique des deux premiers.
Du reste, dans cette position, ces trois segments sont précisément les trois vecteurs représentatifs des trois bi-radiales rectangles
Réduction de ^ OA ^ ^ OA ^ ^ OA
laddiiion des La proposition est donc démontrée.
Iji radiales j^j^ résumé: Pour avoir la partie scalaire et le vecteur de la
, '' '''^"f somme de deux hi-radiales, il suffit de faire la somme algébrique
des nombres , , ,. . , ,
et à celle des des deux parties scalaires et la somme géométrique des deux vec-
sc■gment^ teurs de chacune de ces bi-radiales.
Commutalivito
générale
de l'addition
dos bi-radiales.
Bi-radiale nulle.
Soustraction dos
l.i r;i.li:dt-s.
L'addition de ces bi-radiales se présente ainsi comme une opération complexe où l'addition algébrique marclie à côté de l'addition géométrique.
Chacune de ces opérations est commutative quel que soit le nombre des éléments à additionner. Il en résulte dès lors que : Vaddiliou successive des bi-radiales en nombre quelconque est une opération indépendante de l'ordre de succession.
L'addition des bi-radiales étant commutative, quel que soit le nombre des éléments à additionner, on peut en conclure qu'elle est aussi associative et que l'on peut, dans l'opération, remplacer plusieurs: des éléments par leur somme effectuée.
Si l'on ajoute à une bi-radiale son opposée, c'est-à-dire celle que l'on obtient en échangeant le sens du segment numérateiii-, on obtient comme somme une bi-radiale dont le numérateur est un segment nul. Nous dirons d'une telle bi-radiale qu'elle est nulle. La partie scalaire et le vecteur d'une bi-radiale nulle sont nuls. Il en est de même du tenseur.
On définit la soustraction d'une bi-radiale comme l'addition de son opposée.
l)"a|)rès cela, si Ton udojtlc le sii^ne i |)iiiii' iiidi(|ii<'i' rjiddilioii dnp
lH-r;i(lial('s, l'iiddilioii de la I
OU
ii-iailinlc opposée a I — —
OA
s écrira.
+ (-^)(-=r OA
car nous savons que l'opposée d'une bi-radiale résidte de sa multiplication par — 1. Alors, au lieu d'écrire +{ — I), on peut écrire simple-
Décomposition
de toute
bi-radiale
rectangle
en trois autres
d'orientations
données.
ment — et ce signe désignera la soustraction de la bi-radiale
OA
L'addition des bi-radiales nous a déjà conduit à la décomposition do toute bi-radiale en une bi-radiale scalaire et en uue bi-radiale rectangle. Nous allons poursuivre dans ce sens en montrant que toute })i-radicde rectangle est la somme de trois bi-radiales recta)igles dont les axes ont des directions données à l'avance non jjarallèles à unmèn^e plan.
En effet, considérons le vecteur Oy qui représente la bi-radiale rectangle R et 0,v, 0*y, Oz les trois directions données à l'avance. On peut décomposer Ov suivant C(?s trois directions en trois vecteurs Oiv,., Ov,^, Ou^. Ces vecteurs repi'ésentenl chacun une bi-radiale rcclangle, en sorte rpu? nous avons trois hi-radiales ivclangles H,,,
NOTES DE L'AUTEUII. 4-71
R,„ R, dont les axes ont la diivction de Ox, Oy, 0: ou la direction opposée. Gomme, du reste, O^^', Ot',, Or, ont Ov pour somme géométrique, la bi-radiale R est elle-même la somme de R,„ R.„ R, et ce que nous rappellerons par la notation conventionnelle
Notons maintenant que si l'on désigne par r,, r^, r, les verseurs rectangles dont O.c, Oy, 0" sont les axes, R,, est le produit de r, par un nombre X qui est positif ou négatif selon que l'axe de R^ a le sens de O.c ou le sens opposé; et de même pour 1'.^, R,, en sorte qu'on peut poser, pour rcqipeler cela,
ce qui permet d'écrire
La signification des nombres algébriques X, Y, Z est évidente, ce sont ceux qui mesurent sur Ox, Oy, Or les projections 0 r,, O r„ Or, du segment Or, ce sont les coordonnées du point r.
