tîl
En effet, soit un hexagone circonscrit à une conique; si l’on joint les points de contact de ses côtés avec la courbe , on formera un hexagone inscrit. D'après le théorème de Pascal , les points de rencontre des côtés opposés de cet hexagone inscrit sont en ligne droite ; donc les polaires de ces trois points passent par un même point. Mais ces polaires sont précisément les lignes qui joignent les sommets opposés de l’hexagone circonscrits ; le théorème est donc démontré.
Remarque. Ce théorème continue d'avoir lieu si un ou plusieurs des angles de l’hexagone se réduisent à deux droits. Celte considération conduit à quelques remarques curieuses, que le lecteur fera aisément luimême et que nous nous dispenserons de développer ici.
DE SOMBRE DE CONDITIONS NÉCESSAIRES PO CR LA DÉTERMINATION D’UNE COURBE D’UNE ESPÈCE DONNÉE.
ïthi. On nomme généralement paramètres d’une courbe, d’une espèce donnée, les longueurs nécessaires pour la détermination complète de la courbe. Ainsi le cercle ne dépend que d’un seul paramètre qui est, à volonté, son rayon ou son diamètre; l’ellipse dépend de deux paramètres qui sont, si l’on veut, les longueurs de ses axes, etc.
Lorsqu’une courbe dépend de m paramètres, dont on peut choisir A volonté les valeurs, on peut l’assujettir à m + 3 conditions, par exemple A passer par m+ 3 points. En effet, quels que soient les axes que l’on ait choisis d’abord pour y rapporter la courbe, axes que nous supposerons rectangulaires , l’équation de celle-ci renfermera les m paramètres dont elle dépend; en outre par une transformation de coordonnées, en mettant (x — a) cos a. — (y — b) sina au lieu de x, (x — a)sina + (y — bjcosot au lieu de y, on introduira trois nouvelles indéterminées a, b et a. On aura donc en tout m + 3 arbitraires, et par suite on pourra établir m + 3 équations de condition entre les coefficients de la nouvelle équation de la courbe. En particulier, on pourra assujettir la courbe à passer par m + 3 points; elle sera alors complètement déterminée.
Ainsi, il faut quatre points pour déterminer une courbe qui ne dépend que d’un senl paramètre ; tels sont les cas de la parabole , de l’hyperbole équilatère, etc. Mais le cercle fait une exception remarquable, il suffit en effet de trois points pour le déterminer. Il est aisé d’expliquer la cause de cette exception; car, ayant pris d’abord x* + y*= R* pour l’équation du cercle, si l’on met ( x — a) cos a — (y — b) sina au lieu de x, et (x — a) sin a + (y — 6) cos a au lieu de y , la nouvelle équation ( x — a )* + ( y — b )* = R’ ne renferme aucune trace de a ; cet angle s’est
éliminé de iui-méme par suite de la symétrie de la courbe autour de son centre! et, son équation ne renfermant que trois arbitraires, le cercle ne peut être assujetti qu’à trois conditions. Les courbes du second degré , que nous allons considérer exclusivement, dépendent de deux paramètres et peuvent être assujetties à cinq conditions. Mais si l’on établit d’avance une relation entre ces paramètres; en d’autres termes, si l’on considère, comme formant une espèce, les courbes du second degré dont les paramètres sont liés par la relation dont il s'agit , il sufllra de quatre points pour les déterminer. C’est ainsi que la parabole ou l'hyperbole équilatère sont déterminées par quatre points.
EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES DIVERSES CONDITIONS, AUXQUELLES UNE COURBE DU SECOND DEGRÉ PEUT ÊTRE ASSUJETTIE.
269. Point. On exprime immédiatement qu’un point est donné, en remplaçant x et y par les coordonnées de ce point dans l’équation de la courbe qu’on considère.
Tangente. Le moyen le plus simple, pour exprimer qu’une droite y=mx + n est tangente à une courbe du second degré, consiste à éliminer y entre cette équation et l'équation de la courbe , et à exprimer que l’équation finale a pour premier membre un carré parfait.
Centre. On exprime qu’un point est le centre d’une courbe du second degré, en égalant à zéro les dérivées du premier membre de l’équation proposée, et en y remplaçant x et y par les coordonnées du point donné.
