Soit l’équation

y = x — -sinx — -tangx,

on a :

2 1 (d — cosx)’ (1 + 2cosx) .

^ * Tjcosx Qcogia; 3 cos’x ’

y’ est négatif ou positif suivant que 1 +2 cos x est positif ou

négatif. Si x croît depuis zéro jusqu’à ^ , y' est négatif et par

suite y décroît depuis zéro jusqu’à — œ, et comme y' = 0 pour x = 0, la courbe est tangente à l’axe des x à l’origine.

La courbe (fig. 132) a pour asymptote la droite GH ^x= 0 . Si l’on fait croître x de ^ à ^ , y' est toujours négatif et y décroît do -{- à ; si donc on prend BC=OB= —, le point G

Bg. 131.

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sera sur la courbe et la tangente en ce point sera parallèle à

l’axe des x. Si l’on fait

ensuite croître x de-

. 2tc . 4ir

puis — jusqu’à

y' devient positif et

y croit de ^ à ~ .

Soient OE = ^ et

EF = ^ , la tangente

x en F 6era parallèle à l’axe des x. Faisons

croître * de — à —

y ' devient négatif et y décroît depuis ^ jus-

enfin si x croît de — à 2m, y décroît de l’infini à 2it. On obtiendrait une série indéfinie de branches nouvelles, en continuant de faire croître x de 2n à oo.

Enfin les valeurs de y, qui correspondent aux valeurs négatives de x, sont égales, au signe près, à celles qui correspondent aux valeurs positives; en effet l’équation ne change pas lorsqu’on change x en — x et y en — y, de sorte que l’origine est un centre. " , . ' '

Remarque l. Si l’on mène la bissectrice y=x, de l’angle formé par les axes , l’ordonnée de la courbe comptée à par-

DES LIGNES COURBES EN GÉNÉRAL

tir de cette bissectrice est une fonction périodique de l’abscisse. Cette considération est utile pour suivre la courbe dans toute son étendue.

Remarque II. Puisque y est négatif tant que x est moindre