Si mainlenanl nous nous rappelons i^ir. UmiI.- bi-radiale est la somme d'iiiir hi-radialc scalaire et d'une Iti-radialo reclangl<^ en désignant par S la (piantit*' uiiiiiériqiio (iiii délinit, coiiimc on l'a expliqué, la partie scalaire, et enfin en appliquant la décomposition générale précédente à la partie rectangle, on arrive à ce résultat :
Toute hi-radiale est la somme d'une bi-radiale scalaire, définie par une quantité numérique S, et de trois hi-radiales rectangles obtenues en multipliant respectivement par trois yiomhres X, Y, Z trois verseurs rectangles doitnés, dont les axes ne sont pas parallèles à un même plan.
En désignant par R la bi-radiale on pourra rappeler ce résultat en
écrivant
Nous supposerons habituellement dans ce qui va suivre que les
axes Ox-, 0//, Oz sont ceux d'un triêdre rectangle direct.
Exp;(-ssioa Pour donner plus de corps au résultat précédent, il ne sera pas inu-
d.s ré-ultats tile de lui donner la forme analytique par le moyen de la géométrie
précéiliMiis analytique ordinaire.
par les moyens ^^^.^^^^^ ^,^ ^^^ . j^^ coordonnées du point A; x' , y', z' celles du
d,.'hi-!w'iric poi'it ^'- Proposons-nous de calculer les nombres S, X, Y, Z pour la
;ina!vtiiiiie. , . ,. , /OR bi-i'adiale |
OA
'^"^^ Li:Ç0NS DE CINÉMATIQUE.
D'abord on aura
c. lonjrÔB /\ , S = — ^__cosAOB i long OA
( 1 ) ' Kar^~+^ ' «^.+771 xx' + y y' + z z '
i \/x^ + if + z* K'* + 2/» + c« Ka;'* + y'* + c'«
Pour calculer X. Y, Z, observons d'aborj que le vecleur O^ est normal au plan ÂOB, et dextrors.m avec ÂB. Si donc on pose G = K(//r' - zy'y + (zx^ =^^ :r(;i;^j^~~^y , on a pour les cosinus direcleurs de Oi' les expressions suivantes :
la longueur de Ov est, du reste, égale à
rçy. JongÔB . ^\ G
K-^) =^ sin AOB = ,
long OA a?* + 2/* + z»
il vient donc pour X, Y, Z :
(3) X = y- -^y' , y ^ zx' -xz' xy' - yx'
Les.nombres S, X, Y, Z se trouvent ainsi calculés. Si T est le tenseur et 0 l'amplitude angulaire, les équalions (i) et (2) s'écriront
(4) S = T cos 0, \ = ï sin 0,
x^ ->r y^ -Jt- z^ '
mais on a aussi
X'* + 7/2 4- jî
en sorte qu'on peut écrire
(6) S = T cos 0, J/X' + Y* + Z» = T sin 0, d'où
(7) T r= KX* 4- Y* + Z' + S».
On observera ici encore que les données construclives d'une bi-radiale dépendent des 4 paramètres X, Y, Z, S.
NOTES DE l'auteur. 473
Nous allons maintenant définir la multiplication des bi-radia^es. luliiplication On a défini dès le début une b:-radiale R comme un opérateur géo- I bi-rjtliales. ^^^^^^^ue qui transforme un segment ÔÂ en un segment ÔB. Imaginons maintenant qu'on applique à ce segment ÔB une seconde bi-radiale R' qui transforme OR en un troisième segment ÔG. On pourrait passer de 0 A à OG au moyen d'une bi-radiale R' qui aurait ainsi le même effet que l'application successive des opérations représentées par les bi-radiales R, R'. Il est assez naturel de dire que R" est le produit de la bi-radiale R par la bi-radiale R' et d'adopter la notation
qui s'énonce R' qui multiplie R.
La bi-radiale R est le multiplicande, R' le multiplicateur; il est
placé à gaucbe et non à droite du multiplicande dans la noialion
ci-dessus.
Ordre Cette remarque a son prix car, dans la multiplication ainsi définie,
les fadeur;, l'oah-e des facteurs n'est pas indiffèrent; cette opération n'est pas
commutative.
Élant données deux bi-radiales R, R', on voit que pour effectuer le produit de R par R' il faudra, par rotation de cbaque couple de segments dans son plan et par multiplication par un même nombre des deux segments d'un même couple, amener le numérateur de R à coïncider avec le dénominateur de R'.
Ces deux bi-radiales se trouveront alors représentées par des notations telles que ( ) pour R et ( — ) pour R'. \ ( ) A / \ ( ) A /