Remarque. La donnée du centre équivaut à deux conditions.
Diamètre. On exprime qu’une droite donnée est un diamètre, en remplaçant dans son équation x et y par les coordonnées du centre , dans les cas de l’ellipse et de l’hyperbole. Dans le cas de la parabole, on exprimera que la droite donnée est parallèle au diamètre qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’un des axes.
Axe. On exprime qu’une droite donnée est un axe, en écrivant d'abord la condition pour qu’elle soit un diamètre; puis, les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires, si a désigne l’angle que fait la droite donnée avec l'axe des x, on égalera — tan g 2 ai au coefficient du rectangle dans l’équation de la courbe divisé par la différence entre le coefficient de y* et le coefficient de x *.
Remarque. La donnée d’un axe, en position, équivaut à deux conditions.
Sommet. On exprime qu’un point est un sommet , en écrivant d’abord
APPENDICE
que ce point est sur la courbe , puis que la tangente menée par ce même point est perpendiculaire au diamètre qui y passe.
Foyer et Directrice. L’équation générale des courbes du second degré, qui ont pour foyer ( x ’ , y'), est en coordonnées rectangulaires:
(i— x')’+(y— y')* — ( Ix -fmy + nl’^O.
L’équation de la directrice est alors :
Ix + my -f- n = 0.
Lors donc qu’un foyer ou une directrice est donné dans une courbe du second degré , on doit prendre l’équation de cette courte sous la forme précédente; il ne reste plus alors que trois quantités indéterminées, et, par suite, la courbe ne peut plus être assujettie qu’à trois conditions; de sorte que la connaissance du foyer ou de la directrice équivaut à la donnée de deux points.
Asymptote. Pour exprimer qu’une droite y — mx + n est asymptote d’une courbe du second degré, il suffit d’éliminer y entre cette équation et l’équation de la courbe , puis d’exprimer que les deux racines de l’équation finale sont infinies. Eu effet , l’équation de la courbe est nécessairement de la forme :
(y — mx — b) (y — m'r — n') + constante = 0;
si l’on y fait y = mar + n, elle ne renfermera ni terme en x* ni terme en x ; les deux racines seront donc infinies.
SUS. Ce qui précède permet déformer facilement l’équation générale des coniques qui aatis’ont à une, deux, trois, quatre ou cinq conditions données. Cette équation renfermera quatre arbitraires dans le premier cas, trois dans le deuxième, deux dans le troisième , une seulement dans le quatrième; dans le dernier cas la courbe sera déterminée.
Nous indiquerons encore une méthode très-commode pour résoudre les problèmes de ce genre et qui consiste dans la transformation des coordonnées. Cette méthode peut être employée avec avantage dans un grand nombre de cas; par exemple, si l’on propose de trouver l’équation générale des ellipses qui ont pour axes 2a et 2i>, on écrira d’abord l’équation de l’ellipse rapportée à scs axes et qui est :
I a,y%+bix, = atb\
Mettant ensuite x„ + x cos a — y sin a au lieu de x et y0 + x sin a + y cos a au lieu dey, on aura l’équation demandée, savoir:
a* (yo + * sin a + y cosa)*-f-b’ (x„ + x cos a — y sina)*=; a* &*.
Il reste trois indéterminéés: x0 , y0 et a.
LIEUX GÉOMÉTRIQUES RELATIFS AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ ASSUJETTIES A QUATRE CONDITIONS.
860. L’équation générale des coniques, assujetties à quatre conditions , ne renferme qu’une seule indéterminée; par conséquent les coordonnées du centre , ou des foyers , ou des sommets de ces courbes , ne contiennent elles-mêmes que cette seule indéterminée. Éliminant donc cette indéterminée entre les équations qui déterminent soit le centre , soit les foyers, soit les sommets de la courbe, on obtiendra le lieu géométrique de ce point. Nous allons examiner quelques exemples.
890. Premier exemple. Trourer le lieu des sommets des hyperboles, qui ont une asymptote et un foyer communs.
Prenons pour axe deé y l’asymptote donnée, et pour axe des x la perpendiculaire abaissée du foyer donné sur l’asymptote; désignons par p la distance du foyer à cette asymptote. L’équation des hyperboles qui ont pour foyer le point F est:
y’ + [x— p)*— (te + my + n)» = 0.
