QUI EST TANGENTE A CINQ DROITES DONNÉES

*73. On peut trouver , parce qui précède, l’équation de la conique assujettie à cinq conditions , et cette équation peut servir ensuite à construire la courbe. Dans bien des cas, on peut simplifier la solution à l’aide de considérations particulières; mais, à cct égard, on ne peut poser aucun principe général. Nous nous bornerons ici à indiquer comment on peut construire la conique qui passe par cinq points, ou qui est tangente à cinq droites données.

*74. Construire la conique qui passe par cinq points donnés.

Soient A, B, C, D, E, les cinq points par lesquels il faut faire passer une conique: le théorème de Pascal permet de construire autant de points qu’on voudra de. la courbe. Par exemple, si par l’un quelconque des points donnés A ( llg. 142), on mène une droite quelconque AP, on aura, comme il suit, le point F où cette ligne AF rencontre la courbe cherchée. On joindra AB, BC, CD, DE; soit I le point de rencontre de AB et de DE, K le point de rencontre de CD avec AF et enfin K le point de rencontre de BC et de la droite III; si l'on joint KE, cette droite . rencontrera AF au point cherché F.

En second lieu , on peut construire aisément la tangente en un quelconque des points donnés ou déterminés comme il vient d'étre dit ; car supposons qu’il s’agisse de mener la tangente en A, on prolongera AB et DE jusqu’à leur rencontre, en I,BC et AE jusqu’à leur rencontre en N , on joindra IN qui coupera en P le côté CD prolongé; enfin on joindra PA qui sera la tangente demandée.

En troisième lieu , on peut déterminer les éléments de la conique qui pourra alors être construite, comme il a été indiquf dans un chapitre précédent.

Par les trois points A, B, C (llg. 143), menons les tangentes à la courbe; prolongeons les tangentes en A et B jusqu'à leur point de rencontre G ; par ce dernier point et par le milieu M de la corde aB , tirons le diamètre GM ; tirons de même un second diamètre HN par le point de rencontre H des

tangentes en B et C et le milieu N de la corde BC. Si la courbe est une ellipse ou une hyperbole, ces deux diamètres se rencontreront en un point qui, sera le centre de la courbe ; si ces deux diamètres sont parallèles, la courbe sera une parabole.

Supposons que la courbe ait un centre ; par ce point menons LL' parallèle à la corde AB ; les deux diamètres GM et LL' seront conjugués; par le point A menons AP parallèle è GM; AM et AP seront les deux coordonnées du point A rapporté aux diamètres GM et LL'.

Si la courbe est une ellipse, la tangente en A rencontrera les diamètres GM, LL' en deux points situés respectivement du même côté du centre que les points M et P; et on aura les demi-longueurs de ces diamètres en prenant deux moyennes propor- |f tionnelles, l’une entre OG et OM,

. .. et l’autre entre OQ et OP.

Bg. HJ.

Si la courbe est une hyperbole, la tangente en A remontrera les diamètres GM, LL' en deux points situés l’un du même côté du centre que les points M et P, l’autre du côté opposé. On construira les longueurs des demi-diamètres comme pour l'ellipse.

On déterminera ensuite, dans. ces deux cas, les axes de la courbe d’après les méthodes indiquées n°* 156 et 191.

Si la courbe est une parabole, on connaît un diamètre, la direction des cordes conjuguées , un point de la courbe et la tangente en ce point ; on pourra donc déterminer le point de rencontre de la courbe et du diamètre , puis la distance de ce point au foyer, puis enün le foyer et le sommet,

%75. Construire la conique tangente à cinq droites données.

Ce problème se ramène au précédent, en déterminant les points de contact des tangentes. Soit ABCDE le pentagone formé par les cinq tangentes données; menons les diagonales AC et EB qui se coupent en O et tirons la droite DO.; elle ira passer par le point de contact M du côté AB. En efTet, si l’on circonscrit d’abord à la conique un hexagone ayant pour côtés AE, AE, DC, BC, et qu’on réduise ensuite à deux droits l’angle dont le sommet F est placé entre A et B, les deux côtés adjacents coïncideront avec AB , et les deux points de contact se réuniront en F .

On déterminera de la même manière les autres points de contact.

APPENDICE. W

BXEKCKXS.

Questions à résoudre.

I. Construira une ellipse, connaissant un foyer et trois points, ou une directrice et trois points.

II. Construire une ellipse, connaissant un foyer et trois tangentes.

V lit. Copstruire une ellipse , connaissant un foyer , un point et deux

tangentes.

IV. Construire une hyperbole, connaissant une asymptote, un foyer et un point ou une tangente.

V. Construire une parabole , connaissant le foyer et deux points ; ou le foyer et deux tangentes; ou le foyer, un point et une tangente.

VI. Construire la parabole qui passe par quatre points donnés.