Mais, puisque l’axe des y est une asymptote, l’équation ne doit renfermer ni terme en y* ni terme en y; cela exige que l’on ait-
d’où
1 — m* = 0 et — 2 mn = 0; n = 0 et m=l.
L’équation des hyperboles, qui satisfont aux conditions de l’énoncé, est donc en définitive :
(1) V*+(* — p)' = (fe + y)‘i
elle ne renferme que la seule arbitraire I. L’axe focal , passant par le foyer et étant perpendiculaire à la directrice, te + y =0 , aura pour équation :
APPENDICE
Le» sommets sont à l’intersection de la courbe avec l’ave; on aura donc le lieu de ces points en éliminant f entre les équations (1) et (2), et supprimant de l’équation Anale le facteur x — p qui ne donne rien; il vient;
#71. Deuxième exemple. Trouver le lieu des foyers des hyperboles, qui ont une asymptote et un sommet communs.
Prenons pour axe des y l'asymptote donnée et pour axe des x la perpendiculaire abaissée du sommet donné sur l’asymptote. Désignons par p la distance du sommet à l'asymptote. Soient enün x/ , y' les coordonnées de l’un des foyers. Pour que l'axe des y soit une asymptote de la courbe
(ÿ-V')* + (* -*')*={ix+my + n)*,
il faut que l’on ait :
ce qui donnei
I— m» = 0 y' = — aw, m—i n— — y' ;
l’équation de la courbe est donc
(y-y')* + (*-®')« = (fcr + y-y')*.
L’axe focal, passant par le foyer et étant perpendiculaire à la directrice
a pour équation :
Jz-f y— y'=0,
Les coordonnées du sommet satisfont aux équations (1) et (2) ; on a donc r
!/'*+(*' — P)* = (y' — lp)*, y' — j{p—x’).
Eliminant l entre ces deux équations, on aura celle du lieu demandé qui est, après la suppression du facteur étranger z*— p et la substitution de x et y au lieu de z' et y':
*T*. Troisième exemple. Trouver le lieu yéemséUique ries foyer* et des sommets des hyperboles équilatères, qui ont me' mt tenue et qui passent par un point donné. „
Prenons le centre donné pour origine et pour axe polaire la droite qui joint ce centre au point donné; désignons enfin par a la distance du centre au point donné. L’équation générale des hypcriKiles équilatères satisfaisant aux conditions de l’énoncé sera '* *
■fc rV~
J O’ COS 2 a * *■'
^ cos2(u — m)‘
a est le paramètre variable que doit renfermer l’équation ; il est égal i l’angle formé par l’axefocal de l’hyperbole avec l’axe polaire. Faisant w=x, on aura évidemment le rayon vecteur du sommet qui est:
p*=a* cos 2 a; ,
et enfin si l’on met u au lieu de a, on aura l’équation du lien des sommets : ^
p* = a*cos2o>;
le rayon vecteur du foyer est évidemment égal à celui du sommet multi- . * plié par y 2; le lieu des foyers sera donc:
p* = 2o* cos 2 w.
venons de trouver sont deux lemniscates. il est aisé seconde coupe à angle droit toutes les hyperboles
EXERCICES
Question* proposée*.
I. Trouver le lieu des foyers des paraboles qui ont même sommet et an point commun ou une tangente commune.
II. Trouver le lieu des sommets des paraboles qui ont même foyer et ne point commun ou une tangente, commune,
III. Trouver le lieu des foyers et des sommets des paraboles qui ont même directrice et un point commun ou une tangente commune.
IV. Trouver le lieu des sommets ou des foyers des paraboles qui ont même paramètre et deux points communs ou deux tangentes communes.
Les lieux que nous de démontrer que la équilatères.
APPENDICE
V. Trouver le lieu des sommets, des foyers, des centres des ellipses connaissant deux tangentes avec leur point de contact.
VI. Trouver le lieu des centres des coniques qui passent par quatre joints ou qui sont tangentes à quatre droites.
VII. Trouver le lieu des foyers d'une ellipse, connaissant le centre, un point et la longueur du grand axe.
DÉTERMINATION DE LA CONIQUE Ql’I PASSE PAR CINQ POINTS,
